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2012年高三教学测试（二）理科数学 试题卷注意事项： 1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名; 2本试题卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：1 如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式，其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高第卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，则A B C D 2若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为A-2B2CD 3已知非零向量、，则是的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4下列函数中，最小正周期为的奇函数是（第5题）ABC D5某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A8B2C1D06已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则 7有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为A240 B384 C480 D7688设实数满足：，则的最小值是A B C1 D89设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，与双曲线的其中一个交点为，设为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为A B C D10已知函数（），设， ，若函数有四个零点，则的取值范围是A B C D第卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11不等式的解集是 12若二项式展开式中的常数项为60，则实数的值为 13已知等差数列的前项和为，且，则 14在中，角的对边分别为，若，则 15某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 （第15题）16已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线相交于、两点，则以为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是 17甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束设游戏结束时“出手”次数为，则 三、解答题（本大题共5小题，共72分）18（本题满分14分）已知函数（）求函数的单调递增区间；（）若，求的值 19（本题满分14分）在等差数列和等比数列中，()，且成等差数列，成等比数列（）求数列、的通项公式；（）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围20（本题满分14分）如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为（）求直线与底面所成的角；（第20题）（）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由21（本题满分15分）已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值22（本题满分15分）已知为常数，函数，（其中是自然对数的底数）（）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；（）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围2012年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1A；2D；3A；4B；5C；6D；7B；8B；9C；10C9提示：，代入，得，代入双曲线方程，得，即可得；10提示：作函数的图象，且解方程得，即交点，又函数有四个零点，即函数的图象与直线有四个不同的交点，由图象知，点在的上方，所以，解得二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11；12；1384；14；15；16；1717提示：，三、解答题（本大题共5小题，第1820题各14分，第21、22题各15分，共72分）18（本题满分14分）已知函数（）求函数的单调递增区间；（）若，求的值 解：（） 4分由，得（）函数的单调递增区间是（） 6分（）， 8分， 11分 14分19（本题满分14分）在等差数列和等比数列中，()，且成等差数列，成等比数列（）求数列、的通项公式；（）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围解：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由题意，得，解得 3分， 7分（） 9分11分 12分恒成立，即令，则，所以单调递增故，即常数的取值范围是 14分20（本题满分14分）如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为（）求直线与底面所成的角；第20题（）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由解：（）过作于，侧面平面， 平面，又是菱形，为的中点2分以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则, ,又底面的法向量 4分设直线与底面所成的角为，则,所以，直线与底面所成的角为 7分（）假设在线段上存在点，设=，则，8分设平面的法向量，则令，则， 10分设平面的法向量，则令，则， 12分要使平面平面，则= 14分21（本题满分15分）已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值解：（I）设，则，故点的轨迹方程：. 6分（）（1）当直线的斜率不存在时，设则，不合题意7分（2）当直线的斜率存在时，设，,联立方程，得，9分又，即将，代入上式，得直线过定点11分13分令，即，当且仅当时，15分22（本题满分15分）已知为常数，函数，（其中是自然对数的底数）（）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；（）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围解：（I）（） 2分所以切线的斜率，整理得. 4分显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解故6分（），8分设，则易知在上是减函数，从而 10分（1）当，即时，在区间上是增函数，在上恒成立，即在上恒成立在区间上是减函数所以，满足题意 12分（2）当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减. 又，又，在内有唯一一个零点，当时，当时，.从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾不合题意综合（1）（2）得， 15分11
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