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第六章圆,6.1圆的有关性质,理解圆的有关概念,理解弧、弦、圆心角的概念,了解三角形的外心,掌握圆的性质、圆周角定理及其推论,理解圆内接四边形对角互补.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,圆的有关概念与圆的对称性(8年4考)1.圆的有关概念(1)圆:圆是到定点的距离等于定长的点的集合;这个定点叫做圆心,这个定长叫做半径;圆心确定了圆的位置,半径确定了圆的大小.(2)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧;小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.(3)弦:连接圆上两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最大的弦.(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.(5)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.(6)等圆:半径相等的圆叫做等圆.(7)等弧:在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧.(8)弦心距:圆心到弦的距离,叫做弦心距.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,2.圆的基本性质(1)同圆或等圆的半径相等.(2)圆的直径等于同圆或等圆半径的2倍.(3)圆既是中心对称图形,圆心是对称中心,也是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴,还是旋转对称图形,绕圆心旋转任何一个角度都与原图形重合.3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等.推论:在同圆或等圆中,圆心角相等,弦相等,弦的弦心距相等,弦所对的弧相等.如果以上四条中有一条成立,那么另外三条也成立.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,4.垂径定理(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论:a.圆的两条平行弦所夹的弧相等.b.一条直线如果具有:经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的弧.这四条中有两条成立,则这条直线也满足其余的两条.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,【答案】D,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,【方法指导】解答与圆有关的计算问题在解答与圆有关的计算问题时,垂径定理和勾股定理“形影不离”,常结合起来使用.一般地,求解时将已知条件集中在一个直角三角形中,这个直角三角形的斜边是圆的半径,一条直角边是弦心距,另一条直角边是弦的一半.如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形高为h,则+d2=r2,h=r-d,这两个等式是关于四个量r,a,d,h的一个方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,提分训练1.(2018贵州安顺)已知O的直径CD=10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为(),C,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,2.(2018广西玉林)小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:cm),请你帮小华算出圆盘的半径是cm.,10,【解析】如图,记圆的圆心为O,连接OB,OC交AB于D点,OCAB,BD=AB,由图知AB=16-4=12cm,CD=2cm,BD=6cm,设圆的半径为r,则OD=r-2,OB=r,在RtBOD中,根据勾股定理得OB2=BD2+OD2,r2=36+(r-2)2,r=10cm.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,圆周角定理及其推论(8年8考)1.圆周角定理(1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)圆周角定理的推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆.2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(相邻的内角的对角).,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,温馨提示“圆的有关性质”常作的辅助线(1)有弦时,过圆心作弦的垂线段、过弦的一个端点作半径,这样由“弦的一半、表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形.(2)有直径时,作出这条直径所对的圆周角,这个圆周角是直角;如果有圆周角是直角,作出它所对的弦,这条弦就是直径.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,典例2(2018陕西)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连接BD,则DBC的大小为()A.15B.35C.25D.45【解析】AB=AC,BCA=65,CBA=BCA=65,A=50,CDAB,ACD=A=50,又ABD=ACD=50,DBC=CBA-ABD=15.【答案】A,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,【方法指导】(1)解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解,特别地,当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质.(2)同圆的半径相等,有时还需要连接半径,用它来构造等腰三角形,有了等腰三角形,再利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,D,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,4.(2018江苏扬州)如图,已知O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,则AB=.,【解析】连接OA,OB,O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,AOB=90,OA=OB=2,AB=.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,典例3如图,四边形ABCD为O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AOCD,垂足为E,连接BD,GBC=50,则DBC的度数为()A.50B.60C.80D.85【解析】由圆内接四边形的性质,得ADC=GBC=50.又AOCD,DAE=40.延长AE交O于点F.由垂径定理,得,DBC=2DAF=80.【答案】C【方法指导】有关圆周角、圆内接四边形的问题题目中或图形中,有圆周角、圆内接四边形时,往往利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角、同弧所对的圆周角相等,转移角,或利用圆内接四边形的对角互补、同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半,求角的度数.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,B,A.45B.50C.55D.60【解析】四边形ABCD内接于O,ABC=105,ADC=180-ABC=180-105=75.,BAC=25,DCE=BAC=25,E=ADC-DCE=75-25=50.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,【方法归纳】圆的基本性质应用歌圆的问题不算难,常把半径直径连;有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;直径是圆最大弦,直圆周角立上边;直径垂直平分弦,垂径相似在心间;圆周角、圆心角,细找关系把线连;同弧圆周角相等,证题用它最多见.,考点扫描,备课资料,一、与垂径定理有关的辅助线类型1连半径构造直角三角形求圆中的弦长时,通常连半径,由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解.,考点扫描,备课资料,典例1(2018浙江衢州)如图,AC是O的直径,弦BDAO于点E,连接BC,过点O作OFBC于点F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是(),D,考点扫描,备课资料,类型2作弦心距巧解题已知弦长和圆的半径,常作弦心距,构造直角三角形,运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法.典例2(2018湖北孝感)已知O的半径为10cm,AB,CD是O的两条弦,ABCD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.【解析】分两种情况讨论:当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,AB=16cm,CD=12cm,AE=8cm,CF=6cm,OA=OC=10cm,EO=6cm,OF=8cm,EF=OF-OE=2cm;当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,AB=16cm,CD=12cm,AF=8cm,CE=6cm,OA=OC=10cm,OF=6cm,OE=8cm,EF=OF+OE=14cm.故弦AB与CD之间的距离为14cm或2cm.,2或14,考点扫描,备课资料,二、作直径,巧用直径所对的圆周角是直角典例3如图,ACF内接于O,AB是O直径,弦CDAB于点E,若CD=BE=8,则sinAFC的值为(),A,考点扫描,备课资料,三、与圆有关的动态问题典例4如图,AB是O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,ABC=60.若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着ABA方向运动,设运动时间为t(s)(0t4),连接EF,当t的值为s时,BEF是直角三角形.,1或1.75或2.25或3,【解析】作FMAB于点M.AB是直径,ACB=90,BC=2cm,B=60,AB=2BC=4(cm),在RtFBM中,BF=CF=1cm.当点E运动到与点O或点M重合时,EFB是直角三角形,当t的值为1或1.75或2.25或3s时,BEF是直角三角形.,命题点1垂径定理及其推论(常考)1.如图,O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为点E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则O的半径是.,命题点2圆周角定理及其推论(常考)2.如图,点P是等边三角形ABC外接圆O上的点,在以下判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,APC是等腰三角形B.当APC是等腰三角形时,POACC.当POAC时,ACP=30D.当ACP=30时,BPC是直角三角形,C,3.如图,点A,B,C,D在O上,O点在D的内部,四边形OABC为平行四边形,则OAD+OCD=.,60,【解析】根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,所以AOC=2D,又因为四边形OABC是平行四边形,所以B=AOC,圆内接四边形对角互补,B+D=180,所以D=60,连接OD,则OA=OD,OD=OC,OAD=ODA,OCD=ODC,即有OAD+OCD=60.,4.(2018安徽第20题)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;(保留作图痕迹,不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,5.如图,在O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF的延长线与O的交点.若OE=4,OF=6,求O的半径和CD的长.,解:OC为小圆的直径,OFC=90,即OFCD.CF=DF.OEAB,OEF=OFC=90.又FOE=COF,OEFOFC,
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