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厦门大学数学科学学院,第五章多项式Polynomial,厦门大学数学科学学院,概述_1,代数角度代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式函数角度根及其性质，余数定理二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等,厦门大学数学科学学院,概述_2,与数域扩大无关的多项式性质整除、最大公因式、互素、余数定理等与数域扩大有关的多项式性质不可约、因式分解、根理论等,厦门大学数学科学学院,5.1目的与要求,掌握一元多项式形式的准确描述;理解Kx对于多项式的加法,数乘,乘法构成K-代数;掌握用多项式的次数来解题的方法.,厦门大学数学科学学院,数域_1,定义若集合K中任意两个数作某一运算后的结果仍然在K中，则称K关于这个运算封闭。定义复数集C的子集K称为数域，若其满足下列条件:包含0,1该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭,厦门大学数学科学学院,数域_例,例1.有理数域Q;实数域R;复数域C.例2.自然数集N;整数集Z.例3.,厦门大学数学科学学院,数域_2,命题任一数域必包含有理数域Q.命题R和C之间不存在任何其他数域.,厦门大学数学科学学院,一元多项式_1,定义K:数域,aiK,0in;n0,x:不定元,形如称为K上x的一元多项式.例1判断以下是否多项式?K上一元多项式全体记为Kx,厦门大学数学科学学院,一元多项式_2,定义aixi:称为第i次项,ai:第i次项系数.当an0时,f(x)称为n次多项式,次数记为degf(x).anxn:首项,an:首项系数,a0:常数项.an=1:首一多项式注1常数多项式:f(x)=a00(零次多项式)f(x)=a00degf(x)=0ai=0,i0f(x)=0(零多项式),此时规定:degf(x)=f(x)=0degf(x)=注2f(x)0degf(x)0,厦门大学数学科学学院,多项式的相等,定义两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等即若则f(x)=g(x)当且仅当m=n,ai=bi,0in.,厦门大学数学科学学院,多项式的运算_加法1,设f(x),g(x)Kx,适当增加几个系数为0的项,可设定义加法:则f(x)+g(x)Kx.,厦门大学数学科学学院,多项式的运算_加法2,性质(1)(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)(2)f(x)+g(x)=g(x)+f(x)(3)0+f(x)=f(x)(4)f(x)+(f(x)=0,厦门大学数学科学学院,多项式的运算_数乘1,设定义c与f(x)的数乘为:则cf(x)Kx.,厦门大学数学科学学院,多项式的运算_数乘2,性质(5)(6)(7)(8),厦门大学数学科学学院,多项式的运算_乘法1,设定义f(x)与g(x)的乘积:f(x)g(x)=h(x)其中,厦门大学数学科学学院,性质:(9)(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)(10)f(x)g(x)=g(x)f(x)(11)(f(x)+g(x)h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)(12)c(f(x)g(x)=(cf(x)g(x)=f(x)(cg(x)(13)1f(x)=f(x).,多项式的运算_乘法2,厦门大学数学科学学院,多项式的次数,引理deg(f(x)+g(x)maxdegf(x),degg(x)degf(x)=degcf(x),0cKdeg(f(x)g(x)=degf(x)+degg(x)注deg(f(x)g(x)=0degf(x)=0且degg(x)=0,厦门大学数学科学学院,多项式的消去律,命题f(x),g(x)Kx.f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0.推论若f(x)0,f(x)g(x)=f(x)h(x),则g(x)=h(x).例2f(x),g(x)Rx且f2(x)+g2(x)=0,则f(x)=g(x)=0.,厦门大学数学科学学院,5.2目的与要求,掌握带余除法的内容和证明方法;熟练用带余除法、待定系数法、凑项法解答有关整除问题.,厦门大学数学科学学院,整除_定义,定义:设f(x),g(x)Kx.若存在h(x)Kx.使得f(x)=g(x)h(x),则称g(x)整除f(x),或f(x)被g(x)整除,或g(x)是f(x)的因式.记为g(x)|f(x).否则记g(x)f(x).注:g(x)|f(x)不可记做g(x)/f(x).,厦门大学数学科学学院,例子,例12|3?例21)f(x)|0?2)0|f(x)?例3f(x)满足什么条件时,f(x)|1?例4若g(x)|f(x),问是否必有degg(x)degf(x)?例5设g(x)0,degg(x)degf(x),且g(x)|f(x),证明:f(x)=0.,厦门大学数学科学学院,整除_性质,性质:f(x),g(x),h(x)Kx,则(1)反身性:f(x)|f(x);(2)传递性:f(x)|g(x),g(x)|h(x),则f(x)|h(x);(3)互伴性:f(x)|g(x),g(x)|f(x),则存在0cK,使f(x)=cg(x);称此二多项式为相伴多项式,记做f(x)g(x).(4)f(x)|g(x),则对任意0cK,cf(x)|g(x);(5)f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意u(x),v(x)Kx,有f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x).特别地若g(x)|g(x)u(x)+h(x),则g(x)|h(x).,厦门大学数学科学学院,带余除法_1,带余除法定理设f(x),g(x)Kx,g(x)0,则存在唯一q(x)、r(x)Kx,且degr(x)degg(x),使得f(x)=g(x)q(x)+r(x).注1:定理结论可叙述为：f(x)=g(x)q(x)+r(x),这里或者r(x)=0，或者0degr(x)0,满足以下性质:对任意f(x)Kx或p(x)|f(x)或(f(x),p(x)=1,则p(x)在K上不可约.性质2的逆命题设p(x)Kx,degp(x)0,满足以下性质:对任意f(x),g(x)Kx,如果p(x)|f(x)g(x)必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),则p(x)是K上不可约多项式.注多项式f(x)不可约的判定除了定义外,还可以通过其与任意多项式的关系(要么整除要么互素)来判定.,厦门大学数学科学学院,不可约多项式_性质3,推论设f1(x),f2(x),fm(x)Kx,且p(x)是K上不可约多项式,若p(x)|f1(x)f2(x)fm(x),则存在i,1im,使得p(x)|fi(x).,厦门大学数学科学学院,因式分解基本定理_1,因式分解基本定理设f(x)Kx,且degf(x)1,则1)f(x)=p1(x)p2(x)ps(x),其中pi(x)是K上不可约多项式,1is;2)若f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x)其中pi(x),qj(x)在K上不可约,1is,1jt,则必有s=t且经过适当调换因式顺序后,qi(x)pi(x),1is.多项式的标准分解式其中pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,ei1.,厦门大学数学科学学院,例子,例1分别求多项式f(x)=6(x84x4+4)分别在Q、R和C上的多项式的标准分解式.,厦门大学数学科学学院,最小公倍式_定义,定义:设f(x),g(x)Kx,若m(x)Kx使得1)f(x)|m(x)且g(x)|m(x);2)若f(x)|l(x)且g(x)|l(x),则m(x)|l(x)则称m(x)是f(x)与g(x)的最小公倍式.首一最小公倍式记作f(x),g(x).例4f(x)=(x1)3(x+2)x,g(x)=2(x1)2(x+2)5(x+3).求f(x),g(x)的最小公倍式、最大公因式.推论5设f(x),g(x)是非零多项式,则f(x)g(x)(f(x),g(x)f(x),g(x).,厦门大学数学科学学院,因式分解基本定理_2,定理设ai0,bi0,ai+bi0,1im,pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,则,厦门大学数学科学学院,重因式_1,多项式的导数设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,则其导数为f(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+a1(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)(cf(x)=cf(x)(fm(x)=mfm-1(x)f(x).,厦门大学数学科学学院,定义不可约多项式p(x)称为f(x)的k重因式(k1),如果并且.注不可约多项式p(x)为f(x)的k重因式例2分别在R和C上叙述p(x)=x2+1是否是f(x)=(x41)3的重因式.若是,是几重因式;若不是,为什么?,重因式_2,厦门大学数学科学学院,定理若不可约多项式p(x)是f(x)的k(2)重因式,则p(x)是f(x)的k1重因式.注1若不可约多项式p(x)是f(x)的k1重因式,并不意味着p(x)是f(x)的k重因式.注2若不可约多项式p(x)是f(x)的k1重因式,且p(x)|f(x),问p(x)是f(x)的k重因式么?(思考),重因式_3,厦门大学数学科学学院,定理设d(x)=(f(x),f(x),f(x)=f1(x)d(x),则f1(x)是一个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.证明思路:设是标准分解式,则从而注去除重数的有效方法,重因式_4,厦门大学数学科学学院,推论1若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式,则p(x)是f(x),f(x),f(k-1)(x)的因式,但不是f(k)(x)的因式.推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式p(x)是f(x)和f(x)的公因式.推论3f(x)无重因式(f(x),f(x)=1.注1判断f(x)是否有重因式无需进行因式分解.注2f(x)是否可约与数域有关;p(x)是否是f(x)的重因式与数域有关;但f(x)是否有重因式与数域无关.,重因式_5,厦门大学数学科学学院,例子,例3:设证明:存在自然数N,使得当n1,n2N时,总成立例4:设,证明的充要条件是存在K上不可约多项式,使得例5:设f(x)Kx,aK,令g(x)=f(x+a).证明f(x)在K上可约g(x)在K上可约.,厦门大学数学科学学院,作业,作业:p1943,4;p2271,2;p1981(1),2,4,6;p2273;补充1:求证无重因式.补充2:求有重因式的条件.补充3:f(x)=anxn+a1x+a0在K上可约,其中ana00,证明g(x)=a0 xn+an-1x+an在K上也可约.思考:若不可约多项式p(x)是f(x)的k1重因式,且p(x)|f(x),问p(x)是f(x)的k重因式么?选做:f(x),g(x)全不为零,若f(x)g(x)+f(x)+g(x)=p(x)是首一不可约多项式,则(f(x),g(x)=1.,厦门大学数学科学学院,复习,p(x)是K上不可约多项式p(x)的因式只能是c或cp(x),0cK.f(x)Kx,p(x)|f(x)或(p(x),f(x)=1.f(x),g(x)Kx,且p(x)|f(x)g(x),则p(x)|f(x)或p(x)|g(x).f(x)无重因式(f(x),f(x)=1.设d(x)=(f(x),f(x),f(x)=f1(x)d(x),则f1(x)是一个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.,厦门大学数学科学学院,5.5目的与要求,理解多项式可作为函数的根的性质;理解两个多项式相等作为函数相等;了解多项式的性质与数域扩大的关系;能应用多项式的函数性质解决相关问题.,厦门大学数学科学学院,多项式函数_1,设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,对任意bK,定义f(b)=anbn+an-1bn-1+a1b+a0,则定义了数域K上的函数.定义设f(x)Kx,bK,且f(b)=0,则称b为f(x)在K上的一个根或零点.余数定理设f(x)Kx,bK,则存在唯一的g(x)Kx,使得f(x)=(xb)g(x)+f(b).特别地,b是f(x)的根当且仅当(xb)|f(x).,厦门大学数学科学学院,多项式函数_2,定理设f(x)Kx,且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个不同的根.推论设f(x),g(x)Kx,且degf(x),degg(x)n,且存在n+1个不同的数b1,b2,bn+1K,使得f(bi)=g(bi),1in+1,则f(x)=g(x).定理设f(x),g(x)Kx,则f(x),g(x)作为多项式相等(即次数和各次项系数相等)当且仅当f(x),g(x)作为多项式函数相等:即对任意bK,有f(b)=g(b).,厦门大学数学科学学院,例,例1sinx不是R上多项式.例2设degf(x)0,n是正整数.又若f(x)|f(xn),则f(x)的根或为0或为单位根.(复习题6),厦门大学数学科学学院,多项式函数_3,定义bK,若(xb)k|f(x),但则称b为f(x)的一个k重根.若k=1,则称b为单根.注1f(x)在K上有重根,则在K上必有重因式;反之未必.命题设f(x)Kx,且degf(x)=n,则f(x)在K上至多有n个根.,厦门大学数学科学学院,例子,例3设b是f(x)的k重根,则b是f(x)的k1重根.反之未必.例4设b是(f(x),f(x)的k1重根,则b必是f(x)的k重根.,厦门大学数学科学学院,多项式性质与数域扩大的关系,多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大无关定理设F,K是数域,且.设f(x),g(x)Kx,则1)在Kx上,g(x)|f(x)在Fx上,g(x)|f(x);2)在Kx上,f(x)=g(x)q(x)+r(x)在Fx上,f(x)=g(x)q(x)+r(x)3)在Kx上,(f(x),g(x)=d(x)在Fx上,(f(x),g(x)=d(x)4)在Kx上,(f(x),g(x)=1在Fx上,(f(x),g(x)=1多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关,厦门大学数学科学学院,例子,例5讨论f(x)=x2+1在R、C上的根与可约性.例6f(x)在K上不可约,则必在任何数域上无重根(作业).例7f(x),p(x)是K上多项式,p(x)在K上不可约,且f(x)与p(x)在C上有公共根,则p(x)|f(x).例8f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,m,n,p是正整数,则x2+x+1|x3m+x3n+1+x3p+2.,厦门大学数学科学学院,复习,K上x的一元多项式的标准分解式其中pi(x)是两两互素首项系数为1的K上不可约多项式,ei1.ei的确定pi(x)的确定,厦门大学数学科学学院,5.6目的与要求,理解代数基本定理与Cx上多项式标准分解式;熟练掌握Vite定理.,厦门大学数学科学学院,复系数多项式,代数基本定理每个次数大于0的复数域上多项式都至少有一个根.推论复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.推论复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上非常数多项式的标准分解式:其中aiC且两两互异,ei0,1im,厦门大学数学科学学院,最重要的贡献是对代数学的推进最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。创设了大量的代数符号，用字母代替未知数系统阐述并改良了三、四次方程的解法指出了根与系数之间的关系给出三次方程不可约情形的三角解法著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作详情进入课程网站应用与实验数学家简介,韦达(FransoisVite,1540-1603)法国十六世纪最有影响的数学家之一,厦门大学数学科学学院,Vite定理_根与系数的关系,Vite定理设f(x)=xn+p1xn-1+pn-1x+pnKx在K中有n个根x1,x2,xn,则,厦门大学数学科学学院,例子,例1写出下列多项式根与系数的关系:,厦门大学数学科学学院,例子,例2设x3+px2+qx+r的三个根成等差数列,求证2p39pq+27r=0.例3设是x3+px2+qx+r的根.求多项式,使得其根为例4设f(x)=anxn+a0的n个根x1,x2,xn两两互异,且xi0,1in,求以为根的多项式.,厦门大学数学科学学院,作业,作业:p2011,2,3,5;p22711p2061,5;p22814思考:p2063,4;p22813选做:p2016;p2278补充:设f(x)=anxn+a0Zx,a0为素数,且a0|a1|+|an|,则f(x)在Z上不可约.,厦门大学数学科学学院,复习,复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上非常数多项式的标准分解式:其中aiC且两两互异,ei0,1im,厦门大学数学科学学院,5.7目的与要求,熟练掌握实系数多项式的标准分解式;学习一些解决实系数多项式问题的方法和技巧.学会用综合除法等方法求一些Q上多项式的有理根;理解整数集Z上多项式在Q上可约性的关系;熟练应用Eisenstein判别法;了解Q上多项式分解问题的一些技巧与方法.,厦门大学数学科学学院,实系数多项式,引理f(x),p(x)是K上多项式,p(x)在K上不可约,且f(x)与p(x)在C上有公共根,则p(x)|f(x).定理设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式.若复数a+bi(b0,a,bR)是f(x)在C上的根,则abi也是f(x)在C上的根.推论实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,其中b24ac0,bj24cj0,1im.复数域上的不可约多项式都是一次的.实数域上非常数多项式的标准分解式:其中ai,bj,cjR,ei,lj0,bj24cj0,ai两两互异,且x2+bjx+cj两两互素,1im,1jr.实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,其中b24ac0.,厦门大学数学科学学院,素数与整数的互素,设p,a,b是整数,且p是素数.若p整除ab,则p整除a,或p整除b.设p,a,b是整数,若p整除a,且p整除a+b,则p整除b.设p,q,h是非1整数,且p,q互素,则若p整除qh,则p整除h.,厦门大学数学科学学院,有理系数多项式_1,定理设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式,则有理数q/p是f(x)的根的必要条件是p|an,q|a0,其中p,q是互素的整数注1首一的整系数多项式其有理根必为整数,且是a0的因子.注2Z上f(x)有理根q/p,则分母p必为首项系数的因子,分子q必为常数项的因子.此非充分的.例6判断x3+6x2+9x+1是否有有理根?判断x3+6x2+9x+54是否有有理根?,厦门大学数学科学学院,有理系数多项式_2,定理设整数是整系数多项式f(x)的根,则都是整数.注1此法仅适用于整数根的判定,一般有理根不适用.注2Z仅是断定整数是f(x)根的必要条件,非充分条件.如2非x2+2的根.例6判断6,6是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根.,厦门大学数学科学学院,有理系数多项式_3,综合除法：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(xb)(bn-1xn-1+bn-2xn-2+b1x+b0)+f(b)anan-1an-2a1a0b+bn-1bbn-2bb1bb0ban=bn-1bn-2bn-3b0f(b)例6判断6是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根.例7将3x2x+1改写成x+1的多项式.,厦门大学数学科学学院,有理系数多项式_4,引理:设f(x)是有理数域上的多项式.若f(x)=bg(x),其中b为有理数,g(x)为整系数多项式,则f(x)在有理数域上可约g(x)在有理数域上可约.定义:设多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式,若an,an-1,a0的最大公约数为1,则称f(x)为本原多项式Gauss引理:两个本原多项式之积仍为本原多项式,厦门大学数学科学学院,有理系数多项式_5,引理:若g(x)是本原多项式,a是非整数的有理数,则ag(x)必非整系数多项式.定理:整系数多项式f(x)在有理数域上可约f(x)在整数上可约.注1若整系数多项式f(x)在有理数域上可约,则它必可分解为两个次数较低的整系数多项式之积.注2有理系数多项式在有理数域上的可约问题可以转化为整系数多项式在整数上的可约问题.,厦门大学数学科学学院,有理系数多项式_6,Eisenstein判别法:设多项式f(x)=anxn+an-1xn1+a1x+a0是整系数多项式,an0,n1，p是一个素数,若p|ai,in1.但p不整除an,且p2不整除a0,则f(x)在有理数域上不可约.注1p为素数是重要的.注2p若不存在,不能断定f(x)是否可约.,厦门大学数学科学学院,例子,例8对任意n1,xn2在Q上不可约.例9证明当n为素数时,在Q上不可约.例10若p为素数,证明f(x)=xp1+xp2+x+1在Q上不可约.例11求的有理根.例12设,其中为两两不同的整数.求证f(x)在Q上不可约.,厦门大学数学科学学院,例子,例13设f(x)=g(x)h(x),其中f(x)和g(x)都是整系数多项式,且g(x)是本原多项式.证明:h(x)也是整系数多项式.例14设既约分数是整系数多项式f(x)的根,k是任意整数.证明:整数kba整除f(k).例15设,其中为两两不同的整数.求证f(x)在Q上不可约.,厦门大学数学科学学院,例子,例16设f(x)Rx,且对于任意的rR,有f(r)0,求证存在g(x),h(x)Rx,使得f(x)=g2(x)+h2(x).例17设f(x)Rx,证明:f(x)有虚根的充要条件是存在两个次数不相同的非零多项式g(x),h(x)Rx,使得f2(x)=g2(x)+h2(x).,厦门大学数学科学学院,作业,作业:p2111,2(1),4(4),7,8,9;p22712补充:用综合除法,将x4+2x33x2x+1改写成x+1的多项式.思考:p2114(1),(2),5,6选做:p2076,
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