资源描述
,第六节微积分基本定理,本节要点,本节通过积分上限函数，证明连续函数的原函数的存,其中为的一个原函数.,在性，,尼茨公式,更进一步地得到微积分基本公式牛顿莱布,一、问题的提出,在上一节中，我们看到：物体在时间间隔内经,但是，这段路程又可视为位置函数在区间,过的路程为,速度函数在区间上的定积分,的增量,即,由于即位移函数是速度函数的原函数，,所以上述关系表示为：,速度函数在区间上的定积分,等于,值得提出的是：该问题是否具有一般意义，,即:,即:若函数存在原函数,那么函数,在区间上的定积分,是否可以表达为它的原函数,在区间上的增量，,二、积分上限函数及其导数,设函数，则的定积分存在，它与,积分变量的符号无关，即可将积分变量的符号改写,成，,设函数则在部分区间,定义了区间上的函数，,用此积分形式定义的函数称为积分上限的函数。,上可积，由此积分,记为即,例如则,x,1,y=x,定理1如果函数则积分上限函数,在上可导，并且其导函数为,证若,由积分中值定理，得,其中介于与之间，故,又由于为连续函数，故,所以，,此说明函数可导，且有,若或则以上的极限分别改为或,就得到与,定理1证明了连续函数的原函数的存在性，并且积分上限,函数,是的一个原函数。,例1设求,解由求导公式，得,三、牛顿莱布尼茨公式,定理2如果函数函数是的一个原,证因与都是的原函数，,函数，则,则，,（上式称为牛顿莱布尼茨公式）,在上式中，令则有,又由于可得则有,在上式中令则有,在上式将改写为，则有,定理2建立了定积分与原函数之间的关系，同时又为,定积分的计算提供了方法.,具体做法是：,先求出原函数，再将上限和下限代入后相减。,例2求,解因函数的原函数为故由积分公式,得，,例3求,解,例4求,解,例5设求积分上限函数,在上的积分表达式.,解当,当,所以,例6求极限,解原式,这里取并将区间等分，取,为区间的左端点，小区间的长度又因函数,故积分与区间的分法和点的取法无关，,所以,原式,定理设并在上存在原函数,证在插入个分点，,从而把区间分成个小区间，在区间上使,则,用微分中值定理，得,值得注意的是：定理2的条件可降低为:,其中记,则有,令则有,又由于可积，由定积分的定义，得,由于可微分，故,即,上式说明在上的定积分为它的原函数,在处各点处的微分的无穷积累.,我们来推广变上限的函数的导数公式,定理设函数在某区间上连续，函数及,注意到，当就是定理1的形式.,是上的可导函数，且,则,例7设求,解由求导公式得,的导数。,例8求由确定的隐函数对,解方程两边对求导，则有,即,例9当为何值时，函数有极值？,解为求极值，先求函数的驻点。因,显然有：所,以是函数的极小值点。又故当,时函数由极小值,例10求,解原式是型。由罗必达法则，原式为,例11求,解原式是型。由罗必达法则，原式为,例12设，时,证明,为内的增函数。,证,因为,所以在内为增函数。,
展开阅读全文