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第一节两个计数原理,1分类计数原理、分步计数原理(1)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法,(m1m2mn),(2)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法2分类计数原理与分步计数原理，都有涉及的不同方法的种数它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,m1m2mn,完成一件,事,相互独立,相互依存,14封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是()A34B43,解析：第n封信有3种投法(n1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有333334种投法答案：A,24人去借三本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是()A34B43解析：第n本书有4种借法(n1,2,3)，根据分步计数原理4人去借三本不同的书(全部借完)共有44443种借法答案：B,答案：8,4有8本书其中有2本相同的数学书，3本相同的语文书，其余3本为不同的书籍，一人去借，且至少借一本的借法有_种解析：数学书的本数可以是0,1,2三种；语文书的本数可以是0,1,2,3四种，其余3本书每本都有两种取法，由分步计数原理共有34222195种借法答案：95,5由nn个边长为1的小正方形拼成的正方形棋盘中，求由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目,解：如图1，根据分步计数原理，边长为k(1kn，kN*)的正方形共有(nk1)(nk1)(nk1)2个；由分类计数原理，图形中所有正方形的数目是n2(n1)2(n2)22212n(n1)(2n1)个,分类计数原理的应用例1高三(1)班有学生50人，男30人，女20人；高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人，女20人(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？分析具备分类计数原理的条件,解(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；同理，从高三(3)班中选一人有55种选法，共有506055165(种)(2)从高三(1)、(2)班男生中选有303060(种)，从高三(3)班女生中选有20种，共有30302080(种)拓展提升运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性,把单位正方体的六个面分别染上6种颜色，并画上只数不同的玉狗，各面的颜色与玉狗的只数对应如下表取同样的4个上述的单位正方体，拼成一个如图2所示的水平放置的长方体，则这个长方体的下底面总计共画有玉狗的只数为(),A15B16C17D18,解析：如图3，设面BCC1B1为红颜色，则面ABCD为蓝颜色，面CC1D1D为紫颜色，面DAA1D1为绿颜色，面AA1B1B为黄颜色，面A1B1C1D1为青颜色，互相对立的面(蓝青)、(黄紫)、(红绿)，故图中4个正方体的下底面分别为紫，黄，绿，青，再根据表即可得玉狗的只数为526417.答案：C,分步计数原理的应用例2现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？分析该问题是计数问题，完成的一件事是排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行,解先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：544441280种拓展提升解决问题时，理清思路，按事件发生的过程合理分步,安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析：“都不”：用乘法原理，把3、4、5、6、7五天“拿出来”，先让甲选值班日期，有5种选法；接下来让乙选值班日期，有4种选法再接下来5名工作人员任意排，有120种排法综合以上分析，不同的安排办法共有2400种答案：2400,两个原理的综合应用例3如图4，用6种不同的颜色给右图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答),解法一将4个区域标上数字1,2,3,4.先对区域1涂色，有6种方法，再对区域2涂色有5种方法，3与1同色，4与2可以同色也可以不同色，不同涂色方法有65(14)150种；3与1不同色，4只能与2或者1同色，不同涂色方法有654(11)240种，涂色方案共有150240390种,答案390,中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在图中的A、B、C、D四个区域落座现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，则不同的着装方法共有多少种？,解：当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有432124种不同的方法；当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A区、C区不同色且不与B、D同色时，有243248种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4312种不同的方法由分类计数原理知共有24481284种不同的着装方法,例4(2009全国卷)甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰好有1名女同学的不同选法共有()A150种B180种C300种D345种,解析分两类：(1)甲组中选出1名女生有CCC225(种)选法；(2)乙组中选出1名女生有CCC120(种)选法故共有345种选法故选D.答案D,拓展提升解决计数问题的基本思想就是先对问题进行分类，在每个类中再进行分步，根据乘法原理计算各个类的数目，最后根据加法原理计算总的数目,若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一个拆分，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种拆分，则集合Aa1，a2，a3的不同拆分的种数为()A8B9C26D27,解析：集合A的子集为，a1，a2，a3，a1，a2，a1，a3a2，a3，a1，a2，a3共8个，按A1可从8个子集中任意取值，则相应的A2的取值情况列表如下：,上表中对应的A2共有27个，即有27种拆分答案：D,1对“分类”与“分步”的理解(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法,(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成,2分类计数原理与分步计数原理的选用两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理,
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