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外文翻译计算谐波齿轮中柔轮的应力叶庆凯（北京大学机械系 北京）（于1986年10月30日接收，由朱藻轩审阅）摘要这是很难通过常规有限元程序求解接触问题。在本文中，我们作为一个优化问题表达接触问题。在这种形式，我们不需要预先知道所有的边界条件。我们只需要知道的约束条件。该方法是求解接触问题的特别好。使用这种方法，我们计算的应力柔轮谐波齿轮由上海交通大学，其结果是在良好的协议与实验结果。、引言一种谐波齿轮的基本原理是将旋转通过发电机产生的柔轮变形。在这个变形的柔轮和发电机之间的接触的情况下是未知的。我们不知道他们是在彼此接触，和接触力是什么。事实上，这些形式的所需的结果的一部分。为简单起见，我们假设发电机是一刚性体，所以，我们遇到一个刚性体和弹性体接触问题。在通常的有限元程序，必须给出的边界条件。我们必须给任一位移或在边界的外部力量。但在接触问题不可了。我们甚至不知道边界在哪里。因此，通常的有限元方法不能直接应用。在本文中，我们使用的优化方法来求解接触问题。为了使用的优化方法，我们得到一个性能指标来评估“好”的解决方案。然后在最小化这个指标我们改善迭代解的意义。当相应的解决方案是最好的，我们就得到需要的解决方案。在分析力学的汉密尔顿的原则，对接触问题，存在着这样一种指标，即，在所有柔轮变形满足接触条件（每个柔轮都不相同），实际的平衡是具有最小变形能量的状态。因此，如果我们把变形的能量在一个变形柔轮为指标，并将变形能作为柔轮位移函数，接触问题。现在将减少到“解决一个优化问题，最大限度地减少变形能量不等式约束条件（即接触条件）。我们可以使用正常的优化程序（如共轭梯度法）来解决这个问题。用种方法来表达接触问题为优化问题毫无疑问是最完整的一个。它不需要预先给所有的边界条件。它只需要给约束条件。因此它是解决接触问题的特别好。此外，当我们解决优化问题时，也就解决了柔轮和发电机之间的实际接触情况。、柔轮中变形能的计算一个保守的，完整的力学系统，如果有一些潜在的力量作用于该系统，然后对应的平衡点的位移在所有可能的位移中就会有最小势能。假设柔轮薄，这样的问题可以被视为一个平面应力问题。在系统的总势能V的变形能存储在弹性体（我们不考虑重力的影响）。由于在弹性体内储存的变形能是一个函数的位移，问题就减少到在所有的位移中去寻找最小的V。现在我们来讨论计算柔轮中变形能的具体方法表示沿方向x和y位移u（x，y）的和（x，y）（X，Y），属于，其中是由对象占用的面然后，由计算应变e的公式得： ( 2.1 )因为现行的弹性问题，应力和应变e之间的关系为：=De (2.2)而 （2.3）E是弹性模量，和V为材料的泊松比。他们决心通过材料的性能，并对和 e独立的，所以它们是独立于u和。因此，总的变形能量存储在是 (2.4)当在索博列夫空间中给定一对函数u(x,y)和（x,y），我们可以根据（2.1）算出e，然后又由（2.4）求出V，因此V是u和v的函数，现在，这个问题可以转化成在索伯列夫空间中带有约束条件的函数优化问题来解决。但它很难给出一般形式的函数u，v在域中，通常，我们限制U，V的一些特殊形式。还有很多的方法来分配函数中的u和v，在本文中我们把域 用节点分成S三角元，给u 和v，我们把这些值分布在节点上，然后假设他们有这样的形式 ( 2.5)在每一个元素中，因此，当给了这些节点上u和v的值之后，就相当于给这整个域上的u和v的函数 ，要是我们用以上的方法来判定位移函数，那么应变和位移在三角元中的关系就是 (2.6)就是这个元的面积 (2.7) (2.8)其中下标ij，和K表示相应的变量属于本地节点i，j，和K-th元。因此，变形能量存储在m个元是 (2.9)然后存储在整个域中的变形能为： (2.10)其中 (2.11)K是2*2的矩阵。如果我们选择位移函数u（x，y）和V（x，y）根据上述规则，和V是定义在R的功能，因此问题则为R中的约束优化问题、求解约束化问题 在本文中我们使用波拉克里比埃共轭梯度算法。因此，我们必须知道梯度。函数V，那就是， (3.1)这里： ( 3.2) 而且是矩阵k的元素 现在分矩阵k为四个I x l的子阵，K= (3.3)让u=,然后 （3.4） （3.5）我们解决这个约束的梯度投影技术。该柔轮和发电机之间的接触情况，如图2所示，其中R是发电机的圆的半径，和C是圆的偏心率。约束是柔轮不能进入发生器，（由于对称性，我们只需考虑第一象限） (3.6)在在变形前的i-th的坐标，和的位移在此节点。符号“”（3.6）指本节点的柔轮失去接触的发电机，而符号“=”指节点已经到达约束边界，即，它与发电机接触。在迭代过程中，如果某些节点的柔轮与发电机相接触，其进一步的运动可以是：（1）失去与发电机的接触，或（2）沿发生器的边界移动。为了区分这两种情况之间的迭代，我们要计算的函数如果角”这个方向和电聚合点在外法线方向之间的是急性的负梯度方向，该柔轮将与失去联系。在进一步的迭代，在这一点上发生，我们不需要修改函数，如果角是钝角的负梯度方向，接触点会在进一步的迭代的发电机的边界移动，我们必须使用的函数V的负梯度方向上投影的发电机在这一点上的切线方向计算搜索方向（即梯度投影），和力量，这一点保持在发电机的边界。现在我们引入约束算子和操作计划如下这里 ，、例子使用以上的方法，我们得到了谐波齿轮中柔轮的应力，所使用的数据时：1） 柔轮齿数N=4168内半径=24.525cm外半径=25.040625cm齿顶高：H=0.15cm齿顶宽：D=0.07cm2)对发电机（6套）ac=0.25 b. c=0.24cm R=24.35cm R=24.36cmc. c=0.23cm d. c=0.22cm R=24.37cm R=24.38cme. c=0.21cm f. c=0.20cm R=24.39cm R=24.40cm计算的结果如下表1a1111513781-93b13416814463-98c32025625953-103d55537740345-106e81948056737-108f112860572129-110Pn为的轮齿的接触段对应的序号。上述结果与上海交通大学给出的实验结果吻合良好，其中C = 0.23cm，测得的最大应力为800kg/cm
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