第456章习题解答.pdf

习 题 四 参 考 解 答 4 .1 惯 性 系 相 对 惯 性 系 以 速 度 运 动 。 当 它 们 的 坐 标 原 点 与 重 合 时 ， 。 在 惯性 系 中 一 质 点 作 匀 速 率 圆 周 运 动 ， 轨 道 方 程 为 ， ， 试 证 ： 在 惯 性 系 中 的 观 测 者 观 测 到 该 质 点 作 椭 圆 运 动 ， 椭 圆 的 中 心 以 速 度 运 动 。 提 示 ： 在 惯 性 系 中 的 观 测 者 观 测 到 该 质 点 的 轨 道 方 程 为 。证 明 ： 根 据 洛 仑 兹 坐 标 变 换 关 系 代 入 原 方 程 中 ， 得 到 化 简 得 所 以 ， 在 K系 中 质 点 做 椭 圆 运 动 ， 椭 圆 中 心 以 速 度 运 动 。 .2 一 观 测 者 测 得 运 动 着 的 米 尺 长 ， 问 此 米 尺 以 多 大 的 速 度 接 近 观 测者 ？ 解 ： 由 相 对 论 长 度 缩 短 关 系得 到 .3 如 题 图 4 .3 所 示 ， 在 系 的 平 面 内 放 置 一 固 有 长 度 为 的 细 杆 ， 该 细 杆与 轴 的 夹 角 为 。 设 系 相 对 于 系 沿 轴 正 向 以 速 率 运 动 ， 试 求 在 系 中 测 得 的 细 杆 的 长 度 和 细 杆 与 轴 的 夹 角 。 ， 题 图 4 .3 解 ： 细 杆 在 系 中 的 两 个 坐 标 上 的 投 影 分 别 为 细 杆 在 系 中 的 两 个 坐 标 上 的 投 影 分 别 为 在 系 中 细 杆 的 长 度 为与 X轴 正 向 夹 角 为 .4 一 飞 船 以 的 速 率 相 对 于 地 面 假 设 地 面 惯 性 系 匀 速 飞 行 。 若 飞 船上 的 钟 走 了 的 时 间 ， 用 地 面 上 的 钟 测 量 是 经 过 了 多 少 时 间 ？ 解 ： 根 据 相 对 论 中 时 间 延 长 关 系 代 入 数 据 ， 可 得 .5 已 知 介 子 束 的 速 度 为 为 真 空 中 的 光 速 ， 其 固 有 平 均 寿 命 为 ， 在实 验 室 中 看 来 ， 介 子 在 一 个 平 均 寿 命 期 内 飞 过 多 大 距 离 ？ 解 ： 根 据 相 对 论 中 时 间 延 长 关 系 代 入 数 据 ， 可 得 因 此 4 .6 惯 性 系 相 对 另 一 惯 性 系 沿 轴 作 匀 速 直 线 运 动 ， 在 惯 性 系 中 观 测 到 两 个事 件 同 时 发 生 轴 上 ， 且 其 间 距 是 ， 在 系 观 测 到 这 两 个 事 件 的 空 间 间 距 是 ， 求 系 中 测 得 的 这 两 个 事 件 的 时 间 间 隔 。解 ： 由 相 对 论 的 同 时 性 的 两 个 等 价 关 系 (1 ) (2 )联 立 两 式 得 到 代 入 (2 )式 中 得 到 4 .7 论 证 以 下 结 论 ： 在 某 个 惯 性 系 中 有 两 个 事 件 同 时 发 生 在 不 同 的 地 点 ， 在 有 相 对 运 动 的 其 他 惯 性 系 中 ， 这 两 个 事 件 一 定 不 同 时 发 生 。证 明 ： 令 在 某 个 惯 性 系 中 两 事 件 满 足 ， 则 在 有 相 对 运 动 的 另 一 个 惯 性 系 中 (相 对 运 动 速 度 为 ),两 事 件 的 时 间 间 隔是 由 于 ， 且所 以 ， 即 两 事 件 一 定 不 同 时 发 生 。 .8 试 证 明 ： (1 )如 果 两 个 事 件 在 某 惯 性 系 中 是 同 一 地 点 发 生 的 ， 则 对 一 切 惯 性 系 来 说 这 两 个 事 件 的 时 间 间 隔 ， 只 有 在 此 惯 性 系 中 最短 ； (2 )如 果 两 个 事 件 在 某 惯 性 系 中 是 同 时 发 生 的 ， 则 对 一 切 惯 性 系 来 说 这 两 个 事 件 的 空 间 间 隔 ， 只 有 在 此 惯 性 系 中 最 短 。证 明 (1 ) 设 两 事 件 在 某 惯 性 系 中 于 同 一 地 点 发 生 ， 即 ， 时 间 间 隔 为 ， 则 在 另 一 个 相 对 运 动 速 度 为 的 惯 性 系 中 ， 两 事 件 的 时 间 间 隔 为所 以 ， 在 原 惯 性 系 中 时 间 间 隔 最 短 。 证 明 (2 ) 设 两 事 件 在 某 惯 性 系 中 于 同 时 发 生 ， 即 ， 时 间 间 隔 为 ， 则 在 另一 个 相 对 运 动 速 度 为 的 惯 性 系 中 ， 两 事 件 的 时 间 间 隔 为 所 以 ， 在 原 惯 性 系 中 空 间 间 隔 最 短 。 .9 若 电 子 和 电 子 均 以 为 真 空 中 的 光 速 的 速 度 相 对 于 实 验 室 向 右 和 向左 飞 行 ， 问 两 者 的 相 对 速 度 是 多 少 ？ 答 案 ： .1 0 一 光 源 在 系 的 原 点 发 出 一 光 线 。 光 线 在 平 面 内 且 与 轴 的 夹 角 为 。 设 系 相 对 于 系 沿 轴 正 向 以 速 率 运 动 。 试 求 在 系 中 的 观 测 者 观 测 到此 光 线 与 轴 的 夹 角 。 解 ： 光 线 的 速 度 在 系 中 两 个 速 度 坐 标 上 的 投 影 分 别 为 由 速 度 变 换 关 系 ， 则 在 系 中 速 度 的 两 个 投 影 分 别 为， 所 以 ， 在 系 中 的 观 测 者 观 测 到 此 光 线 与 轴 的 夹 角 .1 1 如 果 一 观 测 者 测 出 电 子 的 质 量 为 为 电 子 的 静 止 质 量 ， 问 电 子 的速 度 是 多 大 ？ 解 ： 由 相 对 论 质 量 关 系 而 且 得 到 .1 2 如 果 将 电 子 由 静 止 加 速 到 为 真 空 中 的 光 速 的 速 度 ， 需 要 对 它 作多 少 功 ？ 速 度 从 加 速 到 ， 又 要 作 多 少 功 ？ 解 (1 ) 由 相 对 论 动 能 定 理 ：因 为 ， 代 入 得 到 (2 ) 将 ， 代 入 原 式 .1 3 在 什 么 速 度 下 粒 子 的 动 量 是 其 非 相 对 论 动 量 的 两 倍 ？ 在 什 么 速 度 下 粒 子 的 动 能 等 于 它 的 静 止 能 量 ？ 解 (1 ) 由 相 对 论 动 量 公 式 而 且 联 立 两 式 (2 ) 由 相 对 论 动 能 公 式而 且 联 立 两 式 .1 4 静 止 质 量 为 的 电 子 具 有 倍 于 它 的 静 能 的 总 能 量 ， 试 求 它 的 动 量 和速 率 。 提 示 ： 电 子 的 静 能 为 解 ： 由 总 能 量 公 式 而 且 (1 ) 其 中 (2 )联 立 (1 )、 (2 )两 式 将 (1 )式 代 入 动 量 公 式 .1 5 一 个 质 量 为 的 静 止 粒 子 ， 衰 变 为 两 个 静 止 质 量 为 和 的 粒 子 ， 求 这两 个 粒 子 的 动 能 。 提 示 ： 利 用 能 量 守 恒 和 动 量 守 恒 关 系 解 ： 令 两 粒 子 的 动 能 分 别 为 与由 相 对 论 能 量 守 恒 得 到 (1 ) 由 相 对 论 动 量 和 能 量 的 关 系 得 到 由 相 对 论 动 量 守 恒 得 到 (2 )联 立 (1 )、 (2 )两 式 解 得 ， 习 题 五 参 考 解 答 5 .1 简 答 下 列 问 题 ：（ 1 ） 什 么 是 简 谐 振 动 ？ 分 别 从 运 动 学 和 动 力 学 两 方 面 作 出 解 释 。 一 个 质 点 在 一 个 使 它 返 回 平 衡 位 置 的 力 的 作 用 下 ， 它 是 否 一定 作 简 谐 振 动 ？ （ 2 ） 在 什 么 情 况 下 ， 简 谐 振 动 的 速 度 和 加 速 度 是 同 号 的 ？ 在 什 么情 况 下 是 异 号 的 ？ 加 速 度 为 正 值 时 ， 振 动 质 点 一 定 是 加 快 地 运 动 吗 ？ 反 之 ， 加 速 度 为 负 值 时 ， 肯 定 是 减 慢 地 运 动 吗 ？（ 3 ） 同 一 弹 簧 振 子 ， 如 果 它 在 水 平 位 置 是 作 简 谐 振 动 ， 那 么 它 在 竖 直 悬 挂 情 况 下 是 否 仍 作 简 谐 振 动 ？ 把 它 装 在 光 滑 斜 面 上 ，它 是 否 仍 将 作 简 谐 振 动 ？ （ 4 ） 如 果 某 简 谐 振 动 振 动 的 运 动 学 方 程 是 ， 那 么 这 一 振 动 的 周 期是 多 少 ？ （ 5 ） 在 地 球 上 ， 我 们 认 为 单 摆 (在 小 角 幅 下 )的 运 动 是 简 谐 振 动 ，如 果 把 它 拿 到 月 球 上 ， 那 么 ， 振 动 周 期 将 怎 样 改 变 ？ （ 6 ） 什 么 是 位 相 ？ 一 个 单 摆 由 最 左 位 置 开 始 摆 向 右 方 ， 在 最 左 端位 相 是 多 少 ？ 经 过 中 点 、 到 达 右 端 、 再 回 中 点 、 返 回 左 端 等 各 处 的 相 应 各 是 位 相 多 少 ？（ 7 ） 初 位 相 是 个 什 么 物 理 量 ？ 初 位 相 由 什 么 确 定 ？ 如 何 求 初 周 相 ？ 试 分 别 举 例 说 明 ：(a)已 知 初 始 状 态 ， 如 何 确 定 初 位 相 ； (b )已 知 初 位 相 ， 如 何 确 定 初 始 状 态 。 5 .2 一 质 点 作 简 谐 振 动 cm。 某 时 刻 它 在 cm处 ， 且 向 X轴 负 向 运 动 ， 它 要重 新 回 到 该 位 置 至 少 需 要 经 历 的 时 间 为 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 。答 案 ： (B) 5 .3 以 频 率 作 简 谐 振 动 的 系 统 ， 其 动 能 和 势 能 随 时 间 变 化 的 频 率 为 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。答 案 ： (C) 5 .4 劲 度 系 数 为 的 轻 弹 簧 和 质 量 为 1 0 g 的 小 球 组 成 的 弹 簧 振 子 ， 第 一 次将 小 球 拉 离 平 衡 位 置 4 cm， 由 静 止 释 放 任 其 运 动 ； 第 二 次 将 小 球 拉 离 平 衡 位 置 2 cm并 给 以 2 cm/s的 初 速 度 任 其 振 动 。 这 两 次 振 动 能 量 之 比 为(A) 1 :1 ; (B) 4 :1 ; (C) 2 :1 ; (D) 。 答 案 ： (C) 5 .5 一 谐 振 系 统 周 期 为 0 .6 s， 振 子 质 量 为 2 0 0 g ， 振 子 经 平 衡 位 置 时 速 度 为1 2 cm/s,则 再 经 0 .2 s后 振 子 动 能 为 (A) ； (B) 0 ; (C) ; (D) 。答 案 ： (D) 5 .6 一 弹 簧 振 子 系 统 竖 直 挂 在 电 梯 内 ， 当 电 梯 静 止 时 ， 振 子 谐 振 频 率 为 。 现 使 电 梯 以 加 速 度 向 上 作 匀 加 速 运 动 ， 则 其 谐 振 频 率 将(A) 不 变 ； (B) 变 大 ； (C) 变 小 ； (D) 变 大 变 小 都 有 可 能 答 案 ： (A) 5 .7 将 一 物 体 放 在 一 个 沿 水 平 方 向 作 周 期 为 1 s的 简 谐 振 动 的 平 板 上 ， 物体 与 平 板 间 的 最 大 静 摩 擦 系 数 为 0 .4 。 要 使 物 体 在 平 板 上 不 致 滑 动 ， 平 板 振 动 的 振 幅 最 大 只 能 为(A) 要 由 物 体 质 量 决 定 ； (B) ; (C) ; (D) 0 .4 cm 答 案 ： (C) 5 .8 两 分 振 动 方 程 分 别 为 和 ， 则 它 们 合 振 动 的 表 达 式 为 (A) ;(B) ; (C) ;(D) 。 答 案 ： (C)5 .9 质 量 为 的 小 球 与 轻 弹 簧 组 成 的 系 统 ， 按 的 规 律 作 简 谐 振 动 ， 式 中 以 秒 为 单 位 ， 以 米 为 单 位 。 试 求 ：(1 ) 振 动 的 圆 频 率 、 周 期 、 振 幅 、 初 位 相 以 及 速 度 和 加 速 度 的 最 大 值 ； (2 ) 求 时 刻 的 位 相 。 (3 ) 利 用 Math ematica绘 出 位 移 、 速 度 、 加 速 度 与 时 间 的 关 系 曲 线 。 解 (1 )： , , , (2 ) 5 .1 0 劲 度 系 数 为 和 的 两 根 弹 簧 ， 与 质 量 为 的 物 体 按 题 图 5 .1 0 所 示 的 两 种 方 式 连 接 试 证 明 它 们 的 振 动 均 为 谐 振 动 。 题 图 5 .1 0 证 明 ： (1 )当 物 体 向 右 移 动 时 ， 左 端 弹 簧 伸 长 ， 而 右 端 弹 簧 缩 短 ， 它 们 对物 体 作 用 力 方 向 相 同 ， 均 与 物 体 位 移 方 向 相 反 ， 所 以 因 此 物 体 将 作 简 谐 振 动 。(2 ) 设 两 弹 簧 分 别 伸 长 与 ， 则 弹 簧 对 物 体 的 作 用 力 对 两 弹 簧 的 连 接 点 有 : 且 解 此 两 式 ： 代 入 中 ： 因 此 物 体 将 作 简 谐 振 动 。 .1 1 如 题 图 5 .1 1 所 示 ， 质 量 为 的 物 体 放 在 光 滑 斜 面 上 ， 斜 面 与 水 平 面的 夹 角 ， 弹 簧 的 劲 度 系 数 为 ， 滑 轮 的 转 动 惯 量 为 ， 半 径 为 。 先 把 物 体 托 住 ， 使 弹 簧 维 持 原 长 ， 然 后 由 静 止 释 放 ， 试 证 明 物 体 作 简谐 振 动 。 题 图 5 .1 1证 明 ： 取 未 用 手 托 系 统 静 止 时 的 位 置 为 平 衡 位 置 ， 令 此 点 位 坐 标 原 点 ， 弹 簧 伸 长 ， 则 有 ： (1 )当 物 体 沿 斜 面 向 下 位 移 为 时 ， 则 有 ： (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) 将 (2 )与 (4 )代 入 (3 ),并 利 用 (5 ),可 得利 用 (1 )式 ， 得 到 所 以 ， 物 体 作 的 是 简 谐 振 动 。 5 .1 2 一 个 沿 轴 作 简 谐 振 动 的 弹 簧 振 子 ， 振 幅 为 ， 周 期 为 ， 其 振 动 方 程 用余 弦 函 数 表 出 。 如 果 时 质 点 的 状 态 分 别 是 ： (1 ) ；(1 ) 过 平 衡 位 置 向 轴 正 向 运 动 ； (3 ) 过 处 向 轴 负 向 运 动 ；(4 ) 过 处 向 轴 正 向 运 动 。 试 用 旋 转 矢 量 图 方 法 确 定 相 应 的 初 位 相 ， 并 写 出 振 动 方 程 。解 ： 令 振 动 方 程 为 ： (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) 5 .1 3 一 质 量 为 的 物 体 作 谐 振 动 ， 振 幅 为 2 4 cm， 周 期 为 4 .0 s， 当 时 ， 位 移为 2 4 cm。 求 ： (1 ) 时 ， 物 体 所 在 的 位 置 ；(2 ) 时 ， 物 体 所 受 力 的 大 小 和 方 向 ； (3 ) 由 起 始 位 置 运 动 到 处 所 需 的 最 短 时 间 ； (4 ) 在 处 物 体 的 速 度 、 动 能 、 系 统 的 势 能 和 总 能 量 。解 ： 设 物 体 的 振 动 方 程 为 由 于 ，由 于 因 此(1 ) 将 代 入 ， 得 到 (2 ) 将 代 入 ， 得 到 负 号 表 示 方 向 与 轴 方 向 相 反 。(3 ) 将 代 入 中 ， 得 到 (4 ) ， 将 代 入 : 由 因 此 .1 4 有 一 轻 弹 簧 ， 下 端 悬 挂 一 质 量 为 的 砝 码 ， 砝 码 静 止 时 ， 弹 簧 伸 长 。 如 果 我 们 再 把 砝 码 竖 直 拉 下 ， 求 放 手 后 砝 码 的 振 动 频 率 和 振幅 。 解 ： 取 砝 码 静 止 时 的 位 置 为 平 衡 位 置 ， 并 令 为 坐 标 原 点 ， 向 下 为 正 方向 ， 则 有 当 下 拉 位 置 时 ， 砝 码 所 受 回 复 力 为 因 此 砝 码 作 简 谐 振 动 将 初 始 条 件 代 入 振 幅 公 式 ： .1 5 一 轻 弹 簧 的 劲 度 系 数 为 ， 其 下 端 悬 有 一 质 量 为 的 盘 子 。 现 有 一 质量 为 的 物 体 从 离 盘 底 为 高 度 处 自 由 下 落 到 盘 中 并 和 盘 子 粘 在 一 起 ， 于 是 盘 子 开 始 振 动 。 若 以 物 体 落 到 盘 底 时 为 计 时 零 点 、 以 物体 落 到 盘 子 后 的 平 衡 位 置 为 坐 标 原 点 、 以 向 下 为 轴 正 向 ， 求 盘 子 的 振 动 方 程 。解 ： 令 与 系 统 处 于 平 衡 位 置 处 为 坐 标 原 点 ， 向 下 为 正 方 向 未 下 落 时 ， 满 足 : 与 平 衡 位 置 处 : 联 立 解 得 由 动 量 守 恒 ： 且 得 到 而 且 它 们 共 同 振 动 的 周 期 将 初 始 条 件 ， ， 代 入 振 幅 及 位 相 公 式 ：由 于 ， 因 此将 已 求 出 的 、 和 代 入 中 ， 即 可 得 振 动 方 程 为 5 .1 6 一 个 水 平 面 上 的 弹 簧 振 子 (劲 度 系 数 为 ， 所 系 物 体 质 量 为 )， 当 它 作 振 幅 为 、 周 期 为 、 能 量 为 的 无 阻 尼 振 动 时 ， 有 一 质 量 为 的 粘 土 从 高度 处 自 由 下 落 。 当 达 到 最 大 位 移 处 时 粘 土 正 好 落 在 上 ， 并 粘 在 一 起 ， 这 时 系 统 的 振 动 周 期 、 振 幅 和 振 动 能 量 有 何 变 化 ？ 如 果 粘 土 是在 通 过 平 衡 位 置 时 落 在 上 ， 这 些 量 又 如 何 变 化 ？ 解 :原 周 期 为 ， 两 种 情 况 下 周 期 都 变 为(1 ) 当 达 到 最 大 位 移 处 时 粘 土 正 好 落 在 上 时 ， 此 时 物 体 水 平 速 度 为 零动 量 守 恒 得 到 ： 且 将 初 始 条 件 ， 代 入 振 幅 公 式 (2 ) 当 粘 土 在 通 过 平 衡 位 置 时 落 在 上 时 ， 由 水 平 方 向 动 量 守 恒 得 到 且 将 初 始 条 件 ， ， 代 入 振 幅 公 式 ：由 5 .1 7 一 单 摆 的 摆 长 ， 摆 球 质 量 ， 当 摆 球 处 在 平 衡 位 置 时 ， 若 给 小 球 一 个 水 平 向 右 的 冲 量 ， 取 打 击 时 刻 为 计 时 起 点 ， 求 振 动 的 初 位 相 和 角 振 幅设 摆 角 向 右 为 正 。 解 ： 由 单 摆 的 动 力 学 方 程 ， 将 初 始 条 件 ， 代 入得 到 由 于 其 中 ， 初 始 时 刻 5 .1 8 一 质 点 同 时 参 与 两 个 在 同 一 直 线 上 的 简 谐 振 动 ， 振 动 方 程 为， 式 中 以 米 计 ， 以 秒 计 试 分 别 用 旋 转 矢 量 法 和 代 数 法 求 合 振 动 的 振 幅 和 初 位 相 ， 并 写出 合 振 动 的 方 程 。 解 ： 由 题 意 ， ， ，由 于 因 此 ， 合 振 动 方 程 为 .1 9 有 两 个 同 方 向 、 同 频 率 的 简 谐 振 动 ， 其 合 成 振 动 的 振 幅 为 ， 位 相 与 第 一 振 动 的 位 相 差 为 ， 已 知 第 一 振 动 的 振 幅 为 ， 求 第 二 个 振 动的 振 幅 以 及 第 一 、 第 二 两 振 动 的 位 相 差 。 解 ： 由 分 振 动 与 合 振 动 的 三 角 形 关 系 ： 代 入 数 据 由 于 得 到 5 .2 0 试 借 助 旋 转 矢 量 图 求 出 下 列 两 组 谐 振 动 合 成 后 所 得 合 振 动 的 振 幅 ： 解 (1 )： 由 题 意 ： ， ， ，由 于 (2 ) 由 题 意 ： ， ， ，由 于 5 .2 1 质 量 为 的 质 点 同 时 参 与 两 个 互 相 垂 直 的 简 谐 振 动 ： ， ， 式 中 以 米 计 ， 以 秒 计 。(1 ) 求 质 点 的 运 动 轨 道 方 程 ； (2 ) 求 质 点 在 任 一 位 置 所 受 的 作 用 力 ； (3 ) 利 用 Math ematica， 绘 出 合 成 振 动 的 轨 迹 。 解 ： (1 ) 由 于结 合 的 表 示 式 ， 得 到 轨 道 方 程 为 ： (2 ) 5 .2 2 一 质 点 同 时 参 与 两 个 互 相 垂 直 的 简 谐 振 动 ： ， ， 求 质 点 的 运 动 轨 道方 程 。 解 ： 由 于 由 于 所 以 代 入 得 到 ：所 求 轨 道 方 程 为 ： .2 3 某 质 点 的 位 移 可 用 两 个 简 谐 振 动 的 迭 加 来 表 示 ： (1 ) 写 出 这 质 点 的 速 度 和 加 速 度 表 示 式 ； (2 )这 运 动 是 否 简 谐 振 动 ？(3 )画 出 其 图 线 。 解 ： (1 )(2 ) 由 于 与 不 成 正 比 ， 所 以 不 是 简 谐 振 动 。 习 题 六 参 考 解 答 6 .1 简 要 回 答 下 列 问 题 ：(1 ) 振 动 和 波 动 有 什 么 区 别 和 联 系 ？ (2 ) 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 和 简 谐 振 动 的 振 动 方 程 有 什 么 不 同 ？ 又 有什 么 联 系 ？ (3 ) 振 动 曲 线 和 波 形 曲 线 有 什 么 不 同 ？(4 ) 平 面 简 谐 波 波 动 方 程 中 的 表 示 什 么 ？ 如 果 将 波 动 方 程 改 写 为 ， 又 是 什 么 意 思 ？(5 ) 波 动 方 程 中 ， 坐 标 轴 原 点 是 否 一 定 要 选 在 波 源 处 ？ 时 刻 是 否 一 定 是 波 源 开 始 振 动 的 时 刻 ？ 波 动 方 程 写 成 时 ， 波 源 一 定 在 坐 标 原 点 处吗 ？ 在 什 么 前 提 下 波 动 方 程 才 能 写 成 这 种 形 式 ？ 如 果 波 源 在 处 或 在 处 ， 则 对 此 波 动 方 程 的 适 用 范 围 要 作 怎 样 的 限 制 ？(6 ) 波 源 向 着 观 察 者 运 动 和 观 察 者 向 波 源 运 动 都 会 产 生 频 率 增 高 的 多 普 勒 效 应 ， 这 两 种 情 况 有 何 区 别 ？ 6 .2 下 述 说 法 中 哪 些 是 正 确 的 ？(A) 波 只 能 分 为 横 波 和 纵 波 ； (B) 波 动 质 点 按 波 速 向 前 运 动 ；(C) 波 动 中 传 播 的 只 是 运 动 状 态 和 能 量 ； (D) 波 经 过 不 同 媒 质 传 播 过 程 中 波 长 不 变 。答 案 ： (C) 6 .3 对 于 机 械 横 波 ， (A) 波 峰 处 质 元 的 动 能 、 势 能 均 为 零 ；(B) 处 于 平 衡 位 置 的 质 元 势 能 为 零 、 动 能 为 最 大 ； (C) 处 于 平 衡 位 置 的 质 元 动 能 为 零 、 势 能 为 最 大 ；(D) 波 谷 处 质 元 的 动 能 为 零 、 势 能 为 最 大 。 答 案 ： (A) 6 .4 对 于 驻 波 ， 下 列 说 法 中 哪 些 是 错 误 的 ?(A) 相 向 传 播 的 相 干 波 一 定 能 形 成 驻 波 ； (B) 两 列 振 幅 相 同 的 相 干 波 一 定 能 形 成 驻 波 ；(C) 驻 波 不 存 在 能 量 的 传 播 ； (D) 驻 波 是 一 种 稳 定 的 振 动 分 布 。答 案 ： (A)、 (B) 6 .5 人 耳 能 辨 别 同 时 传 来 的 不 同 声 音 ， 这 是 由 于(A) 波 的 反 射 和 折 射 ； (B) 波 的 干 涉 ；(C) 波 的 独 立 传 播 特 性 ； (D) 波 的 强 度 不 同 。答 案 ： (C) 6 .6 波 源 在 坐 标 系 中 （ 3 ， 0 ） 位 置 处 ， 其 振 动 方 程 是 m， 其 中 t以 s计 ， 波 速 为 5 0 m/s。 设 波 源 发 生 的 波 沿 x 轴 负 向 传 播 ， 介 质 无 吸 收 ， 则 此 波 方 程 为 (A) m; (B) m;(C) m; (D) m。答 案 ： (D) 6 .7 两 波 同 时 在 一 弦 线 上 传 播 ， 其 波 动 方 程 分 别 是 ， ， 其 中 、 以 m计 ， t 以 s计 。 弦 线 上 波 节 位 置 为(A) m , (B) m ,(C) ; (D)参 考 答 案 ： (A) 6 .8 一 弦 线 上 的 振 动 以 厘 米 克 秒 制 表 示 为 ， 组 成 此 振 动 的 两 波 波 速 是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 答 案 ： (D) 6 .9 一 点 波 源 发 出 的 波 在 无 吸 收 媒 质 中 传 播 ， 波 前 为 半 球 面 。 该 波 强 度 I 与 离 波 源 距 离 r间 的 关 系 是(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。 答 案 ： (D)6 .1 0 当 波 源 以 速 度 向 静 止 的 观 察 者 运 动 时 ， 测 得 频 率 为 ， 当 观 察 者 以 速 度 向 静 止 的 波 源 运 动 时 ， 测 得 频 率 为 ， 以 下 哪 个 结 论 是 正 确 的 ？(A) ; (B) ; (C) ; (D) 要 视 波 速 大 小 决 定 上 述 关 系 。 答 案 ： (A) 6 .1 1 声 音 1 的 声 强 比 声 音 2 的 声 强 大 1 分 贝 ， 则 声 音 1 的 强 度 是 声 音 2 的 强度 的 (A) 1 倍 ； (B) 倍 ； (C) 倍 ； (D) 倍参 考 答 案 ： (D) .1 2 一 平 面 简 谐 波 沿 轴 正 向 传 播 ， 波 速 为 ， 频 率 为 ， 已 知 在 处 的 质 点 在 时 刻 的 振 动 状 态 是 ： 位 移 为 ； 速 度 为 ， 求 此 平 面 波 的 波 动 方程 。 解 ： 令 波 动 方 程 为其 中 ， 得 到 将 初 始 条 件 ： ， ， ， 代 入 或或 由 于所 以 .1 3 一 平 面 简 谐 波 沿 轴 正 向 传 播 ， 振 幅 为 ， 频 率 为 ， 已 知 在 处 的 质 点在 时 刻 的 振 动 状 态 是 ： 位 移 为 ， 速 度 为 ， 而 处 的 质 点 在 时 刻 的 振 动 状 态 是 ： 位 移 为 ； 速 度 为 ， 求 此 平 面 波 的 波 动 方 程 。解 ： 令 波 动 方 程 为 由 题 意 ： ,代 入 得 到 ： 将 初 始 条 件 ： ， ， ， 代 入且 且 (1 ) 将 初 始 条 件 ： ， ， ， 代 入且 且 (2 ) 联 立 方 程 (1 )、 (2),解 得 ，因 此 6 .1 4 已 知 波 源 在 原 点 的 一 列 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 为 ， 其 中 、 、 为 正 值 恒 量 。 试 求 ：(1 ) 波 的 振 幅 、 波 速 、 频 率 、 周 期 与 波 长 ； (2 ) 写 出 传 播 方 向 上 距 离 波 源 为 处 一 点 的 振 动 方 程 ；(3 ) 任 一 时 刻 ， 在 波 的 传 播 方 向 上 相 距 为 的 两 点 的 位 相 差 。 解 (1 )： 由 得 到 ：振 幅 为 , ， ， ， (2 ) 将 代 入(3 ) 6 .1 5 沿 绳 子 传 播 的 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 为 ， 式 中 ， 以 米 计 ， 以 秒 计 。 求 ：(1 ) 波 的 振 幅 、 波 速 、 频 率 和 波 长 ； (2 ) 绳 子 上 各 质 点 振 动 时 的 最 大 速 度 和 最 大 加 速 度 ；(3 ) 求 处 质 点 在 时 的 位 相 ， 它 是 原 点 处 质 点 在 哪 一 时 刻 的 位 相 ？ 解 (1 )： 由 得 到 ：， ， ， ， ， (2 ) (3 ) ,将 ， 代 入 ，在 原 点 处 6 .1 6 一 平 面 波 在 介 质 中 以 速 度 沿 轴 负 方 向 传 播 ， 如 题 图 6 .1 6 所 示 。 已 知 点的 振 动 表 达 式 是 ， 式 中 以 米 计 ， 以 秒 计 。 (1 ) 以 点 为 坐 标 原 点 写 出 波 动 方 程 ；(2 ) 以 距 点 处 的 点 为 坐 标 原 点 写 出 波 动 方 程 。 X 题 图 6 .1 6 解 (1 )：(2 ) 点 振 动 方 程 为 ： 波 动 方 程 为 6 .1 7 一 列 平 面 余 弦 波 沿 轴 正 向 传 播 ， 波 速 为 ， 波 长 为 ， 时 的 波 形 图 形 曲线 如 题 图 6 .1 7 所 示 。 (1 ) 写 出 波 动 方 程 ；(2 ) 绘 出 时 的 波 形 图 。 0 .0 4 题 图 6 .1 7解 ： 由 题 意 ： ， ， ， ，令 波 动 方 程 为 将 时 ， ， 代 入 ： 由 于 因 此 6 .1 8 如 题 图 6 .1 8 所 示 ， 已 知 时 和 时 的 波 形 曲 线 分 别 为 图 中 曲 线 (a)和 (b)， 设 波 沿 轴 正 向 传 播 ， 试 根 据 图 中 绘 出 的 条 件 求 ：(1 ) 波 动 方 程 ； (2 ) P 点 的 振 动 方 程 。 (a) (b) P 1 2 3 4 5 6 题 图 6 .1 8 解 (1 ) 由 图 可 知 ： ,令 波 动 方 程 是 其 中 将 时 ， ， 代 入 ： 由 于 因 此(2 ) 当 时 ， 6 .1 9 一 平 面 余 弦 波 ， 沿 直 径 为 的 圆 柱 形 管 传 播 ， 波 的 强 度 为 ， 频 率 为 ， 波 速 为 ， 求 ：(1 ) 波 的 平 均 能 量 密 度 和 最 大 能 量 密 度 ； (2 ) 两 个 相 邻 的 同 相 面 之 间 的 波 段 中 波 的 能 量 。解 (1 )： 由 (2 ) 6 .2 0 如 题 图 6 .2 0 ， 和 是 两 个 同 位 相 的 波 源 ， 相 距 ， 同 时 以 的 频 率 发 出 波动 ， 波 速 为 。 点 位 于 与 成 角 、 与 相 距 处 ， 求 两 波 通 过 点 的 位 相 差 。 题 图 6 .2 0 解 ： 由 三 角 形 关 系 知 :而 且 由 ， 其 中 得 到 6 .2 1 如 题 图 6 .2 1 所 示 ， 与 为 两 相 干 波 源 ， 相 距 ， 且 较 位 相 超 前 ， 如 果 两 波在 连 线 方 向 上 的 强 度 相 同 均 为 且 不 随 距 离 变 化 ， 求 ： (1 ) 连 线 上 外 侧 各 点 处 合 成 波 的 强 度 ；(2 ) 连 线 上 外 侧 各 点 处 合 成 波 的 强 度 。 题 图 6 .2 1解 ： 由 题 意 ， (1 ) 在 外 侧 时 ：即 在 外 侧 两 振 动 反 相 合 成 波 强 度 (2 ) 在 外 侧 时 ：即 在 外 侧 两 振 动 同 相 所 以 ， 外 侧 各 点 波 的 强 度 是 单 一 波 源 波 的 强 度 的 4 倍 。 6 .2 2 如 题 图 6 .2 2 所 示 ， 设 点 发 出 的 平 面 横 波 沿 方 向 传 播 ， 它 在 点 的 振 动 方程 为 ； 点 发 出 的 平 面 横 波 沿 方 向 传 播 ， 它 在 点 的 振 动 方 程 为 ， 本 题 中 以 米 计 ， 以 秒 计 。 设 、 ， 波 速 ，(1 ) 求 两 波 传 到 点 时 的 位 相 差 ； （ 2 ） 若 在 点 处 相 遇 的 两 波 的 振 动 方 向 相 同 ， 求 处 合 振 动 的 振 幅 ；（ 3 ） 若 在 点 处 相 遇 的 两 波 的 振 动 方 向 相 互 垂 直 ， 再 求 处 合 振 动 的 振 幅 。 题 图 6 .2 2 解 (1 )： 由得 到 即 在 处 两 波 同 相 位 。(2 ) 由 于 两 波 同 相 位 ， 且 振 动 方 向 相 同 (3 ) 当 ， 且 两 振 动 方 向 垂 直 时 6 .2 3 如 题 图 6 .2 3 所 示 ， 三 个 同 频 率 、 振 动 方 向 相 同 垂 直 纸 面 的 平 面 简 谐波 ， 在 传 播 过 程 中 于 点 相 遇 。 若 三 个 简 谐 波 各 自 单 独 在 、 和 的 振 动 方 程 分 别 是 ， ， ， 且 ， 为 波 长 ， 求 点 的 振 动 方 程 设 传 播 过 程 中 各 波 的 振 幅 不 变 。 题 图 6 .2 3 解 ： 在 点 的 振 动 为 ：在 点 的 振 动 为 ： 在 点 的 振 动 为 ：上 面 三 式 中 利 用 了 关 系 ： 因 此 ， 点 处 的 合 振 动 为 6 .2 4 一 驻 波 方 程 为 ， 式 中 以 米 计 ， 以 秒 计 ， 求 ：(1 ) 形 成 此 驻 波 的 两 列 分 波 的 振 幅 和 波 速 ； (2 ) 相 邻 两 波 节 间 的 距 离 ；(3 ) 时 ， 处 的 质 点 的 振 动 速 度 。 解 (1 )：， (2 ) ，相 邻 波 节 间 距 为 (3 ) 由 于将 时 ， 代 入 得 到 6 .2 5 两 列 波 在 一 根 很 长 的 细 绳 上 传 播 ， 它 们 的 波 动 方 程 分 别 为 ：， ， 式 中 以 米 计 ， 以 秒 计 。 (1 ) 试 证 明 绳 子 将 作 驻 波 式 振 动 ；(2 ) 求 出 波 节 和 波 腹 的 位 置 ； (3 ) 求 出 波 腹 处 的 振 幅 ；(4 ) 求 出 处 的 振 幅 。 解 (1 )： 合 振 动 为 ：满 足 驻 波 方 程 ， 故 绳 子 做 驻 波 式 振 动 。 (2 ) 节 点 位 置 其 中 腹 点 位 置 其 中 (3 ) 波 腹 处 的 振 幅 是(4 ) 当 时 ， 波 的 振 幅 .2 6 一 右 行 横 波 式 中 以 米 计 ， 以 秒 计 ， 与 一 右 行 横 波 形 成 驻 波 ， 且 在 处 形 成 驻 波 的 波 腹 ， 求 此 左 行 横 波 的 波 动 方 程 。解 : 令 左 行 横 波 形 的 波 动 方 程 为 ： 则当 时 ， 因 此 6 .2 7 火 车 以 的 速 度 行 使 ， 其 汽 笛 的 频 率 为 。 一 个 人 站 在 铁 轨 旁 ， 当 火 车从 他 身 边 驶 过 时 ， 他 听 到 的 汽 笛 声 的 频 率 变 化 是 多 大 ？ 设 空 气 中 声 速 为 。 提 示 ： 频 率 变 化 当 火 车 向 站 立 者 驶 近 时 他 听 到 的 汽 笛 声 的 频 率 当 火 车 驶 离 站 立 者 时 他 听 到 的 汽 笛 声 的 频 率 解 ： 当 波 源 向 着 观 察 者 运 动 时 ， 观 察 者 接 受 到 的 频 率 为 当 波 源 远 离 观 察 者 运 动 时 ， 观 察 者 接 受 到 的 频 率 为频 率 变 化 为 将 ， ， 代 入 6 .2 8 两 列 火 车 和 分 别 以 和 的 速 度 行 使 ， 火 车 的 司 机 听 到 自 己 的 汽 笛 声 频率 为 空 气 中 声 速 为 ， (1 ) 当 、 两 车 相 向 而 行 时 ， 求 火 车 的 司 机 听 到 的 火 车 的 汽 笛 声 频率 ； (2 ) 若 此 时 恰 好 有 速 度 为 的 风 沿 车 向 车 吹 来 ， 再 求 火 车 的 司 机 听 到的 火 车 的 汽 笛 声 频 率 。 提 示 ： 当 有 风 时 ， 声 速 将 改 变 解 ： (1 ) 当 波 源 和 观 察 者 同 时 相 对 于 介 质 运 动 时 ：将 ， ， ， 代 入 得 到 (2 ) 当 时 ，