资源描述
利用导数判断函数的单调性,1,（4）.对数函数的导数:,（5）.指数函数的导数:,（3）.三角函数 ：,（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；,（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1,一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式,2,2.导数的运算法则,（1）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/.,（3）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。,（2）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u.,3,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，,则复合函数 y = f ( (x) 也可导.,且,或,或,复合函数的求导法则,即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 ),4,3. 函数的单调性: 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.,5,二、新课讲解:,我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:,在区间(2,+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)是增函数,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +)内为增函数.,在区间(-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)是减函数,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(-,2)内为减函数.,2,m,n,2,6,用函数的导数判断函数单调性的法则：,1如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； 2如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；,若在某个区间内恒有 则 为常数,7,例1如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？,D,8,解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。,9,例2确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f (x)=(x22x+4)=2x2.,令2x20，解得x1.,当x(1，+)时，f (x)0， f(x)是增函数.,令2x20，解得x1.,当x(，1)时，f (x)0， f(x)是减函数.,10,例3:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.,解:f (x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数.,令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数.,11,故f(x)在(-,1)和 (3,+)内是增函数, 在(1,3)内是减函数.,而我们可以从右边的 函数的图象看到上面的结论是正确的.,（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:,(1):求导数,(2)解不等式 0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,12,例4证明函数f(x)= 在(0，+)上是减函数.,证明：f (x)=( )=(1)x2= ，, x0，x20， 0. 即f (x)0，,f(x)= 在(0，+)上是减函数.,13,例5求函数y=x2(1x)3的单调区间.,解：y=x2(1x)3 =2x(1x)3+x23(1x)2(1) =x(1x)22(1x)3x =x(1x)2(25x),令x(1x)2(25x)0，解得0x ., y=x2(1x)3的单调增区间是(0， ),14,令x(1x)2(25x)0， 解得x0或x 且x1., x=1为拐点，, y=x2(1x)3的单调减区间是 (，0)，( ，+),15,练习题,1函数y=3xx3的单调增区间是( ) (A) (0，+) (B) (，1) (C) (1，1) (D) (1，+),C,16,2设f(x)=x (x0)，则f(x)的单调增区间是( ) (A) (，2) (B) (2，0) (C) (， ) (D) ( ，0),C,17,3函数y=xlnx在区间(0，1)上是( ) (A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数 (D) 在( , 1)上是减函数，在(0, )上是增函数,C,18,4函数y=x2(x+3)的减区间是 ，增区间是 .,(2，0),(，2)及(0，+),5函数f(x)=cos2x的单调区间是 .,(k, k+ ), kZ,19,6函数y= 的单调增区间是 .,(0，1),7证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间( , 0)上是增函数。,证明：f (x)= (cosx)=tanx.,当x( , 0)时, tanx0, 即f (x)0,函数f(x)=ln(cosx)在区间( , 0)上是增函数。,20,8当x1时，证明不等式：,证明：设f(x)=,显然，f(x)在1，)上连续，且f(1)=0,f (x)=, x1, 0，于是f (x)0.,故f(x)是1，+)上的增函数，应有： 当x1时，f(x)f(1)=0，,即当x1时，,21,五、小结:,1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.,2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.,3.注意在某一区间内 0(0)只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.,22,6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.,5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x) 时在闭区间a,b上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间a,b上.,4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义, 证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.,23,
展开阅读全文