北师版数学七年级上册一元一次方程经典例题

一元一次方程 教学重点 1 一元一次方程和方程的解的概念 2 理解和应用等式的性质 3 找相等关系列一元一次方程 用合并 移项解一元一次方程 4 去括号法则在解方程中的熟练应用 5 利用 去分母 将方程作变形处理 6 建立方程解决实际问题 会解 ax b c 类型的一元一次方程 7 将实际问题抽象为方程 列方程解应用题 精例精析 例 1 判断下列各式中 哪些是方程 哪些是一元一次方程 1 1 2 3 2 3 0 13 x152 x 4 R2 5 6 063 y 例 2 已知 是关于 的一元一次方程 求 的值 2 3 70kx xk 小结 正确识别一元一次方程应注意以下几点 1 只含有一个未知数 2 未知数的次数是 1 若次数不是 1 的项 其系数必须为 0 3 未知数 的系数不为 0 例 3 解下列一元一次方程 1 2 429x 843y 小结 1 合并同类项 合并是指根据分配律 把含 的几项合并成一个x 式子 如 24 12 4 xx 2 移项 方程中的任何一项 都可以在改变符号后 从方程的一边移到另一 边 这类变形叫做移项 这个法则叫做移项法则 利用移项求出方程解的方法 叫做移项法 移项的根据是等式的性质 例 4 解方程 1 2 3 2 1 xx 23 4 12 5 0yy 小结 去括号法则 括号外的因数是正数时 去括号后各项的符号与原括 号内相应各项的符号相同 括号外的因数是负数时 去括号后各项的符号与原 括号内相应各项的符号相反 有多重括号时 要按照由内到外 或由外到内 的顺序依次去括号 例 5 解方程 1 2 15423 x 6 1503 4 x 小结 去分母的方法 对于含有分数系数的方程 可以运用等式的性质 2 在方程的两边同乘以所有分母的最小公倍数 将方程化为整系数的方程 这 种化简的方法叫做去分母 例 6 解方程 1 2 5321 xx 2 15 0 x 小结 1 在解方程时 应注意观察方程的特点 根据方程的特点 灵活 把握求解的方法步骤 2 求解过程中的步骤并不是固定不变的 3 通过解方程体验转化思想 例 7 学校新进一批教学设备 共由若干个小箱组成 让七 1 班的学生去运 若每人 8 箱 还余 36 箱 若每人 10 箱 还缺少 44 箱 问这批设备共有多少箱 这个班有多少人 小结 列一元一次方程解实际问题找等量关系是关键 注意抓住基本等量 关系 表示同一个量的两个不同的式子相等 例 8 根据我省 十二五 铁路规划 连云港至徐州客运专线项目建成后 连 云港至徐州的最短客运时间将由现在的 2 小时 18 分钟缩短为 36 分钟 其速度 每小时将提高 260km 求提速后的火车速度 精确到 1km h 1 总结 解较简单的一元一次方程的步骤 移项 将常数项放在等号的右边 未知数的项放在等号的左边 合并 将同类项进行合并 一般要逆用分配律 系数化为 1 用等式的性质 2 化成 的形式 xa 2 列方程解应用题的一般步骤 1 设恰当的未知数 并用 表示相关的x 量 2 根据相等关系列一元一次方程 3 解一元一次方程 4 作 答 3 去括号解方程时 一是 要注意不要漏乘项 二是 当括号外的因数是负 数时 要注意去掉括号后的各项都要变号 中考直通车 例 9 去年秋季以来 我市某镇遭受百年一遇的特大干旱 为支援该镇抗旱 上级下拨专项抗旱资金 80 万元用于打井 已知用这 80 万元打灌溉用井和 生活用井共 58 口 每口灌溉用井和生活用井分别需要资金 4 万元和 0 2 万 元 求这两种井各打多少口 小结 找等量关系是关键 注意抓住基本等量关系 总量 各部分量的和 例 12 在长为 10m 宽为 8m 的矩形空地中 沿平行于矩形各边的方向分割出三 个全等的小矩形花圃 其示意图如图所示 求小矩形花圃的长和宽 四 归纳小结 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母 注意方程中所有项都乘以最小公倍数 去括号 注意括号前的数和符号一起与括号内每项相乘 移项 注意移的项变号 未移的项不变 合并同类项 注意未知项的系数相加作为未知项的系数 常数项合并作 常数项 系数化为 1 方程两边都除以未知项的系数或都乘以未知项系数的倒数 注意 上述步骤不是一成不变的 要根据方程的特点 灵活处理 如有时 可以先合并同类项再移项 2 解决较复杂的一元一次方程问题时 要灵活运用分类思想和整体代换思想 3 知识总结 例 13 某粮库装粮食 第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍 如果从第一个仓 库中取出 20 吨放入第二个仓库中 第二个仓库中的粮食是第一个中的 问每 个仓库各有多少粮食 小结 在解答应用题时 若题中出现 几倍 共 多 少 快 慢 提前 超过 增加 相差等含数量关系的句子 应抓住它们进行分析 以使相等关系 显现出来 例 14 某种商品的标价是 650 元 打 8 折销售 仍可获得 4 的利润 这种商品 的进价是多少 小结 商品的利润率问题常见数量关系 利润率 利润 10 售 价 进 价进 价 售价 进价 注意事项 分清利润与利润率 打几折就是按原价的百分之几十后 出售 例 15 储户到银行存款 一段时间后 银行要向储户支付存款利息 同时银行 还将代扣由储户向国家缴纳的利息税 税率为利息的 20 1 将 8500 元钱以一年期的定期储蓄存入银行 年利率为 2 2 到期支取时 可得到利息 元 扣除个人所得税后实得 元 2 小明的父亲将一笔资金按一年期的定期储蓄存入银行 年利率为 2 2 到期支取时 扣除所得税后得本金和利息共计 71232 元 问这笔资金是多少元 3 王红的爸爸把一笔钱按三年期的定期储蓄存入银行 假设年利率为 3 到期支取时扣除所得税后实得利息为 432 元 问王红的爸爸存入银行的本金是 多少 等式 等式的性质 方程 方程的解 一元一次方程 和它的解法 解方程 一元一次方程的应用 小结 利息问题常用公式 利息 本金 利率 期数 本息 本金 利息 常 见数量关系 利息税 利息 税率 实得利息 利息 利息税 注意月利率与年利率的区别 例 16 甲 乙两地相距 162 千米 甲地有一辆货车 速度为每小时 48 千米 乙地有一辆客车 速度为每小时 60 千米 求 1 若两车同时相向而行 多长时间可以相遇 2 若两车同时背向而行 多长时间两车相距 270 千米 3 若两车相向而行 货车先开 1 小时 再过多长时间可以相遇 小结 能利用示意图作为建模策略 分析行程问题中的等量关系列方 程 分析问题重在理顺路程 时间 速度三者的关系 抓住其中的一条线索路 程 或时间或速度 找相等关系 这是解题的关键 例 17 修筑一条公路 甲工程队单独承包要 80 天完成 乙工程队单独承包要 120 天完成 1 现在由两个工程队合作承包 几天可以完成 2 如果甲 乙两工程队合作了 30 天 因甲工作队另有任务 剩下工作由乙工作队完成 则修好这条公路共需要几天 小结 工程问题中要善于把握什么是总工作量 总工作量可以看成 1 工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量 1 例 18 如右图 小杰 小丽分别在 400 米环形跑道上练习跑步与竞走 小杰每 分钟跑 320 米 小丽每分钟走 120 米 两人同时由同一点出发 问几分钟后 小丽与小杰第一次相遇 小结 借助示意图和列表格分析问题 建立等量关系 中考直通车 例 19 目前 自驾游 已成为人们出游的重要方式 五一 节 林老师驾轿 车从舟山出发 上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高 速 其间用了 4 5 小时 返回时平均速度提高了 10 千米 小时 比去时少 用了半小时回到舟山 1 求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程 2 两座跨海大桥的长度及过桥费见下表 省交通部门规定 轿车的高速公路通行费 元 的计算方法为 y 其中 元 千米 为高速公路里程费 千米 为高速公路5 baxya x 里程 不包括跨海大桥长 元 为跨海大桥过桥费 若林老师从舟山到b 嘉兴所花的高速公路通行费为 295 4 元 求轿车的高速公路里程费 a 大桥名 称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥 大桥长 度 48 千米 36 千米 过桥费 100 元 80 元 嘉兴 舟山 东海 小结 1 解决有关图表信息问题 要充分利用图表中的数据信息 2 利 用方程解决实际问题时 不仅可以求解 还要看解是否符合实际意义 由此 可以利用方程对一些问题进行推理判断 例 20 某工程队承包了某段全长 1755 米的过江隧道施工任务 甲 乙两个组 分别从东 西两端同时掘进 已知甲组比乙组平均每天多掘进 0 6 米 经过 5 天 施工 两组共掘进了 45 米 1 求甲 乙两个组平均每天各掘进多少米 2 为加快进度 通过改进施工技术 在剩余的工程中 甲组平均每天能比原 来多掘进 0 2 米 乙组平均每天能比原来多掘进 0 3 米 按此施工进度 能够比 原来少用多少天完成任务 小结 类别 行程问题 工程问题 类似的量 行驶路程 行驶速度 行驶时间 工作总量 工作效率 工作时间 公式 路程 速度 时间 工作量 工效 时间 一元一次方程 章末测试题 基础卷 一 选择题 每题 3 分 共 30 分 1 下面的等式中 是一元一次方程的为 A 3x 2y 0 B 3 m 10 C 2 x D a 2 161 2 下列结论中 正确的是 A 由 5 x 13 可得 x 13 5 B 由 5 x 3 x 7 可得 5 x 3 x 7 C 由 9 x 4 可得 x D 由 5 x 8 2x 可得 5 x 2 x 8 49 3 下列方程中 解为 x 2 的方程是 A 3x x 3 B x 3 0 C 2x 6 D 5x 2 8 4 解方程 时 去分母得 A 4 x 1 x 3 5x 1 B x 1 12x 5x 1 C 3 x 1 12x 4 5x 1 D 3 x 1 x 4 5x 1 5 若 y 1 与 3 2y 互为相反数 则 y 等于 A 2 B 2 C D 7878 6 关于 y 的方程 3y 5 0 与 3y 3k 1 的解完全相同 则 k 的值为 A 2 B C 2 D 4334 7 父亲现年 32 岁 儿子现年 5 岁 x 年前 父亲的年龄是儿子年龄的 10 倍 则 x 应满足的方程是 A 32 x 5 x B 32 x 10 5 x C 32 x 5 10 D 32 x 5 10 8 小华在某月的月历中圈出几个数 算出这三个数的和是 36 那么这个数阵的 形式可能是 A B C D 9 某商品的售价比原售价降低了 15 现售价是 34 元 那么原来的售价是 A 28 元 B 32 元 C 36 元 D 40 元 10 用 72cm 长的铁丝做一个长方形的教具 要使宽为 15cm 那么长是 A 28 5cm B 42cm C 21cm D 33 5cm 二 填空题 每题 3 分 共 27 分 11 设某数为 x 若它的 3 倍比这个数本身大 2 则可列出方程 12 将方程 3x 7 5x 3 变形为 3x 5x 3 7 这个变形过程叫做 13 当 y 时 代数式 与 y 5 的值相等 41 14 若 与 互为倒数 则 x 31 15 三个连续奇数的和是 75 则这三个数分别是 16 一件商品的成本是 200 元 提高 30 后标价 然后打九折销售 则这件商品 的利润为 元 17 若 x 3 是关于 x 的方程 3x a 2x 5 的解 则 a 的值为 18 单项式 3a x 1 b4与 9a2x 1 b4是同类项 则 x 19 一只轮船在 A B 两码头间航行 从 A 到 B 顺流需 4 小时 已知 A B 间的路 程是 80 千米 水流速度是 2 千米 时 则从 B 返回 A 用 小时 三 解答题 共 43 分 20 每个 3 分 共 9 分 解方程 5x 2 7x 8 5 x 8 5 6 2x 7 21 3 分 一个数的 与 4 的和等于最大的一位数 求这个数 65 22 5 分 把 500 元钱按照 3 年定期存教育储蓄 如果到期可以得到本息和共 540 5 元 那么这 3 年定期教育储蓄的年利率是多少 23 5 分 初一 2 班第一小组同学去苹果园参加劳动 休息时工人师傅摘苹果 分给同学 若每人 3 个还剩余 9 个 若每人 5 个还有一个人分 4 个 试问第一 小组有多少学生 共摘了多少个苹果 24 5 分 一队学生去校外进行军事野营训练 他们以 6 千米 时的速度行进 在他们走了一段时间后 学校要将一个紧急通知传给队长 通讯员从学校出发 以 10 千米 时的速度按原路追上去 用了 15 分钟追上了学生队伍 问通讯员出 发前 学生走了多少时间 25 5 分 某商店将某种品牌的 DVD 按进价提高 35 然后打出 八折酬宾 外送 50 元出租车费 的广告 结果每台 DVD 仍可获利 166 元 那么每台 DVD 的 进价是多少元 26 11 分 下图的数阵是由 77 个偶数排成 1 图中平行四边形框内的 4 个数有什么关系 2 在数阵图中任意作一类似 1 中的平行四边形框 设其中一个数为 x 那么其他 3 个数怎样表示 3 小红说 4 个数的和是 415 你能求出这 4 个数吗 4 小明说 4 个数的和是 420 存在这样的 4 个数吗 若存在 请求出这 4 个数 一元一次方程 章末测试题 提高卷 一 选择题 每题 3 分 共 30 分 1 下列说法中 正确的是 A 方程是等式 B 等式是方程 C 含有字母的式子是方程 D 不含字母的方程是等式 2 下列方程变形正确的是 A 由 3 x 1 5 x 2 0 得 2x 7 B 由 x 1 2x 3 得 x 2x 1 3 C 由 1 得 3x 2 1 D 由 2x 3 得 x 2 3 若代数式 3a4b2x与 0 2b3x 1 a4能合成一项 则 x 的值是 A B 1 C D 023 4 如果 3kx 2 6k x 是关于 x 的一元一次方程 则 A k 是任意 有理数 B k 是不等于 0 的有理数 C k 是不等于 的整数 D k 是不等于 的数3131 5 若代数式 的值是 2 则 x 的值是 A 0 75 B 1 75 C 1 5 D 3 5 6 某商品提价 10 后 欲恢复原价 则应降价 A 10 B 9 C D 10910 7 某服装商店同时卖出两套服装 每套均卖 168 元 以成本计算 其中一套盈 利 20 另一套亏本 20 则这次服装商店 A 不赚不赔 B 赚 37 2 元 C 赚 14 元 D 赔 14 元 8 一个三位数 3 个数位上的数字和是 15 百位上的数字比十位上的数字小 1 个位上的数字比十位上的数字大 1 则这个三位数是 A 345 B 357 C 456 D 567 9 已知关于 x 的方程 ax 4 14x a 的解是 x 2 则 a 的值是 A 24 B 24 C 32 D 32 10 某人在 1999 年 12 月存入人民币若干元 年利率为 2 25 税率为利息的 20 一年到期后将缴纳利息税 72 元 则他存入的人民币为 A 3600 元 B 16000 元 C 360 元 D 1600 元 二 填空题 每题 3 分 共 24 分 11 若 与 互为倒数 则 x 等于 41 12 若方程 2x 3 3x 2 k 的解是 x 2 那么 k 的值为 13 月历上 若一个竖列上相邻的三个数的和是 54 则这三个数分别为 14 若 x 1 是关于 x 的方程 mx n p 的解 则 m n p 2006 15 800 元的七折价是 元 元的八折价是 720 元 16 如果方程 与 的解相同 则 m 的值为 17 已知方程 是关于 x 的一元一次方程 则 m 18 甲乙两人开展学习竞赛 甲每天做 5 道数学题 乙每天做 8 道数学题 若甲 早开始了 3 天 那么乙 天后和甲做的题目一样多 三 解答题 共 46 分 19 解方程 每个 4 分 共 16 分 3 x 3 24 20 5 分 据了解 个体服装销售要高出进价的 20 方可盈利 一销售老板以 高出进价的 60 标价 如果一件服装标价 240 元 那么 1 进价是多少元 2 最低售价多少元时 销售老板方可盈利 21 5 分 某甲 乙 丙三个圆柱形容器 甲的内径是 20 厘米 高 32 厘米 乙的内径是 30 厘米 高 32 厘米 丙的内径是 40 厘米 甲 乙两容器中都注满 了水 问 如果将甲 乙两容器中的水全部倒入丙容器而使水不溢出来 丙容器 至少要多高 22 5 分 某剧团为 希望工程 募捐组织了一次义演 共卖出 800 张票 成 人票 1 张 9 元 学生票 1 张 6 元 共筹得票款 6180 元 问成人票与学生票各售 出多少张 23 5 分 敌我相距 14 千米 得知敌军于 1 小时前以每小时 4 千米的速度逃 跑 现在我军以每小时 7 千米的速度追击敌军 在距敌军 0 6 千米处向敌军开 火 48 分钟将敌军全部歼灭 问敌军从逃跑到被我军歼灭共花多长时间