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2020/5/26,北邮概率统计课件,第三章知识结构图,多维随机变量,联合分布律,联合分布函数,函数的分布,联合概率密度,二维离散型随机变量,联合分布函数,函数的分布,二维连续型随机变量,定义,常用分布,定义,常用分布,2020/5/26,北邮概率统计课件,第三章多维随机变量及其分布,1.一维随机变量和分布函数的概念,2.一维离散型随机变量及其分布律,4.随机变量函数的分布,本章将给出二维随机变量、联合分布率、联合概率密度和二维联合分布函数的概念,3.一维连续型随机变量及其概率密度,2020/5/26,北邮概率统计课件,一.二维随机变量及分布函数的概念,1.定义,设是随机试验E的样本空间,是定义在S上的随机变量,由它们构成的向量,称为二维随机变量,或二维随机向量.,均要求定义在同一个样本空间S上.,第一节二维随机变量,注：,2020/5/26,北邮概率统计课件,的几何解释:,或:,e,给出,平面上的一个随机点(随机向量),2020/5/26,北邮概率统计课件,定义2,(二维随机变量的分布函数),称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为,(X,Y)的联合分布函数.,注:,随机变量，对于任意的实数二元函数,设是二维,的联合分布函数的几何意义:,2020/5/26,北邮概率统计课件,则在处的函数值随机点,落在以为定点而位于该点左下方的无穷矩形内的概率.,2020/5/26,北邮概率统计课件,的概率为:,如图:,2020/5/26,北邮概率统计课件,2.二维随机变量分布函数F(x,y)的性质,性质1,F(x,y)分别对x和y单调非减,即:,对固定的y,X是非减的,对固定的x,y是非减的,性质2,F(x,y)对每个自变量x或y是右连续的，即:,2020/5/26,北邮概率统计课件,性质3,随机点落在这三种情形所示的矩形内是不可能事件，故概率趋向于零,随机点落在这种情况所示的矩形内是必然事件，故概率趋于1,性质4,2020/5/26,北邮概率统计课件,说明：,不等式左边恰好是（X,Y）落在矩形ABCD内的概率，而概率具有非负性，故得此不等式。,小注：,性质1性质3同一维随机变量分布函数的性质。性质4不同于一维随机变量的分布函数。,若性质1性质3均满足，但性质4不满足，则不称之为联合分布函数。,2020/5/26,北邮概率统计课件,现找4个点如下：,这说明F(x,y)不是二维随机变量的分布函数，仅仅是一个二元函数,比如：,对这分布函数来验证第4条性质。,即第4条性质不满足,2020/5/26,北邮概率统计课件,二.二维离散型随机变量及其分布,1.二维离散型随机变量的定义,2.二维离散型随机变量的分布律,为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，或称为联合分布律.,则：其相应的概率,2020/5/26,北邮概率统计课件,注:,同一维随机变量(离散型)类似，一般可用,下列表格形式表示：,2020/5/26,北邮概率统计课件,例1.,求:(X,Y)的分布律,2020/5/26,北邮概率统计课件,1,5,7,11,13,17,19这7个数不能被2,3整除,3,9,15,21这4个数不能被2,能被3整除,2,4,8,10,14,16,20这7个数不能被3整除,但能被2整除,6,12,18这3个数能被2整除,又能被3整除,不难易证:,由题意可知：X取值为0,1；Y的取值为0,1,解:,2020/5/26,北邮概率统计课件,故得：(X,Y)的联合分布律为:,同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从中取一个检验质量，不放回地抽样，连续两次。若记表示第k次取到正品；,表示第k次取到次品,求:的联合分布律.,例2.,(k=1,2),2020/5/26,北邮概率统计课件,由题意的取值为：0,1；的取值为：0,1,解:,显然所求概率满足联合分布律的两条性质.,2020/5/26,北邮概率统计课件,故的联合分布律为:,3.二维离散型随机变量的分布函数,(其中“和式”是对一切满足),2020/5/26,北邮概率统计课件,三.二维连续型随机变量及其分布,1.二维连续型随机变量的定义,2.二维连续型随机变量的(联合)概率密度与分布函数,(1)定义,如果随机变量(X,Y)的取值不能一一列出，而是连续的,则称(X,Y)为连续型随机变量.,若存在非负的二元函数对任意的有：,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，为(X,Y)的联合概率密度；为(X,Y)的联合分布函数.,2020/5/26,北邮概率统计课件,(2)f(x,y)的性质,性质1,性质2,性质3,若f(x,y)在点(x,y)处连续，则：,性质4,设G是XOY平面上的一个区域，则点(x,y)落在G内的概率为:,非负性,规范性,分布函数与概率密度的关系,求区域上的概率,2020/5/26,北邮概率统计课件,注:,一维连续型随机变量的几种常用分布可推广到二维及多维随机变量,则称(X,Y)服从,均匀分布,2020/5/26,北邮概率统计课件,则称(X,Y)服从参数为的,则称(X,Y)服从的,指数分布.,正态分布.,2020/5/26,北邮概率统计课件,例3.,设,求:(1)分布函数,落在G内的概率其中G:x+y=1及x轴、y轴所围区域,解:,2020/5/26,北邮概率统计课件,从而得分布函数为：,2020/5/26,北邮概率统计课件,(2)画出G域图：,G:,以上讨论的关于离散型或连续型随机变量均可推广到n维(n2)随机变量,从而得：,2020/5/26,北邮概率统计课件,n维随机变量：,n维联合分布函数：,为n维随机变量的联合分布函数.,注意到(X,Y)是一个整体，它具有分布函数F(x,y)。而X,Y分别也是随机变量，它们分别具有分布函数为：那么它们分别各自又有什么特征呢?,问题：,?,
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