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物理学10章习题解答10-3 两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图10-9所示的位置。如果q角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为图10-9.解 小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力t和库仑力f。于是可以列出下面的方程式,(1),(2)(3)因为q角很小，所以, .利用这个近似关系可以得到,(4).(5)将式(5)代入式(4)，得,由上式可以解得.得证。10-4 在上题中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量q为多大？解 在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得.10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 5.2910-11m。质子的质量m = 1.6710-27kg，电子的质量m = 9.1110-31kg，它们的电量为 e =1.6010-19c。(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解 (1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为.10-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。图10-10(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为. (2) f的方向如何？解 立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如b角上的qb，它所受到的力 、 和 大小也是相等的，即.首先让我们来计算 的大小。由图10-10可见， 、 和 对 的作用力不产生x方向的分量；对 的作用力f1的大小为,f1的方向与x轴的夹角为45。对 的作用力f2的大小为,f2的方向与x轴的夹角为0。对 的作用力f3的大小为,f3的方向与x轴的夹角为45。对 的作用力f4的大小为,f4的方向与x轴的夹角为a， 。于是.所受合力的大小为.(2) f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为a、b和g，并且,.10-7 计算一个直径为1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。解 根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.60210-19 c，所以铜球所带的正电荷为.10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点，测定f/q0。问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e？解 这样测得的f / q0是小于该点的电场强度e的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动， q0受力f减小了。10-9 根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解 当r 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。10-10 离点电荷50 cm处的电场强度的大小为2.0 nc-1 。求此点电荷的电量。解 由于,所以有.10-11 有两个点电荷，电量分别为5.010-7c和2.810-8c，相距15 cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。图10-11解 已知 = 5.010-7c、 = 2.810-8c，它们相距r = 15 cm ，如图10-11所示。(1) 在点b产生的电场强度的大小为,方向沿从a到b的延长线方向。在点a产生的电场强度的大小为,方向沿从b到a的延长线方向。(2) 对 的作用力的大小为,方向沿从b到a的延长线方向。对 的作用力的大小为.方向沿从a到b的延长线方向。10-12 求由相距l的 q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r l；图10-12(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r l。解 (1)在轴的延长线上任取一点p，如图10-12所示，该点距轴心的距离为r。p点的电场强度为.在r l的条件下，上式可以简化为图10-13 .(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点p的电场强度可以表示为.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点q，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r。q点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来：.10-13 有一均匀带电的细棒，长度为l，所带总电量为q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且al；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且al。解 图10-14(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。在x轴上到o点距离为a处取一点p，在x处取棒元dx，它所带电荷元为ldx ，该棒元到点p的距离为a- x，它在p点产生的电场强度为.整个带电细棒在p点产生的电场强度为图10-15,方向沿x轴方向。(2)坐标系如图10-15所示。在细棒中垂线(即y轴)上到o点距离为a处取一点p，由于对称性，整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。所以只需计算ey就够了。仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为ldx，它在p点产生电场强度的y分量为.整个带电细棒在p点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。图10-1610-14 一个半径为r的圆环均匀带电，线电荷密度为l。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。在环上取元段dl，元段所带电量为dq = l dl，在p点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。所以只需计算ex就够了。所以.10-15 一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为s。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。图10-17解 取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在p点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即,的方向沿x轴方向。整个圆盘在p点产生的电场强度，可对上式积分求得.图10-1810-16 一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为s。求球心的电场强度。解 以球心o为坐标原点，建立如图10-18所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然,圆环所带的电量为.根据题10-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿x轴的反方向。由图中可见， , 将这些关系代入上式，得.所以,e的方向沿x轴的反方向。10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e，另一类是处于高斯面s外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e ，显然高斯面上任一点的电场强度e = e + e。试证明：(1) ；(2) 。解 高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以e0，而与s以外的电荷无关。”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为. (1)所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得. (2)图10-1910-20 一个半径为r的球面均匀带电，面电荷密度为s。求球面内、外任意一点的电场强度。解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面s1，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,即.由此解得,e2的方向沿径向向外。10-21 一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为r。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。图10-20解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1(见图10-20)作为高斯面并运用高斯定理.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图10-20所示。在s2上运用高斯定理，得.根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得,方向沿径向向外。10-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 s，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.510-8 s的时间撞击在对面的正电板上，若d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。解 图10-21(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为ds的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图10-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得,由此解得两板间隙中的电场强度为.(2)根据题意可以列出电子的运动学方程,.两式联立可以解得.10-24 一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。解 先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。在球内： ，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。在球外： ，根据高斯定理，可得,解得,方向沿径向向外。球内任意一点的电势：, ().球外任意一点的电势：, ().10-25 点电荷+q和-3q相距d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。图10-22解 (1)电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，先假设在+q 的右侧x1处的p1点，如图10-22所表示的那样可列出下面的方程式.从中解得.在+q左侧x2处的p2点若也符合电势为零的要求，则有.解得.(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在 +q的左侧，并设它距离+q为x，于是有.解得.图10-2310-26 两个点电荷q1 = +4010-9c和q2 = -7010-9c，相距10 cm。设点a是它们连线的中点，点b的位置离q1 为8.0 cm，离q2 为6.0 cm。求：(1)点a的电势；(2)点b的电势；(3)将电量为2510-9c的点电荷由点b移到点a所需要作的功。解 根据题意，画出图10-23。(1)点a的电势：.(2)点b的电势：.(3)将电荷q从点b移到点a，电场力所作的功为,电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。图10-2410-27 一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为s。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。解 以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图10-24所示的坐标系。在x轴上任取一点p，点p的坐标为x。在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点p所产生的电势可以表示为.整个圆盘在点p产生的电势为.由电势求电场强度.图10-2510-28 一个半径为r的球面均匀带电，球面所带总电量为q。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。解 在空间任取一点p，与球心相距r。在球面上取薄圆环，如图10-25中阴影所示，该圆环所带电量为.该圆环在点p产生的电势为. (1)式中有两个变量，a和q，它们之间有下面的关系：,微分得. (2) 将上式代入式(1)，得.如果点p处于球外， ，点p的电势为. (3)其中q = 4pr2s .如果点p处于球内， ，点p的电势为. (4)由电势求电场强度：在球外，, ,方向沿径向向外。在球内， ：.图10-2610-30 如图10-26所示，金属球a和金属球壳b同心放置，它们原先都不带电。设球a的半径为r0 ，球壳b的内、外半径分别为r1 和r2。求在下列情况下a、b的电势差：(1)使b带+q；(2)使a带+q；(3)使a带+q，使b带-q；(4)使a带-q，将b的外表面接地。解 (1)使b带+q：这时a和b等电势，所以.(2)使a带+q：这时b的内表面带上了-q，外表面带上了+q，a、b之间的空间的电场为,方向沿径向由内向外。所以.(3)使a带+q，使b带-q：这时b的内表面带-q，外表面不再带电，a、b之间的空间的电场不变，所以电势差也不变，即与(3)的结果相同。(4)使a带-q，将b的外表面接地：这时b的内表面感应了+q，外表面不带电，a、b之间的空间的电场为,方向沿径向由外向内。所以.10-31 两平行的金属平板a和b，相距d = 5.0 mm，两板面积都是s =150 cm2 ，带有等量异号电荷q = 2.6610-8 c，正极板a接地，如图10-27所示。忽略边缘效应，问：图10-27(1) b板的电势为多大？(2)在a、b之间且距a板1.0 mm处的电势为多大？解 (1)可以证明两板之间的电场强度为.于是可以求得b板的电势，为.(2)根据题意，a板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于a、b之间、且到a板的离距为 处，所以该点的电势为.图10-2810-32 三块相互平行的金属平板a、b和c，面积都是200 cm2 ，a、b相距4.0 mm，a、c相距2.0 mm，b、c两板都接地，如图10-28所示。若使a板带正电，电量为3.010-7c，略去边缘效应，求：(1) b、c两板上感应电荷的电量；(2) a板的电势。解 (1) a板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为s1和s2。由于静电感应，b板与a板相对的面上面电荷密度为 -s1，c板与a 板相对的面上面电荷密度为-s2。c板和b板都接地，电势为零。所以,即. (1)式中e1和d1是a、b之间的电场强度和板面间距，e2和d2是a、c之间的电场强度和板面间距。另外. (2)式(1)、(2)两式联立，可以解得,.b板上的电量为,c板上的电量为.(2) a板的电势.10-33 如图10-29所示，空气平板电容器是由两块相距0.5 mm的薄金属片a、b所构成。若将此电容器放在一个金属盒k内，金属盒上、下两壁分别与a、b都相距0.25 mm，电容器的电容变为原来的几倍？图10-29解 设原先电容器的电容为c0，放入金属盒中后，形成了如图10-30所示的电容器的组合。根据题意，有.图10-30ca与cb串联的等效电容为.cab与c0并联的等效电容c就是放入金属盒中后的电容：.可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。10-34 一块长为l、半径为r的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为p，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。图10-31解 以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图10-31所示的坐标系，x轴沿轴线向右。根据公式,圆柱体的右端面(a端面)的极化电荷密度为+s，b端面的极化电荷密度为-s。它们在轴线上任意一点(坐标为x)产生的电势可以套用题10-27的结果。a面上的极化电荷在该点产生的电势为.b面上的极化电荷在该点产生的电势为.该点的电势应为以上两式的叠加，即.10-35 厚度为2.00 mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400 v时，云母片表面的极化电荷密度。解 云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：.云母片表面的极化电荷密度为.10-36 平行板电容器两极板的面积都是s = 3.010-2 m2 ，相距d = 3.0 mm。用电源对电容器充电至电压u0 = 100 v， 然后将电源断开。现将一块厚度为b = 1.0 mm、相对电容率为er = 2.0的电介质，平行地插入电容器中，求：(1)未插入电介质时电容器的电容c0 ；(2)电容器极板上所带的自由电荷q；(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度e1 ；(4)电介质内的电场强度e2 ；(5)两极板之间的电势差u；(6)插入电介质后电容器的电容c。解 (1)未插入电介质时电容器的电容为.(2)电容器极板上所带的自由电荷为.(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为.(4)电介质内的电场强度为.(5)两极板之间的电势差为.(6)插入电介质后电容器的电容为.10-37 半径为r的均匀电介质球，电容率为e，均匀带电，总电量为q。求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)电介质球内极化强度的分布；(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。解 电介质球体均匀带电，电荷体密度为.(1)电介质球内、外电位移的分布球内，即 ：,方向沿径向向外。球外，即 ：,方向沿径向向外。(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布电场强度的分布球内，即 ：,方向沿径向向外。球外，即 ：,方向沿径向向外。电势的分布球内，即 ：.球外，即 ：.(3)电介质球内极化强度的分布球内，即 ：,方向沿径向向外。在球外p = 0。(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量球体表面的极化电荷密度为,极化电荷的总量为.因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为-q。10-38 一个半径为r、电容率为e的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。解 (1)电介质球内、外电位移的分布,方向沿径向向外。无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。(2)电场强度的分布：,方向沿径向向外。：,方向沿径向向外。电势的分布：.：.(3)球体表面极化电荷的密度紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为.电介质球表面上的极化电荷总量为,所以电介质表面的极化电荷密度为.10-39 图10-32中a是相对电容率为er的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为e，其方向与界面法线n的夹角为a，求：(1) a点的电场强度；(2)点a附近的界面上极化电荷密度。解 图10-32(1)求解点a的电场强度可以分别求出点a电场强度的切向分量 和法向分量 ，而这两个分量可以根据边界条件求得。根据电场强度的切向分量的连续性可得.根据电位移矢量的法向分量的连续性可得.点a的电场强度的大小为,电场强度的方向与表面法向n的夹角a满足下面的关系.(2)点a附近的界面上极化电荷密度为.10-40 一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为er1 = 4.0和er 2= 2.0，厚度分别为d1 = 2.0 mm和d2= 3.0 mm，极板面积为s = 5.010-3m2 ，两板间的电势差为u0 = 200 v。(1)求每层电介质中的电场能量密度；(2)求每层电介质中的总电场能；(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。解 (1)两板间的电势差可以表示为,所以.于是可以求得电介质中的电场强度,.电介质中的能量密度为,.(2)第一层电介质中的总电场能为.第二层电介质中的总电场能为.(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为和 .它们串联的等效电容为.电容器中的总能量为.也可以利用上面的结果来计算.两种计算方法所的结果一致。23
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