浅谈求导的方法

.浅谈求导的方法12级专接本 杜金凤 摘要 导数作为一种研究数学知识的工具，在求单调性、最值、切线等方面发挥了独特的作用，并且在高等数学中占据着重要的地位。本文对求导方法进行了简单的归纳与总结。 关键字 导数 高等数学 方法 一引言导数是初等数学于高等数学的衔接点，是高考的热点，同样在高等数学中，求导问题也是一个非常重要的内容。它是数学学习中必不可收的基础，是对函数形状研究的重要工具。因此，本文对求导方法进行了归纳，然后通过一些实例具体的介绍求导的方法。二导数的定义1.1 导数的定义定义 1 设函数在点及其附近有定义。考虑在点附近（除点以外）有定义的新的函数如果当时，有极限，则说在点是可导的，或者说在点是有导数的。而这个极限值，便称为在点的导数，记为，即=如果引入记号 ，分别称之为自变量和函数的改变量，则有 定义 2 （i）设函数在一个一点为右端点的闭区间上有定义。若极限 存在，则称函数在点左可导，并称这个极限值为在点的左导数，记为。（ii）设函数在一个一点为左端点的闭区间上有定义。若极限 存在，则称函数在点右可导，并称这个极限值为在点的右导数，记为。由左右极限与极限的关系易得，在点可导的充分必要条件是，它在既左可导又右可导，而且左右导数相等。此时定义 3 设是使可导的点组成的数集。因此，对于每一个，在点都有导数。在上定义一个新的函数，使它在属于的每一点处的函数值就是。这个函数称为的导函数，记为。易见。在大多数情况下，人们都把导函数简称为导数。三求导的方法1 显函数的求导法 2.1导数的四则运算(1) 若函数和在点可导，则函数在点也可导. (2) 若函数和在点可导，则函数在点也可导，且 (3) 若函数和在点可导，且，则在点也可导，且例1设，求.解： =.例2 求.，求. 解： .例3 ，求。解 例4 设，求解 2.2 复合函数求导法与反函数求导法则 设在点可导，在点，则复合函数在点可导 (1) 一般的复合函数求导法例设，求解：将看做和的复合函数，故 注 必须指出： (2) 反函数求导法则设函数在x处有不等于零的导数，且反函数在相应点处连续，则存在，且即反函数的导数等于直接函数倒数的导数的倒数。 例1 设，求解 的反函数为 而 所以 即例2 设，求。解 的反函数，而，则即 2.3 基本初等函数求导公式(1)（c为常数）(2)（为任意常数）(3)(4)，(5)，(6)，(7)2隐函数求导法 由方程所确定的y于x的函数关系称为隐函数。把隐函数化为显函数，称为隐函数的显化。例如从方程中。但有时隐函数的显化有困难，甚至有时变量不一定能用x直接表示。例如。所以不管一函数能否显化，我们希望有一种的方法直接有方程求出它所确定的应函数的导数。要求方程所确定的隐函数y（x）的导数，只要将视为的函数,利用复合函数的求导法则，对方程两边关于求导，得到一个关于，解出就可以了。例1 由方程确定是的函数，求。解 将方程两边对求导，得，解出，得例2 由方程确定的y是x的函数，求 解 将方程两边对求导， 解出，得，令x=0.由知，故. 例3 由方程确定的是的函数，求其曲线上点（-2,2）处的切线方程。解 将方程两边对求导，得解出，得 ，由，于是点（-2,2）处的切线方程是 即 .3 由参数方程所确定的函数求导法 参数方程，（存在反函数），则为的复合函数，所以：例1已知星型线的参数方程为 ，求。解 因为， ， 所以 。例2 求曲线，在对应t=e处的切线方程和法线方程。解 由 所以切线斜率 ，法线斜率 当时故切线方程为 ，即，即例3 求由摆线的参数方程 t为参数所确定的函数导数。 解 因为所以 4对数求导法（利用复合函数求导法则）对于一些特殊类型的函数，它既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数，我们利用对数求导法则来求例1 求的导数。解 方法1 将方程两边同时取对数 两边对求导数得 ， 所以 方法2 例2 设为实数，求幂函数的导数. 解： 因为可以看作与的复合函数，故 例3 设，求 解 如直接利用复合函数求导法公式求这个函数的导数，将会很复杂，为此先将方程两边取对数，得 两边对x求导，得 于是得 5分段函数的求导法 对分段函数求导时，在分段点处必须用导数 定义来求，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。分段点出极限问题，归纳为该点处在左、右极限两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。例1 设函数 (m为整数)，试问：(1) 为何值时，在连续； (2) 为何值时，在可导； (3) 为何值时，在连续；解 (1) 当时，。因此，对一切正整数，在连续。(2) 当s时即,;当m=1 , 不存在。故正整数时，f(x)在处可导且。(1)由(2) 知当时， 当时，=0-0=0=，故正整数时在连续。例2 设， 。求，而，有界，故得到=0例3 函数在处是否可导？解: 因为， ， 所以不存在 ，即在处不可导.例4 讨论函数在处的可导性于连续性，如图1 所示解： 连续性： ，从而.又，故.所以在连续.可导性：因为在处的左导数为 f(x)在x=0处的右导数为所以在的左右导数存在但不相等，于是在处不可导.6 利用一阶微分形式不变性求导设函数 根据微分的定义, 当 是自变量时, 函数的微分是.如果不是自变量, 而是的可导函数 , 则复合函数的导数为 , 于是, 复合函数 的微分为 。由于所以。由此可见, 不论 是自变量还是函数( 中间变量) , 函数的微分总是保持同一形式, 这一性质称为一阶微分形式不变性。有时, 利用一阶微分形式不变性求复合函数的导数比较方便。例1 函数的导数。解 所以例2 方程确定隐函数的导数。 解 对方程两边求微分，得 ，即 ，所以7 综合求导法 有些复杂的函数在求导时, 常常要将定义、公式等结合起来才能正确地求解。例14 为可导函数,，求 。分析: 首先是可导函数， 可以用求导法则求导,其次 不一定是可导函数， 所以就不能再用求法则对 求导， 而要应用导数的定义来求。也就是说常常要将定义法、求导公式和求导法则结合起来求函数的高阶导数。解 由于，所以，从而 例2 ，求。分析: 直接求导, 不仅运算量大, 而且不容易发现高阶导数的规律, 所以求函数的导数时, 应先尽量化简, 再利用求导公式、运算法则进行求导。 解 由于 所以 结束语 导数在高等数学中的应用十分广泛，涉及到高等数学中的各个方面。本文就导数的求导方法的有关知识在高等数学中进行了探讨。阐述了求导方法的有关知识来研究各种在高等数学中出现的问题。同时，导数是我们研究高等数学的一个重要工具，它使各个章节的内有联系的更加紧密，有助于我们高等数学的深入学习参考文献1数学分析 华东师范大学数学系 高等教育出版社2工科数学 邬冬华 陈宝冲 上海大学出版社3数学分析 周运明 尚德生 科学出版社4浅析函数求导 张丽华.