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分类讨论,一.数学思想方法的三个层次:,分类讨论思想,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。,分类讨论思想,分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。,一.与概念有关的分类,1.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3x6，相应的函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式。,解析式为Y=x-4,或y=-x-3,2.函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。,二.图形位置的分类,如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,探索题1:,探索题:,在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,（分类讨论）,3.如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上，且AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出OCP的度数。,解：OQ=OC，OQ=QPOQC=OCQ，QOP=QPO设OCP=x0,则有：,6。在ABC中，C=900，AC=3，BC=4。若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？,4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是、，则BAC的度数是。,C,A,B,C,7.半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？,8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？,解：分三种情况计算：当AE=AF=5厘米时（图一）,当AE=EF=5厘米时（图2）,当AE=EF=5厘米时（图3）,三.与相似三角形有关的分类,9。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0x6）那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？,解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,QA=6，当=AP时，QAP为等腰直角三角形，即6t=2t,解得t=2（秒）,10。已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点,直线（）与轴交于点。（）求、三点的坐标；（）在直线（）上有一点（点在第一象限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似，求点的坐标。,解（1）A（1，0），B（1，0），C（，2）,当PDBCOB时，有P（m,2m2）；,11.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC，,AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求,（3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？,的正切值；,(4)是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。,解：（1）如图1所示，过点P作，,垂足为M，则四边形PDCM为矩形。,图,图,图1,
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