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第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场的梯度为，则= ， 0 。2. 已知矢量场，则在M（1，1，1）处 9 。3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为），则必须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。4. 写出线性和各项同性介质中场量、所满足的方程（结构方程）： 。5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。6. 设理想导体的表面A的电场强度为、磁场强度为，则（a）、皆与A垂直。（b）与A垂直，与A平行。（c）与A平行，与A垂直。（d） 、皆与A平行。 答案：b7. 设自由真空区域电场强度，其中、为常数。则空间位移电流密度（A/m2）为：（a） （b）（c） （d） 答案：c8. 已知无限大空间的相对介电常数为，电场强度，其中、为常数。则处电荷体密度为：（a） （b） （c） （d） 答案：d9. 已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。Sol. (1) 球面上由边界条件 得：（2）由边界条件得： （3）由得： 即空间电荷只分布在球面上。10. 已知半径为R0、磁导率为m 的球体，其内外磁场强度分布为且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS 大小。Sol. 球面上（r=R0）：为法向分量；为法向分量 （1）球面上由边界条件得：（2）球面上由边界条件得第3章 静电场及其边值问题的解法1. 静电场中电位f 与电场强度的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数分别为和）的分界面上，电位满足的边界条件为 。2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为，则静电场： 0 ，= -r / e0 。3. 电位f 和电场强度满足的泊松方程分别为 、 。4. 介电常数为e 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。6. 如图，、分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，e2 = 3e1 ，q1 = 30，则q2 = 60 ， 。7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度与电位沿其法向的方向导数的关系为 。8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体密度r = r0 (1- e x-d ) 的电荷（设内部介电常数为e0）。（1）利用直接积分法计算0 x a各点的电位分布。Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：无限大接地导体平面 + 接地导体球边界条件：使，引入镜像电荷：使，引入镜像电荷：z轴上z a各点的电位： 11. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q、-q ，位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x轴上x2R0各点的电场强度。Sol. (1) 引入两个镜像电荷：，（2）（略）， ，（3）x轴上x2R0各点的电场强度：12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。 Sol. （1）， ， ， （2） =（略）其中：， ，第4章 恒定电场与恒定磁场1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中， 0 ； 0 。3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度和电流密度的边界条件为： 、 。4. 在电导率为s 的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为 。5. 恒定磁场的矢量磁位与磁感应强度的关系为 ；所满足的泊松方程为 。6. 如图，、分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，则 、分别为： 答案：B（A）、。 （B）。7. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为m ），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密度 ，V空间磁能Wm = 。8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：，C为常数，且满足库仑规范。求（1）常数C ；（2）电流密度；（3）磁感应强度。（直角坐标系中： ）Sol. (1) 库仑规范：(2) 由，得：(3) 9. (P.136. 习题4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（和），其厚度分别为和。若在两极板上加上恒定的电压。试求板间的电位、电场强度、电流密度以及各分界面上的自由电荷密度。Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（e1和e2）替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E2 电位移：静电比拟： ，则导电媒质中的恒定电场： ， 可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号。只有理想电容器才有电容定义。第5章电磁波的辐射1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 （略） ， （略） 。2. 坡印亭矢量的瞬时表示式是 （略） ，平均值是 （略） 。3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为，这个方程在正弦电磁场的情况下变为 。4. 在无损耗的均匀媒质中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为，其中 a 。(a) (b) (c) (d) 5. 在时变电磁场中，磁感应强度与位的关系为 ，电场强度与位的关系为 。6. 电偶极子天线的功率分布与的关系为 a 。(a) (b) (c) (d) 7. 自由空间的原点处的场源在时刻发生变化，此变化将在 b 时刻影响到处的位函数和。 （a） （b） (c) (d) 任意8. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 c （a） （b） (c) (d) 9、已知真空中某时谐电场瞬时值为。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式可以写成：因此电场强度的复矢量表示为：由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为功率流密度矢量的平均值等于复坡印廷矢量的实部，即10、已知真空中时变场的矢量磁位为求：(1) 电场强度和磁场强度；(2) 坡印廷矢量及其平均值。 解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为 则矢量磁位的复数形式为 根据磁场强度复数形式与矢量磁位复数形式之间关系可以求出磁场强度的瞬时值为：根据麦克斯韦方程组的第一个方程，此时，电场强度与磁场强度之间关系为：电场强度的瞬时值为：(2) 坡印廷矢量为坡印廷矢量的平均值为第6章、均匀平面波的传播1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅 相同 ，相位相差 。2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 相等 ，相位相差 。3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质表面上，则电场反射系数为 。4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为，则波的传播方向为 ，频率为 3109Hz ，波长为 0.1m ，波的极化方式为 x ，对应的磁场为 ，平均坡印亭矢量为 。5. 均匀平面波电场方向的单位矢量、磁场方向的单位矢量以及传播方向的单位矢量三者满足的关系是 。6. 设海水的衰减常数为，则电磁波在海水中的穿透深度为 ，在此深度上电场的振幅将变为进入海水前的 。7. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 a 。（a） （b） (c) (d) 8. 在无源的真空中，已知均匀平面波的和，其中的和为常矢量，则必有 c 。(a) ; (b) ; (c) ; (d)9. 以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b 。(a) 不再是平面波(b) 电场和磁场不同相(c) 振幅不变(d) 以TE波的形式传播10. 已知空气中存在电磁波的电场强度为试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的场强：、。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量：该式的电场幅度为，相位和方向均不变，且，此波为均匀平面波。传播方向为沿着方向。由时间相位波的频率波数波长相速真空波阻抗 由于是均匀平面波，因此磁场为11. 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为，已知介质的，求，并写出的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到，而电场强度的瞬时式可以写成复矢量为波阻抗为，则磁场强度复矢量为因此磁场为12. 铜的电导率，。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。 (1) ；(2) ；(3) 解：已知和，那么(1) 当时，则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分别为相速：波长：透入深度：波阻抗：(2) 当时，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数和相位常数分别为相速：波长：透入深度：波阻抗：(3) 当时，则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分别为相速：波长：透入深度：波阻抗：13. 海水的电导率，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。解：已知和，那么。(1) 当时，则海水可看作良导体，衰减常数和相位常数分别为相速：波长：透入深度：波阻抗：(2) 当时，则海水也可近似看作良导体，衰减常数和相位常数分别为相速：波长：透入深度：波阻抗：(3) 当时，则海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数和相位常数分别为相速：波长：透入深度：波阻抗：第 20 页 共 20 页