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第二章 2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求的大小及位置。解 要使系统处于平衡状态，点电荷受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即。那么，由，同时考虑到，求得可见点电荷可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷相距。习题图2-2zxE3E2E12-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：试求位于点的电场强度。解 令分别为三个电电荷的位置到点的距离，则，。利用点电荷的场强公式，其中为点电荷q指向场点的单位矢量。那么，在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为则点的合成电场强度为2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。解 令点电荷位于坐标原点，为点电荷至场点P的距离。再令点电荷位于+坐标轴上，为点电荷至场点P的距离。两个点电荷相距为，场点P的坐标为（r,f）。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为考虑到r l，= er，那么上式变为式中以为变量，并将在零点作泰勒展开。由于，略去高阶项后，得利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C，相距为2cm， 如习题图2-4所示。试求：P点的电位；将电量为C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。1cmP1cmqq1cm习题图2-4解 根据叠加原理，点的合成电位为因此，将电量为的点电荷由无限远处缓慢地移到点，外力必须做的功为2-5 通过电位计算有限长线电荷的电场强度。习题图2-5r0Pzodllq1q2y解 建立圆柱坐标系。 令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。设线电荷的长度为，密度为，线电荷的中点位于坐标原点，场点的坐标为。利用电位叠加原理，求得场点的电位为式中。故因，可知电场强度的z分量为电场强度的r分量为式中，那么，合成电强为当L时，则合成电场强度为可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度。习题图2-6ayxoE解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的分量，即考虑到，代入上式求得合成电场强度为2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图2-7xyzProadly解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷在z轴上点产生的电位为根据叠加原理，圆环线电荷在点产生的合成电位为因电场强度，则圆环线电荷在点产生的电场强度为2-8 设宽度为W，面密度为的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。习题图2-8xyzoryxdxx(a)(b)P(x,y)解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为的无限长线电荷，其线密度为。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即式中得那么2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为，位于z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度。习题图2-9oxyzrdrP(0,0,z)解 如图 2-9所示，在圆盘上取一半径为，宽度为的圆环，该圆环具有的电荷量为。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的有分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的分量为那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为2-10 已知电荷密度为及的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求及区域中的电场强度。解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷，在x 0区域中产生的电场强度。位于x = 1平面内的无限大面电荷，在x 1区域中产生的电场强度。由电场强度法向边界条件获知，即由此求得根据叠加定理，各区域中的电场强度应为2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为试求及区域中的电通密度。解 作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知式中q为闭合面S包围的电荷。那么在区域中，由于q = 0，因此D = 0。在区域中，闭合面S包围的电荷量为因此，在区域中，闭合面S包围的电荷量为因此，2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为试求球内外各点的电位。解 在区域中，电位为在区域中，2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求空间的电荷密度。解 利用高斯定理的微分形式，得知在球坐标系中那么，在区域中电荷密度为在区域中电荷密度为2-14 已知真空中的电荷分布函数为式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理在区域中在区域中2-15 已知空间电场强度，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。解设P1点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为式中，因此电位差为2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1，则同轴线内电场强度。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为则同轴线内导体表面处电场强度为令b不变，以比值为变量，对上式求极值，获知当比值时，取得最小值，即同轴线获得最高耐压。2-17 若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图2-17obaPrdro解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内点的电场强度为式中是由球心o点指向点的位置矢量， 再设半径为的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内点的电场强度为式中是由腔心点指向点的位置矢量。那么，合成电场强度即是原先空腔内任一点的电场强度，即式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-18 已知介质圆柱体的半径为a，长度为l，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为，试求介质中束缚xyza习题图2-18Ply电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。解 建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为。由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为的圆盘在其轴线上的电场强度为因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为那么，上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电场强度为2-19 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：介质壳内外表面上的束缚电荷；各区域中的电场强度。解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场的方向与介质板法线的夹角为，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向时，试求角度及介质表面的束缚电荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E习题图2-20E2en2en1解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得；已知，那么由上式求得已知介质表面的束缚电荷，那么，介质左表面上束缚电荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为2-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm，电量均为C，相距很远。若以导线相连后，试求：电荷移动的方向及电量；两球最终的电位及电量。解 设两球相距为d，考虑到d a, d b，两个带电球的电位为；两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即及，求得两球最终的电量分别为可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为。两球最终电位分别为2-22 已知两个导体球的重量分别为m1=5g，m2=10g，电量均为C，以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度l = 1m，且远大于两球的半径，试求；绝缘线切断的瞬时，每球的加速度；绝缘线切断很久以后，两球的速度。解 绝缘线切断的瞬时，每球受到的力为因此，两球获得的加速度分别为 当两球相距为l时，两球的电位分别为；此时，系统的电场能量为绝缘线切断很久以后，两球相距很远(la, lb)，那么，两球的电位分别为;由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变化为这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程：，由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度v1和v2：；2-23 如习题图2-23所示，半径为a的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q1及q2，在距离处放置另一个点电荷q3，试求三个点电荷受到的电场力。q1q2rq3a习题图2-23解 根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此，q1与q2之间没有作用力，q3对于q1及q2也没有作用力。但是q1及q2在导体外表面产生的感应电荷-q1及-q2，对于q3有作用力。考虑到ra，根据库仑定律获知该作用力为2-24 证明位于无源区中任一球面上电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无关。解 已知电位与电场强度的关系为，又知，由此获知电位满足下列泊松方程利用格林函数求得泊松方程的解为式中。考虑到，代入上式得若闭合面内为无源区，即，那么若闭合面S为一个球面，其半径为a，球心为场点，则，那么上式变为考虑到差矢量的方向为该球面的半径方向，即与的方向恰好相反，又,则上式变为由于在面内无电荷，则，那么由此式可见，位于无源区中任一球面上的电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布无关。2-25 已知可变电容器的最大电容量，最小电容量，外加直流电压为300V，试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。解 在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中，电源作的功和外力作的功均转变为电场储能的增量，即式中因此，外力必须作的功为2-26 若使两个电容器均为C的真空电容器充以电压V后，断开电源相互并联，再将其中之一填满介电常数为的理想介质，试求：两个电容器的最终电位；转移的电量。解 两电容器断开电源相互并联，再将其中之一填满相对介电常数为理想介质后，两电容器的电容量分别为两电容器的电量分别为，且由于两个电容器的电压相等，因此联立上述两式，求得，因此，两电容器的最终电位为考虑到，转移的电量为e2ae1b习题图2-272-27 同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，其内一半填充介电常数为的介质，另一半填充介质的介电常数为，如习题图2-27所示。当外加电压为V时，试求：电容器中的电场强度；各边界上的电荷密度；电容及储能。解 设内导体的外表面上单位长度的电量为，外导体的内表面上单位长度的电量为。取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯面，由高斯定理 求得已知，在两种介质的分界面上电场强度的切向分量必须连续，即，求得内外导体之间的电位差为即单位长度内的电荷量为故同轴电容器中的电场强度为 由于电场强度在两种介质的分界面上无法向分量，故此边界上的电荷密度为零。内导体的外表面上的电荷面密度为；外导体的内表面上的电荷面密度为；单位长度的电容为电容器中的储能密度为2-28 一平板电容器的结构如习题图2-28所示，间距为d，极板面积为。试求： 接上电压V时，移去介质前后电容器中的电场强度、电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能； 断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。dl/2KVl/2ee 0习题图2-28解接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，因此，介质内外的电场强度是相等的，即电场强度为。但是介质内外的电通密度不等，介质内，介质外。两部分极板表面自由电荷面密度分别为，电容器的电量电容量为电容器储能为若接上电压时，移去介质，那么电容器中的电场强度为电通密度为极板表面自由电荷面密度为电容器的电量为电容量为电容器的储能为断开电源后，移去介质前，各个参数不变。但是若移去介质，由于极板上的电量不变，电场强度为电通密度为 极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为电容量为电容器的储能为 2-29 若平板电容器的结构如习题图2-29所示，尺寸同上题，计算上题中各种情况下的参数。d/2d/2ele 0习题图2-29解 接上电压，介质存在时，介质内外的电通密度均为，因此，介质内外的电场强度分别为；两极板之间的电位差为。则 则电位移矢量为 ；极板表面自由电荷面密度为；介电常数为的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为 介电常数为与介电常数为的两种介质边界上的束缚电荷面密度为此电容器的电量 则电容量为 电容器的储能为 接上电压时，移去介质后：电场强度为 电位移矢量为 极板表面自由电荷面密度为 电容器的电量 电容量为 电容器的储能为 (2) 断开电源后，介质存在时，各个参数与接上电源时完全相同。但是，移去介质后，由于极板上的电量不变，电容器中电场强度为，电通密度为极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为电容量为电容器的储能为2-30 已知两个电容器C1及C2的电量分别为q1及q2，试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不变，则两个电容器的电容及电量应满足什么条件？解 并联前两个电容器总储能为 并联后总电容为，总电量为，则总储能为要使，即要求方程两边同乘，整理后得方程两边再同乘，可得即由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的条件为2-31 若平板电容器中介电e (x) Ad X0习题图2-31A常数为平板面积为A，间距为d，如习题2-31所示。试求平板电容器的电容。解设极板上的电荷密度分别为，则由高斯定理，可得电通密度，因此电场强度为那么，两极板的电位差为 则电容量为 dVte 0e 0习题图2-32A2-32 若平板空气电容器的电压为V，极板面积为A，间距为d，如习题图2-32所示。若将一块厚度为的导体板平行地插入该平板电容器中，试求外力必须作的功。解 未插入导体板之前，电容量。插入导体板后，可看作两个电容串联，其中一个电容器的电容，另一个电容器的电容，那么总电容量为根据能量守恒原理，电源作的功和外力作的功均转变为电场能的增量，即式中 则 2-33 已知线密度的无限长线电荷位于（1,0, z）处，另一面密度的无限大面电荷分布在x = 0平面。试求位于处电量的点电荷受到的电场力。xz1Po0.55y习题图2-33解 根据题意，两种电荷的位置如图2-33所示。由习题 2-10知，无限大面电荷在P点产生的电场强度为无限长线电荷在P点产生的电场强度为因此，P点的总电场强度为 所以位于P点的点电荷受到的电场力为 2-34 已知平板电容器的极板尺寸为，间距为d，两板间插入介质块的介电常数为，如习题图2-34所示。试求：当接上电压V时，插入介质块受的力；电源断开后，再插入介质时，介质块的受力。da bSUee 0习题图2-34解 此时为常电位系统，因此介质块受到的电场力为式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，引起电容改变。设插入深度x，则电容器的电容为电容器的电场能量可表示为那么介质块受到的x方向的电场力为 此时为常电荷系统，因此介质块受到的电场力为式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，极板电量不变，只有电容改变。此时电容器的电场能量可表示为因此介质块受到的x方向的电场力为31
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