《概率论基本概念》PPT课件.ppt

第一章概率论基本概念,一.随机事件及其运算二.概率的定义及其运算三.条件概率四.事件的独立性,南京理工大学理学院,1随机试验,对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。随机试验的特点(p2)1.可在相同条件下重复进行；2.试验结果可能不止一个,但能明确所有的可能结果;3.试验前无法确定是哪个结果会出现。随机试验可表为E,随机试验的例,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面,观察正反面出现的情况;E2:将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。,2样本空间、随机事件(P2),1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为=；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的每个元素称为一个样本点,记为.,EX给出E1-E7的样本空间,试验中可能出现也可能不出现的情况叫“随机事件”，简称“事件”(P3)。记作A、B、C等。,注,任何事件均对应着样本空间的某个子集.,例1,E4:掷一颗骰子，考察可能出现的点数。S4=1,2,3,4,5,6;A=“掷出偶数点”B=“掷出大于4的点”=2，4，6=5，6C=“掷出奇数点”=1，3，5,样本空间的子集称为随机事件。,几个特殊事件:必然事件、不可能事件、基本事件(p3),事件间的关系,1.包含关系(p3)AB“A发生必导致B发生”。ABAB且BA.,2.和事件：(p4)“事件A与B至少有一个发生”AB发生,2n个事件A1,A2,An至少有一个发生发生,3.积事件(p4):A与B同时发生ABAB发生,3n个事件A1,A2,An同时发生A1A2An发生,4.差事件(p4)：AB称为A与B的差事件。AB发生事件A发生而B不发生,?,何时A-B=?何时A-B=A？,5.互斥的事件(p4)：AB，表示事件A与B不可能同时发生。,6.互逆的事件(p4)若AB,且AB，称A与B互为逆事件.表示A,B不可能同时发生，但必有一个发生。,事件的运算(p5),1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：,例2,甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,3频率与概率(P6),某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？,?,(p5)在相同条件下,进行n次试验，在这n次试验中事件A发生的次数nA，称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，记为fn(A).即fn(A)nA/n.,频率的性质(p6),0fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若A1,A2,Ak两两不相容，则fn(A1A2Ak)fn(A1)+fn(Ak).(4)随机波动性。(5)当n充分大时，具有稳定性。,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005,实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.此为概率的统计定义.,概率是频率的稳定值;频率是概率的反映,用频率去解释概率.,例如:P(A)=0.8,则应理解为在观察A而做的2000次试验中,事件A的出现次数应在1600次左右.,两者的关系,概率的公理化定义(p8),1933年，前苏联科学家柯尔摩哥洛夫，给出了概率的公理化定义,若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；(2)P(S)1；(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有P(A1A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。(p8),概率的性质P(8-9),(2)有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,n,则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)+P(An);,(4)事件差：A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB),(3)单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B),(1),(5)加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形.,例1,例2,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例3,在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除;B-取到的数能被3整除,故,4古典概型(P10),?,P（A）如何计算？,掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？,(p10)若某试验E满足（1）有限性：样本空间Se1,e2,en;（2）等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en).则称E为古典概型,也称为等可能概型。,例1,盒中有3只白球,2只红球,从中任意摸一球,观察其颜色,S=白、红，此试验是否为古典概型？,设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有,(1)0P(A)1；(2)P(S)1；P()=0(3)AB，则P(AB)P(A)P(B)=,例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A表至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩以T表某个孩子是女孩。,S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,乘法定理：设完成一件事需分两步：第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法.,A,B,C,加法定理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,A,B,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列.,共有nk种排列方式.,n,n,n,n,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列.,共有Ank=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,当k=n时，Ank=n!，称为全排列。,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有,种取法.,例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。,解:设A=“取到一红一白”,(1)摸球问题,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,已知同上例，求至少有一只白球的概率？,解：令B=“至少有一只白球”则：N(B)=,(2)分球入盒问题,例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，每盒装球数目不限，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）只空一盒的概率是多少？,解:设A=“每盒恰有一球”,B=“放后空一盒”,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,?,(3)分组问题,例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。,解:设A=“每组有一名运动员”;B=“3名运动员集中在一组”,则：,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,(4)随机取数问题,例4：从1，2，3，4，5诸数中，任取3个排成自左向右的次序，求：（1）“所得三位数是偶数”的概率？（2）“所得三位数不小于200”的概率？,解：,(5)抽签问题,例5：袋中有a只白球，b只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第k次摸出白球的概率？,解：设想a+b只球进行编号，将a+b只球顺次排列在a+b个位置上。令A=“第k次摸到白球”则N(S)=(a+b)!N(A)=Ca1(a+b-1)!所以P(A)=a(a+b-1)!/(a+b)!=a/(a+b),5条件频率与独立性(P14),?,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？,?,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A发生条件下B发生的条件概率，记作P(B|A),一、条件概率,例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。,解：设A第一次取到红球,B第二次取到红球,P(B|A)=,1,4,S=,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p14),一般地，设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则,P(B|A)=,P(AB),P(A),(5.1),“条件概率”是“概率”吗？,?,条件概率的性质:(P(A)0)(1)P(B|A)0(2)P(S|A)=1(3)对一列两两互不相容的事件，A1,A2,有P(A1A2|A)P(A1|A)P(A2|A)+,例2设A,B,C是样本空间S中的三个事件,且P(C)0,试用概率的运算性质证明:P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C),例3一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,解：设A-从盒中随机取到一红球B-从盒中随机取到一新球.,A,B,nA=60,nAB=40,P(B|A)=,nAB,nA,2,3,=,二、乘法公式(P15),设A、B为两事件，P(A)0,则P(AB)P(A)P(B|A).(5.2)式(5.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(5.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An1).(5.4),例4盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，i=1,2,3,4,则,2,5,3,6,3,7,4,8,解：令Ai=“第i次抽到合格品.”i=1,2,3则所求的事件为：,例5一批零件共100件，其中有10件次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？,三、独立性(P16),袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球,令Ak=“第k个人摸到红球”，K=1,2,若摸后不放回：,若摸后放回：,结论：若摸后放回,A1发生与否对A2不产生影响。,设A、B是两事件，若P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立,简称独立(p16)。,1、两个事件的独立性,从一副52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？,?,定理：以下四种情形等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,证明:(1)(2)因为事件A、B相互独立,故,P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(B)-P(AB),=P(B)-P(A)P(B),=P(B)1-P(A)=P(B)P(A),故A与B相互独立.,若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。,2、多个事件的独立,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2ikn，具有等式P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)则称n个事件A1，A2，An相互独立。(p17),例1：重复掷一对骰子20次，求“20次中至少有一次出现双六”的概率？,解：令A=“20次中至少出现一次双六”Ai=“第i次出现双六”i=1,2,20,则,且,例：电路由元件A与两个并联的元件B,C串联而成，若A,B,C损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为.，.，.，则电路断路的概率是多少？,解：设A,B,C分别表元件A,B,C损坏。因A,B,C独立，,则,5全概率公式与贝叶斯公式(P18),A1,A2,An,B,例：S=南理工全体本科生Ai=“南理工本科i年级学生”i=1,2,3,4“南理工本科生中男学生”“南理工本科生中女学生”,定理1(p19)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,上式称为全概率公式。,例1有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,例2在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为0.9与0.4，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试问中国队取得冠军的可能性有多大？,解：设A1日本队胜美国队；A2美国队胜日本队；B中国队取得冠军；,若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队决赛而获胜的概率是多少？,解:,定理2设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B,P(B)0,有,上式称为贝叶斯公式。,例3：某工厂的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下概率：,一批产品中次品数,概率,0,4,1,2,3,0.1,0.2,0.4,0.2,0.1,现从每批中抽取10件检验，发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率？,解:令B=“一批产品通过检验”，Ai=“一批产品次品数为i件”。i=0,1,2,3,4,由题意，Aii=0,1,2,3,4为样本空间的一个划分。,已知：P(A0)=0.1,P(A1)=0.2,P(A2)=0.4,P(A3)=0.2,P(A4)=0.1又：P(B|A0)=P(B|A1)=P(B|A2)=P(B|A3)=P(B|A4)=,所以，由全概率公式：,续上例，求通过检验的一批产品中，恰有i件次品的概率？,解：由贝叶斯公式：,例4数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发送端发的是0的概率是多少?,0.067,解：设A-发射端发射0，B-接收端接收到一个“1”的信号,0(0.55),01不清,(0.9)(0.05)(0.05),1(0.45),10不清,(0.85)(0.05)(0.1),条件概率,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,条件概率小结,第一章小结本章由六个概念（随机试验、样本空间、随机事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成。,