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习题二2-3 已知真空中静电场的电位 V，求电场强度的分布及电荷体密度。解： V/m C/m22-5 已知某空间电场强度，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位的分布。答案 2-8 已知电场强度，求体电荷密度，其中介电常数为。解：因为由球坐标系中散度展开式得2-11 计算均匀电荷面密度为的无限大平面的电场。解： 根据高斯定律有 注意侧面上D0 的通量为零。由边界条件可知因此求得D0=/2，用矢量式表示时为2-12 在无限大真空中，已知电位，求对应的电场强度及电荷分布。分析 处是的奇异点，在该点应有一个点电荷。在处，可由求得电荷体密度，而位于处的点电荷，则可应用高斯定律求得。解 (1)电场强度为(2) 在处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为为了确定处的点电荷，作一个半径为的球面。由高斯定律可得到球面内的总电荷为该球面内的体分布电荷的总电荷量为故处的点电荷为2-17圆柱形电容器外导体内半径为，内导体半径为。当外加电压固定时，在一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值的内导体半径的值和这个的值。分析 由于圆柱形电容器内的场强与半径成反比，所以内导体表面上的电场强度最大。内导体半径的值不同时，电容器中的最大电场强度的值也不同。当内导体半径取某一个值时，最大电场强度会出现极小值。解 设内导体单位长度带电荷为，利用高斯定律求得圆柱形电容器中的电场强度为由内外导体间的电压得到由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式在圆柱形电容器中，处的电场强度最大令对的导数为零，即由此得到故有说明 电容器中最大电场强度的值越小，电容器能承受的电压越高。当电容器中的最大电场强度取极小值时，电容器承受的电压最大。因此在设计时，应使电容器的内外半径之比满足一定的条件。2-18一个半径为R介质球，介电常数为，球内的极化强度，其中K为数。试计算(1)束缚电荷体密度和面密度；(2) 自由电荷密度；(3)球内、外的电场和电位分布。分析 由于已知极化强度，由于，故可求出极化电荷分布，再利用和求出自由电荷体密度。解 (1) 介质球内的束缚电荷体密度为在的球面上，束缚电荷面密度为 (2)由于，所以由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量(3)介质球内、外的电场强度分别为 介质球内、外的电位分别为 说明 虽然介质是均匀的，但极化强度不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质体内有自由电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷。2-22两种电介质的相对介电常数分别为和，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场为，那么对于介质2中的和，你能得到什么结果？ 分析 在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件，在两种电介质分界面处，有、，由此可求出介质2中的和在分界面=0处的表达式。解 设在介质2中 在处，由和，可得 于是得到故得到介质2中的和在处的表达式分别为说明 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。如果介质中的场是均匀的，则边界面上的电场与介质中的电场相同。在本题中，由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 2-33两个电荷分别位于两种介质中，两种介质的分界面为无限大平面，介电常数分别为和，点电荷q1与q2相对于界面为镜象位置，相距为2。求(1)点电荷q1与边界距离一半处的电位，(2)q1所受的力。解：利用叠加定理与镜像法将原问题分解q1q2hhq1+Aq2=hhhh其中故2-44有两个质量均为m 的完全相同金属小球A和B，用一个原长为的轻弹簧连接，小球和弹簧之间是绝缘的。用丝线把小球和弹簧吊起来，如图所示。此时弹簧的长度为。使两个小球带上等量同种电荷后，弹簧的长度变为 l2，问两个小球所带电量为多少。(提示：设弹簧的拉伸系数为K，单位为Kg/m。弹簧较轻，自身重量忽略不计)解 当两个小球不带电时，以B球为分析对像，它共受两个力作用，一个是重力mg，另一个是弹簧的拉力T，因为静止，所以这两个力平衡，设弹簧的拉伸系数为K，则有： (1)两个小球带电后，还是以B球为分析对像，此时B球受到三个力的作用，除去重力mg、弹簧的拉力以外，还受到A球的库仑力。平衡后两球间的距离为l2, 所以库仑力为：由于平衡，所以有： (2)解(1)(2)两式得AB 题2-44图 故习题三3-1 一个半径为a的球内均匀分布着总量为q的电荷，若其以角速度绕一直径匀速旋转，如图所示。试求球体内的电流密度并计算分布电流的总和。解：设球内任一点到球心的距离为r，转轴与矢径夹角为，则该点的线速度 球内的电荷体密度 该点的电流密度 球内电流为 题3-1图 3-3 铁制水管内、外直径分别为2.0cm和2.5cm，常用水管来使电器设备接地。如果从电器设备流入到水管中的电流是20A，那么电流在管壁和水中各占多少？假设水的电阻率是0.01m。解：单位长度的铁管电阻为单位长度的水柱电阻为当水管中的电流为20A时，水柱和铁管中的电流之比为 (a)又根据题意 (b)所以将(a)、(b)联立求解，可得管壁和水中的电流强度，3-15 个同心球电容器的内导体的半径为a，外导体的内半径为c，期间填充两种漏电介质，电导率分别为和，分界面半径为b。当外加电压为U0时，求两个极板间的绝缘电阻和功率损耗。解：设由内导体流向外导体的径向电流为I，在两种介质的分界面上，电流密度与分界面垂直。根据边界条件，则由可得，由于，所以 所以 电阻器的电阻为 电容的损耗功率为 3-17 轴电缆的内导体半径为，外导体的内半径为b，外加电压为，中间填充的电介质。求介质的漏电导。解：设单位长度漏电流为I，电流密度，3-18 导率为的无界均匀介质间，有两个半径为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d (d R1，d R2)，试求两导体球面间的电阻。本题可以不做，可以做第3-17题，那种对称的结构。解：此题可采用静电比拟的方法求解。设两小球的电荷为q和-q，由于d R1，d R2可以近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上，则得到两小球表面的电位为所以两小导体球面间的电容为 由静电比拟，得到球面间的电导为 故两两小导体球面间的电阻为 3-20 有同心球电容器，内球半径为，外球内半径为b，中间充有两种介质，其分界面为过球心的平面。两种介质的介电常数及电导率分别为，；，；(1) 若在内、外球间加电压，求两层介质中的电场和电流分布及，处的自由电荷密度。(2) 求此电容器的漏电阻。(3)求电容器的损耗功率。解：（1）设由内导体流向外导体的径向电流为I，则由可得，在两种介质的分界面上，电场与分界面平行。根据边界条件 可知。由于，所以所以 故 （2）电阻器的漏电阻为 （3）电容的损耗功率为 3-23 半径分别为，厚度为，张角为的扇形电阻片(其电导率为)，如图所示。试求两种不同的极板(金属极板，不计算其电阻)放置方法，该扇形片的电阻。(1)两极板分别置于A、B面(平面)上。(2)两极板分别置于C、D面(圆弧面)上。ACaDaABB题3-22图 题3-23图解：（2）同样采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。这时金属电极放在、面上，设面上的电位为0，面上的电位为U0。电位方程：导体中的电位应满足如下条件：为满足边界条件，应取由边界条件得，联立求解，得，这时扇形片的电阻为习题四4-3 下面矢量中哪些可能是磁感应强度B？如果是，求出相应的电流密度J。a) b)c) d)e) f)解：由恒定磁场的基本方程，满足该式的矢量可能表示磁感应强度B，否则不表示磁感应强度。由求的电流密度J。a) 由 ，F可能表示磁感应强度B。b) 按圆柱坐标系求解，F可能表示磁感应强度B。c) ，F可能表示磁感应强度B。d) ，F不表示磁感应强度B。e) （A为常数），f) ，F不表示磁感应强度B。4-4 无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种介质的分界面，试求：(1) 两种介质中的磁感应强度B1和B2；(2) 磁化电流分布。解：(1) 由安培环路定律，可得所以得到 (2) 磁介质的磁化强度为则磁化电流体密度为在r=0处， 具有奇异性。以z轴为中心作一个圆形回路c，由安培环路定律得故可以得到磁化电流为在磁介质的表面上，磁化电流面密度为4-5 一根细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场B0中，并使它们的轴与B0平行(铁的磁导率为)。求样品内的B和H；若已知B0=1T，求两样品内的磁化强度M。解：对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件有对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件有 4-6 证明磁介质内部的磁化电流是传导电流的()倍。解：由于，因而 4-7 如图所示，已知无限长直导体圆柱由电导率不同的两层导体构成，内层导体的半径，电导率；外层导体的外半径，电导率。导体圆柱中沿轴线方向流过的电流为，求：(1)两层导体中的电流密度J1和J2；(2)求导体圆柱内、外的磁感应强度。解：(1) 、， (2) 当时，有当时，有当时，有 4-8 已知在半径为a的圆柱区域内有沿轴向方向的电流，其电流密度为，其中为常数，求圆柱内外的磁感应强度。解：用安培环路定律，当计算的点位于柱内（ra时，4-9 有一圆截面的环形螺线管，其圆形截面积为S，平均半径为l，铁环的相对磁导率为r，环上绕的线圈匝数为N，通过恒定电流I。假设铁心内部的磁场均匀分布且空气中没有漏磁，求：(1)铁心内磁场强度H和磁感应强度B；(2)环内的总磁通；(3)计算该螺线管的电感。(4)磁场能量。解：(1)安培环定理 有 ，(2)(3)(4) 4-10 个薄铁圆盘，半径为，厚度为，如图所示。在平行于轴方向均匀磁化，磁化强度为M。试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感应强度和磁场强度。解：由于铁盘均匀磁化，且磁化方向沿正向，故令，其中M为常数。由此可知磁化电流面密度铁盘上、下底面的磁化电流线密度 铁盘侧面周边边缘上的磁化电流线密度这样可将圆盘视为相当于的圆形磁化电流，求此电流在各处产生的磁场。又由于，可视为圆环电流产生的磁场。在铁盘轴线上产生的磁场为、的方向沿方向。铁盘内由于，可得在铁盘内是均匀分布的磁场。4-11 知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为H0，若此平面电流回路位于磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度H1和H2。解：由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有。在分界面两侧做一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种情况，应用安培环路定理即可导出H1、H2和H0的关系。在分界面两侧，做一个尺寸为的小矩形回路c。根据安培回路定律有因H垂直于分界面，所以积分式中。这里为与小矩形回路交链的电流。对平面电流回路两侧为真空的情况，则有由于P1和P2是分界面上任意两点，由上述两个式子可得到即 于是得到 故有 4-13 知的区域内为均匀的磁介质，其相对磁导率，的区域为空气，求：当空气中的磁感应强度mT，磁介质中的磁感应强度B；当磁介质中的磁感应强度mT，空气中的磁感应强度B0。解：设磁介质中的磁感应强度为根据边界条件，有所以 ，即 设空气中的磁感应强度为根据边界条件，有所以 ，即 mT4-15 铁制材料的螺线环，其平均周长为30cm，截面积为1cm2，在环上均匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032A时，环内磁通量为Wb。试计算：(1)环内的磁感应强度和磁场强度；(2)磁化面电流密度；(3)环内材料的磁导率和相对磁导率；(4)磁心内的磁化强度。解 (1) 环内的磁通量密度 环内的磁场强度(2) 先求出磁化强度又根据 得磁化面电流密度 (3) 因为 所以磁导率为 相对磁导率为 (4) 磁心内的磁化强度 4-16 由空间中，已知磁矢位，试求已知电流密度J的分布和磁场强度H的分布。按照如下思路自己计算 , , ab题4-21图4-21 轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可以忽略不计。内、外导体间充有磁导率分别为和两种磁介质，设同轴线中通过的电流为I，试求：同轴线中单位长度所存储的磁场能量。单位长度的自感。解 ：同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分解面上，磁场只有法向分量，根据边界条件可以知道，两种磁介质中的磁感应强度相同，但磁场强度同。根据安培环路定理，当r a 时，有所以 (r a)当a r b时有 由于，以及B1=B2=B，所以得到 (a r b)同轴线中的单位长度存储的能量为 由，得到单位长度的自感为 第5章 时变电磁场 习题答案5-1 一个面积为的单匝矩形线圈放置在时变磁场中。开始时，线圈面的法线与轴成角，如图所示。求：(1)线圈静止时的感应电动势；(2)线圈以角速度绕轴旋转时的感应电动势。 xenhwB0习题5-1题图yz解：(1) 线圈静止时，感应电动势是由磁场随时间变化引起的，此时有in (2) 线圈以角速度旋转时，穿过线圈的磁通变化既有因磁场随时间变化引起的，又有因线圈转动引起的。此时线圈面的法线是时间的函数，表示为，。因此in故 5-2 长直导线载有电流，其附近有一的矩形线框，如图所示。在下列两种情况下求线圈中的感应电动势：(1)线圈静止不动；(2)线圈以速度向右方运动。 iabc习题5-2题图解：长直载流导线产生的磁场为穿过矩形线框的磁通为由电磁感应定律求得感应电动势为in(2) 电流是交变的，同时伴有线框的运动，此时穿过矩形线框的磁通为感应电动势为in显然，此时的感应电动势由两部分组成：一部分是由磁场的变化而产生（回路视为静止），另一部分是因回路的运动切割磁力线而产生（电流视为恒定）。5-3 在无源的自由空间中，已知磁场强度A/m，求位移电流密度。 解：由于J0，麦克斯韦第一方程成为，故可知位移电流密度 (A/)5-4 已知导电媒质中传导电流密度的大小为 A/，媒质参数为S/m，。求导电媒质中位移电流密度的值。 解：导电媒质的内部电场强度为 (V/) 电位移矢量的模为 C/位移电流密度的模为 (A/) 5-55-6 在无源区域，已知电磁场的电场强度V/m，求空间任一点的磁场强度和磁感应强度B。 解：由麦克斯韦第二方程，有将上式对时间t积分，若不考虑静态场，则有 (T) 于是可知 (A/m)5-7 在两块导电平板0和之间的空气中有电磁波传播，已知电场强度 V/m，其中、为常数 求：(1)磁场强度；(2)两块导电平板表面上的电流密度K。 解：(1)由麦克斯韦第二方程，可得故有 不难证明，E和H都满足理想导体表面的边界条件。导体表面没有电场的法向分量，故没有表面电荷。(2)导体表面电流存在于两块导电板相对的一面。在0的表面上，电流密度在的表面上，电流密度5-85-95-105-11 在时变电磁场中，已知矢量位函数，其中和均为常数。试求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量S。 解：(1) 根据以及，可得磁场强度(2) 应用麦克斯韦第一方程，得上式对时间t积分，得另外，也可以根据洛仑兹条件求解E。据此，可知因此，知。在时变电磁场中不考虑静电场，取，则，故有(3) 坡印廷矢量5-125-13 改写下列电场或磁场的表达式 (1)将瞬时形式改为复数形式 ，(2)将复数形式改为瞬时形式 ，解：(1) 电磁场的复数形式为， (2) 电磁场的瞬时形式为，5-145-155-165-175-18 已知无限大均匀导电媒质中电场和磁场的瞬时值为，式中、均为常数。试求：(1)和的复数形式；(2)瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 解：(1)和的复数形式分别为，(2) 瞬时坡印廷矢量为 复坡印廷矢量为其平均值为5-19 半径为的两块圆形极板构成平行板电容器，在两板上施加缓变电压，两极板间距离为d，板间充满某种导电媒质，媒质参数均已知。求：(1)电容器内的瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量、复坡印廷矢量；(2)进入电容器的平均功率；(3)电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。 解：(1) 设以垂直平行板方向为z坐标方向，则电容器内电场为，位移电流和传导电流分别为， 当忽略边缘效应时，由安培环路定律可得 所以有 ， ，第 17 页 共 17 页