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海量资源，欢迎共阅 第一章随机事件及其概率 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出 为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S=2 ，3，4， 5，6，7，8，9，10，11，12 （2）S=(x,y)|x 2+y20 2.设 A、B、C 为三个事件，用 A、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生， B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、 B、C 都发生； （4）A、 B、C 都不发生； （5）A、 B、C 不都发生； （6）A、 B、C 至少有一个发生； （7）A、 B、C 不多于一个发生； （8）A、 B、C 至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年 级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则 （1）事件 AB 表示什么？ （2）在什么条件下 ABC=C 成立？ （3）在什么条件下关系式 是正确的？B （4）在什么条件下 成立？A 解所求的事件表示如下 （1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式 是正确的.CB （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时， 成立.AB 4设 P(A)0.7，P( AB)0.3，试求 ()PA 解由于 AB=AAB,P(A)=0.7 所以 海量资源，欢迎共阅 2 P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)=0.3, 所以 P(AB)=0.4,故 =10.4=0.6.()B 5.对事件 A、B 和 C，已知 P(A)=P(B)P(C) ，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)= 求 A、B 、C 中1418 至少有一个发生的概率. 解由于 故 P(ABC)=0,()0,P 则 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) 6.设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A两球颜色相同， B两球颜色不同. 解 由题意，基本事件总数为 ，有利于 A 的事件数为 ，有利于 B 的事件数为2abA 2abA ,1112ababA 则 12()()abaPPB 7.若 10 件产品中有件正品，3 件次品, （1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A=取得三件次品 则 .3 310 106()()272或 者CAPAP （2）设 B=取到三个次品,则 .37() 8.某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人 会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 解设 A=此人会讲英语,B= 此人会讲日语,C= 此人会讲法语 根据题意,可得 (1) 3293()()()100PABCPABC (2) 9.罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： （1） 取到的都是白子的概率； （2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1)设 A=取到的都是白子则 .38124()05CPA (2)设 B=取到两颗白子,一颗黑子 .84312()9B (3)设 C=取三颗子中至少的一颗黑子 .()()075PCA (4)设 D=取到三颗子颜色相同 海量资源，欢迎共阅 .38412()07CPD 10.（1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解 (1)设 A=至少有一个人生日在 7 月 1 日,则 (2)设所求的概率为 P(B) 11.将 C，C ，E ，E，I，N ，S7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解由于两个 C，两个 E 共有 种排法，而基本事件总数为 ，因此有2A7A 12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 解要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 中取法.设 A=4452C 只手套都不配对，则有 13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？1ipi 解设 Ai=第 i 个零件不合格 ，i=1,2,3,则 1()iiPAp 所以 ()1iiPp 由于零件制造相互独立，有： ，123123()()(APA123123()()(APA 14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独 立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解设 A=目标出现在射程内 ，B=射击击中目标 ，B i=第 i 次击中目标,i=1,2. 则 P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式 另外,由于两次射击是独立的,故 P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36 由加法公式 P(B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B 1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)=P(A)P(B1+B2)|A)=0.70.84=0.588 15. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件 次品的概率分别为 0.25,0.2,0.18,0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品， 求该批产品中次品不超过两件的概率. 解设 Ai=一批产品中有 i 件次品 ，i=0,1,2,3,4,B=任取 10 件检查出一件次品 , C=产品中次品不超两件,由题意 由于 A0,A1,A2,A3,A4 构成了一个完备的事件组,由全概率公式 由 Bayes 公式 故 16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为 0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损 海量资源，欢迎共阅 4 坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解设 B=三件都是好的，A 1=损坏 2%,A2=损坏 10%,A1=损坏 90%，则 A1,A2,A3 是 两两互斥,且 A1+A2+A3=,P(A 1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05. 因此有 P(B|A1)=0.983,P(B|A2)=0.903,P(B|A3)=0.13, 由全概率公式 由 Bayes 公式 ,这批货物的损坏率为 2%,10%,90%的概率分别为 由于 P(A1|B)远大于 P(A3|B),P(A2|B),因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2. 17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且 含 0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率 ； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解设 Hi=箱中实际有的次品数, ,A=通过验收0,12i 则 P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05,那么有： (1)由全概率公式 (2)由 Bayes 公式得 18. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的 概率为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？ 解设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是 5 重伯努利试验.由 题意，有 p=0.1,q=1p=0.9,故 (1) 23155()0.1)(9.072PC (2) 234P 第二章随机变量及其分布 1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两 件，求取得次品数 X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示： X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/45 2. 进行某种试验，设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，3414 以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分 布律，并计算 X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为： X 取偶数的概率： 3. 从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取三个为数 .求：123,x Xmax( )的分布律及 P(X4)；,x Ymin( )的分布律及 P(Y3).123 解基本事件总数为： ，3510C (1)X 的分布 律为： P(X4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布 律为 P(X3)=0 4. C 应取何 值，函数 f(k)= ， k1，2，0 成为分布律？! 解由题意, ,即1()kfxX 3 4 5p 0.1 0.3 0.6Y 1 2 3p 0.6 0.3 0.1 6 解得： 1()Ce 5. 已知 X 的分布律 X 1 1 2 P 6236 求：（1）X 的分布函数；（2） ；（3） .2PX312PX 解(1)X 的分布函数为 ()kxFxp ; 0,11/6()2,2Fxx (2) 1()6PX (3) 31()02P 6. 设某运动员投篮投中的概率为 P0.6，求一次投篮时投 中次数 X 的分布函数，并作出其图形. 解 X 的分布函数 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为 p，求： （1）三次射击中恰好命中两次的概率； （2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的 概率是多少？ 解设 A=三次射击中恰好命中两次 ，B=目标被击毁，则 (1)P(A)= 23233()(1)(1)PCpp (2)P(B)= 3323Cp 8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分 布，求： （1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率； F(x) 0 x 1 0.6 1 （2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率. 解 (1)P(X=6)= 或者 640.14!keek P(X=6)= =0.214870.11067=0.1042.4467kk (2)P(X10) =0.99 10440110.284!k kkkee 716 9. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X1)P(X2)，求 P(X4) 解由已知可得， 12,!ee 解得 =2，( =0 不合题意) =0.09 42, !PXe因 此 10.商店订购 1000 瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率 为 0.003，求商店收到的玻璃瓶， （1）恰有两只；（2） 小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解设 X=1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则 X 服从参数为 n=1000,p=0.003 的二项分布，即 XB(1000,0.003),由于 n 比较大，p 比较小，np=3,因此可以 用泊松分布来近似,即 X(3).因此 (1)P(X=2) 230.4!e (2) 32()1()10.8.92!kPXe 8 (3) 3(2)()0.5768!kPXe (4) 31.92!k 11.设连续型随机变量 X 的分布函数为20,0()1,1xFxk 求：（1）系数 k；（2）P(0.25X0.75)；（3）X 的密度 函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间 (0.25，0.75) 内取值的概率. 解(1)由于当 0x 1 时，有 F(x)=P(X x)=P(X0)+P(0Xx)=kx 2 又 F(1)=1,所以 k12=1 因此 k=1. (2)P(0.25X0.75)=F(0.75)F(0.25)=0.7520.252=0.5 (3)X 的密度函数为 (4)由(2) 知，P(0.250.8)= 120.8()0.7xd 如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z90/100)=P(Z0.9)= 120.9().3 14.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单 位小时)都服从同一指数分布，分布密度为 试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子 元件损坏的概率. 解设 X 表示该型号电子元件的寿命，则 X 服从指数分布， 设 A=X200，则 P(A)= 1206031xede 设 Y=三只电子元件在 200 小时内损坏的数量，则所求的 概率为： 15.设 X 为正态随机变量，且 XN(2， )，又 P(2X4)2 =0.3，求 P(X1,h(y)=1y21y 因此有 43,1()0Yyfyother Y 的分布函数为： 43311,1()0, yYydyFother 23.设随机变量 X 的密度函数为 试求 YlnX 的密度函数. 解由于 严格单调，其反函数为 ,则lnyx(),()yyhehe且 24.设随机变量 X 服从 N(, )分布，求 Y 的分布密度.2x 解由于 严格单调，其反函数为 y0,则xe 1()ln,(),且 当 时 ()0Yfy0y 因此 221(ln),0,yef 25.假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y 在区间(0,1)上服从均匀分布.21xe 解 由于 在(0,+) 上单调增函数，其反函数为：2xy()ln(),01,h 并且 ，则当()y01y 12 当 y0 或 y1 时， =0.()Yfy 因此 Y 在区间(0,1)上服从均匀分布. 26.把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次 数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之 差的绝对值，试求（X，Y ）的联合概率分布. 解 根据题意可知,(X,Y) 可能出现的情况有：3 次正面，2 次 正面 1 次反面,1 次正面 2 次反面,3 次反面,对应的 X,Y 的取 值及概率分别为 P(X=3,Y=3)= P(X=2,Y=1)=18 23138C P(X=1,Y=1)= P(X=0,Y=3)= 311328C 1 于是， （X，Y）的联合分布表如下： X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 27.在 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品和 1 件次品， 从 10 件产品中无放回抽取 3 件，用 X 表示其中一级品件 数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与 Y 的联合概率分布； （2）X、Y 的边缘概率分布； （3）X 与 Y 相互独立吗？ 解根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有： 0，1，2，3，由古典概型公式得： (1) 其中,27130(,)ijkij CpPij3,01,2ijki,3j ,可以计算出联合分布表如下k Y X 0 1 2 3 ip: 0 0 0 21/120 35/120 56/120 1 0 14/120 42/120 0 56/120 2 1/120 7/120 0 0 8/120jp: 1/120 21/120 63/120 35/120 (2)X,Y 的边缘分布如上表 (3)由于 P(X=0,Y=0)=0,而 P(X=0)P(Y=0)0,P(X=0,Y=0) P(X=0)P(Y=0),因此 X,Y 不相互独立. 28.袋中有 9 张纸牌，其中两张“2” ，三张“3” ，四张“4” ， 任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数 分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律，以 及概率 P(XY6) 解(1)X,Y 可取的值都为 2,3,4,则(X,Y) 的联合概率分布为： Y X 2 3 4 i p: 2 9/1/36A129/A129/A2/9 3 1233346C1/3 4 429/1249/629/1/4/9jp: 2/9 1/3 4/9 (2) P(X+Y6)=P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) =1/6+1/6+1/6=1/2. 29.设二维连续型随机变量(X,Y) 的联合分布函数为 ,(,)arctnarctn23xyFxyABC 求：（1）系数 A、B 及 C；（2）(X,Y)的联合概率密度； （3）X，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机 变量 X 与 Y 是否独立？ 解(1)由(X,Y)的性质,F(x,- )=0,F(-,y)=0,F(-,-) =0,F(+,+)=1, 可以得到如下方程组： 解得： 21,2ABC 14 (2) 222(,)6(,)(4)9Fxyfxyxy (3)X 与 Y 的边缘分布函数为： X 与 Y 的边缘概率密度为： (4)由(2),(3)可知： ,所以 X，Y 相互独立.(,)()XYfxyfy 30.设二维随机变量(X,Y) 的联合概率密度为 （1）求分布函数 F(x,y)； （2）求(X ，Y) 落在由 x0，y0，xy1 所围成的三 角形区域 G 内的概率. 解(1)当 x0,y0 时， ()0(,)(1)yxuvxyFede 否则，F( x,y)=0. (2)由题意，所求的概率为 31.设随机变量（X，Y ）的联合概率密度为 求：（1）常数 A；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（ 3）(0,)P . 解(1)由联合概率密度的性质，可得 解得 A=12. (2)X,Y 的边缘概率密度分别为： (3) (01,2)Pxy 32.设随机变量（X，Y ）的联合概率密度为 求 P(XY1). 解由题意，所求的概率就是(X,Y) 落入由直线 x=0,x=1,y=0,y=2,x+y=1 围的区域 G 中 ,则 33.设二维随机变量(X,Y) 在图 2.20 所示的区域 G 上服从均 匀分布，试求(X,Y) 的联合概率密度及边缘概率密度. 解由于(X,Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为： ,2112001(,)()6xGAfxyddyxd (X,Y)的联合概率密度为： .6,(,)0fxyother X,Y 的边缘概率密度为： 34.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,0.2)上服 从均匀分布，Y 的概率密度是 求：（1）X 和 Y 和联合概率密度；（2）P(YX). 解由于 X 在(0,0.2)上服从均匀分布，所以 ()1/0.25Xfx (1)由于 X，Y 相互独立，因此 X,Y 的联合密度函数为： (2)由题意，所求的概率是由直线 x=0,x=0.2,y=0,y=x 所围 的区域， 如右图所示，因此 35.设（X，Y）的联合概率密度为 求 X 与 Y 中至少有一个小于 的概率.12 解所求的概率为 36.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 1 1 3 Y 3 1 P P25014 求二维随机变量（X，Y ）的联合分布律. 解由独立性，计算如下表 X Y -1 1 3 j p: -3 1/8 1/20 3/40 1/4 1 3/8 3/20 9/40 3/4ip: 1/2 1/5 6/20 37.设二维随机变量（X，Y ）的联合分布律为 X 1 2 3 Y 1 16918 2 a b c y=x 00.2x y 16 （1）求常数 a，b， c 应满足的条件； （2）设随机变量 X 与 Y 相互独立，求常数 a，b，c. 解由联合分布律的性质，有： ,即 a+b+c=16918abc123 又，X,Y 相互独立，可得 :698abc 从而可以得到： 2,39 38.设二维随机变量（X，Y ）的联合分布函数为 求边缘分布函数 与 ，并判断随机变量 X 与 Y 是()xF()y 否相互独立. 解由题意,边缘分布函数 下面计算 FY(y) 可以看出，F(x,y)=F x(x)FY(y),因此，X，Y 相互独立. 39. 设二维随机变量（X ，Y）的联合分布 函数为 求边缘概率密度 与 ，并判断随机变量 X 与 Y 是()Xfx()Yfy 否相互独立. 解先计算 ,当 x1 时,()Xf ()0Xfx 当 x 1 时 , 1133322yyedx 再计算 ,当 y0,x2yz 求得 220()zyxyded 当 z 0 时，积分区域为：D=(x,y)|x0,y0,x2yz，20()zyxyF 由此,随机变量 Z 的分布函数为 因此,得 Z 的密度函数为： 42. 设随机变量 X 和 Y 独立， X ，Y 服从b，b(b0) 上的均匀分布，求2()N 随机变量 ZXY 的分布密度. 解解法一由题意， 令 则)/,zyatdytyb( 解法二 43. 设 X 服从参数为 的指数分布，Y 服从12 参数为 的指数分布，且 X 与 Y 独立，求 ZXY 的密13 度函数. 解由题设，X ,Y120,()Xxfe130,()xfye 并且，X， Y 相互独立，则 ()ZXYFzfzd 由于 仅在 x0 时有非零值， 仅当 zx0，即 zx()Xfx ( 时有非零值，所以当 z0 时，有 0zx,因此 0 z x y z x y x y y x2y=z x2y=z z x y x y 0 z x y D y y D y 18 44. 设（X，Y）的联合分布律为 X 0 1 2 3 Y 0 0 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15 2 0.02 0.11 0.13 0.12 求：（1）ZX Y 的分布律；（2）Umax（X，Y）的 分布律；（3）Vmin（X，Y ）的分布律. 解(1)X +Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2)=0.12 Z=X+Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5 p 0 0.06 0.19 0.35 0.28 0.12 同理，U=max(X,Y) 的分布如下 U0,1,2,3 U 0 1 2 3 p 0 0.15 0.46 0.39 同理，V=min(X,Y) 的分布分别如下 V0,1,2 V 0 1 2 p 0.28 0.47 0.25 第三章随机变量的数字特征 1. 随机变量 X 的分布列为 X 1 0 1 212 P 3614 求 E(X)，E(X1)，E(X 2) 解 1111362243()0E11123626243()(0)()()() 或者 3EEX 2. 一批零件中有 9 件合格品与三件废品，安装机器时从这 批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取 得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解设取得合格品之前已经取出的废品数为 X,X 的取值为 0,1,2,3,Ak 表示取出废品数为 k 的事件，则有： 3. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为1、0、1，E(X) 0.1，E(X 2)0.9，求 P(X=1)，P(X0)，P(X1). 解根据题意得： 可以解得 P(X1)=0.4,P(X=1)=0.5, P(X=0)=1P(X1)P(X=1)=10.40.5=0.1 4. 设随机变量 X 的密度函数为 求 E(X). 解由题意, ,101()()2()3Exfdxd 5. 设随机变量 X 的密度函数为 求 E(2X)，E( ).2xe 解 0(2)()xEfdd 6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a，b 20 上，求球的体积的数学期望. 解由题意，球的直接 DU(a,b),球的体积 V= 342D 因此， 341()()2baxEVfxdda 7. 设随机变量 X，Y 的密度函数分别为 求 E(XY)，E(2X3Y 2). 解 ()()EE 8. 设随机函数 X 和 Y 相互独立，其密度函数为 求 E(XY). 解由于 XY 相互独立 ,因此有 9. 设随机函数 X 的密度为 求 E(X),D(X). 解 12()()0 xExfdd 10. 设随机函数 X 服从瑞利 (Rayleigh)分布, 其密度函数为 其中 0 是常数，求 E(X)，D(X). 解 2 200()()x xEXxfdede 11. 抛掷 12 颗骰子，求出现的点数之和的 数学期望与方差. 解掷 1 颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X)=E(X2)(E(X)2=35/12 掷 12 颗骰子,每一颗骰子都是相互独立的,因此有： E(X1+X2+X12)=12E(X)=42 D(X1+X2+X12)=D(X1)+D(X2)+D(X12)=12D(X)=35 12. 将 n 只球（1n 号）随机地放进 n 只 盒子（1n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装 入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的 个数，求 E(X),D(X). 解（1）直接求 X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变 量 Xk ,则有：,0k第 只 球 装 入 第 号 盒 子第 只 球 没 装 入 第 号 盒 子 ，X k 服 0-1 分布1nk 因此： 11(0),(),k kPpPXpnn （2） 服从 0-1 分布，则有kjX 故，E(X)=D(X)=1. 我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可 以认定，X 服从参数为 1 的泊松分布. 13. 在长为 l 的线段上任意选取两点，求两 点间距离的数学期望及方差. 解设所取的两点为 X,Y,则 X,Y 为独立同分布的随机变量 ,其 密度函数为 依题意有 D(XY)=E(XY)2)(E(XY)2= 21698ll 14. 设随机变量 X 服从均匀分布，其密度 函数为 求 E(2X2)，D(2X 2). 解 120()6EXxfdx 15. 设随机变量 X 的方差为 2.5，试利用切 比雪夫不等式估计概率 的值. 解由切比雪夫不等式,取 ,得27.5,. .2.5()7.4PXE 16. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.5，如果作 100 次独立试验，设事件 A 发生的次数为 X，试利用切比雪夫不等式估计 X 在 40 到 60 之间取值 的概率 22 解由题意，XB(100，0.5),则 E(X)=np=50,D(X)=npq=25 根据切比雪夫不等式,有 .253104 17. 设连续型随机变量 X 的一切可能值在 区间a ， b内，其密度函数为 ，证明：()fx （1）aE(X)b； （2） .D(X2-a)4 解(1)由题意，aXb,那么 则()(),Exfdxb 由于 1 所以 a()b (2)解法( 一) 即 ,20 xa 又 22()()DXE 解法(二),由于 18. 设二维随机变量（X ，Y）的分布律为 X 0 1 Y 1 0.10.2 2 0.2 0.4 求 E(X)，E(Y)，D(X) ，D(Y)，cov(X,Y)， 及协方差矩XY 阵. 解由题设， E(XY)=000.1+010.2+100.3+110.4=0.4 cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.40.60.7=0.02 协方差矩阵为 19. 设二维随机变量（X ，Y）的分布律为 X 1 0 1 Y 1 1818 0 0 1 1818 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 解由于 1111()()0()0()008888 因此 ,即 X 和 Y 是不相关的.XY 但由于 ,()()(,)16PPXY 因此 X,Y 不是相互独立的 . 20. 设二维随机变量（X ，Y）的密度函数 为 求 E(X)，E(Y)，D(X) ，D(Y)，cov(X,Y)， 及协方差矩XY 阵. 解 2011()(,)()()84Xfxfydxydx 又 22 543XE 同理可得 ,7(),()66YD 协方差矩阵为 21. 已知随机变量(X,Y)服从正态分布，且 E(X)E(Y)=0 ，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)12，求 (X,Y)的密度函数. 解由题意, cov(,)12305XYD 则密度函数为 22. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E(X) E(Y)0，D(X)D(Y) 1，试求 E(XY) 2). 解 222()()()EXYXYE 24 由于 2 22222D(X)=E()E(X)=1,D(Y)E()E(Y)=1 因此有 23. 设随机变量 X 和 Y 的方差分别为 25，36，相关系数为 0.4，试求 D(XY) ，D(XY). 解由题意， D(X+Y)=2(cov(X,Y)+D(X)+D(Y)=24+25+36=85 因为 cov(X,Y)=cov(X,Y)=12 因此 D(XY)=2(cov(X,Y)+D(X)+D(Y)=24+25+36=37. 24. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服 从正态分布 N(0,2)，令 UaXbY，VaXbY，试求 U 和 V 的相关系数. 解由于 X，Y 相互独立，则都服从 N(0,2) 第四章大数定律与中心极限定理 1. 设 Xi，i1，2， ，50 是相互独立的随机变量，且它们 都服从参数为0.02 的泊松分布.记 XX 1X 2+X 50，试利用中心限定理计算 P(X2). 解由题意，E(X i)=D(Xi)=， 501iiX 由中心极限定理随机变量 近似.21nX 服从标准正态分布 所以有 (2)1(2)1()1()0.587PXPX 2. 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 2的时间在使 用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项 分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被 使用的概率. 解设 X 为被使用的终端数,由题意,XB(100,0.02) (1)用二项分布计算 (2)用泊松分布近似计算 因为np=1000.02=2,查表得 0.1353=0.8647.(1)(0)1PX (3)中心极限定近似计算 3. 一个部件包括 10 个部分，每部分的长度是一个随机变量， 它们相互独立，服从同一分布，数学期望为 2mm，均方 差不 0.05mm，规定部件总长度为 200.1mm 时为合格 品，求该部件为合格产品的概率. 解设 Xi 表示一部分的长度,i=1,2,10.由于 X1,X2,X10 相 互独立,且 E(Xi)=2,D(Xi)=0.052,根据独立同分布中心极限定 26 理，随机变量 近似地服从标准正态分布.101(2)(20).58.5kXXn 于是 4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于 它的整数） ，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都 在(-0.5,0.5)上服从均匀分布 . (1)若将 1500 个数相加，试求误差总和的绝对值超过 15 的概率； (2)多少个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概率为 0.05 的概率. 解设 Xi 表示一个加数的误差，则 XiU(-0.5,0.5),E(Xi) =0,D(Xi)=1/12 (1)根据独立同分布中心极限定理，随机变量 近似地服从标准正态分布.于是 因此所求的概率为： 1-P(-15X15)=1-0.8198=0.1802 (2)由题意，设有 n 个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的 概率为 0.90,X=nXi.由独立同分布的中心极限定理，随机变 量 近似地服从标准正态分布.则11()/2niiiXEX =0.90010(0) /2/PPnn 查表得 =1.645,0/12 解得：n=443 即 443 个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概 率为 0.05 的概率 5. 为了确定事件 A 的概率，进行了一系列试验.在 100 次试 验中，事件 A 发生了 36 次，如果取频率 0.36 作为事件 A 的概率 p 的近似值，求误差小于 0.05 的概率. 解(删除) 6. 一个复杂系统由 10000 个相互独立的部件组成，在系统 运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1，又知为使系统正 常运行，至少有 89的部件工作. （1） 求系统的可靠度（系统正常运行的概率） ； （2） 上述系统由 n 个相互独立的部件组成，而且要求至 少有 87的部件工作，才能使系统正常运行，问 n 至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到 97.72？ 解设 X 表示正常工作的部件数，XB(10000,0.9), (1)所求的概率为 ,由于 n 比较大，可以使用(0.891)PX 中心极限定理，由于 ，(90,()(1)90EpDXnp 近似地有，XN(9000,900),则 (2)根据题意,设 X 为正常工作的部件数，则 .,E 根据中心极限定理,近似地有()(1)0.9Dnpn XN(0.9n,0.09n) 查表得 ,n=400,2. 即,n 至少为 400 时,才能保证系统的可靠度达到 97.72%. 7. 某单位有 200 台电话分机，每台分机有 5的时间要使用 外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的， 问该单位总机要安装多少条外线才能以 90以上的概率 保证分机使用外线时不等待？ 解设 X 为某时刻需要使用外线的户数（分机数） ，显然 X(200,0.05)， E(X)=np=10,D(X)=np(n-p)=9.5. 设 k 是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线 的用户能够使用上外线，必须有 kX.根据题意应有： 这里 n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有 XN(10,9.5)： 28 经过查表， ，取 k=1410.29,13.75kk 即至少 14 条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使 用外线的概率大于 95%. 8. 设 n 为 n 重伯努利试验中成功的次数，p 为每次成功的 概率，当 n 充分大时，试用棣莫弗拉普拉斯定律证明 .(|)21nnPppq 式中，pq1； 是标准正态分布的分布函数.x 证明由题意， , ,当 n 很大时， 近()nBp,()nnEDn 似服从正态分布，即 ,或者使用标准化的随机变量：(Nq ,(01)nNpqq 因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 = nn pPpPq 9. 现有一大批种子，其中良种占 ，今在其中任选 4000 粒，14 试问在这些种子中，良种所占比例与 之差小于 1的概 率是多少？ 解设 X 为 4000 粒种子中良种粒数，则所求的概率为： 因为，XB(4000,0.25),由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 10. 一批种子中良种占 ，从中任取 6000 粒，问能以 0.9916 的概率保证其中良种的比例与 相差多少？这时相应的良 种粒数落在哪个范围？ 解设 X 为 6000 粒种子中良种粒数，设所求的差异为 p,则所 求的概率为： 因为，XB(6000,1/6),E(X)=np=1000,D(X)=np(1-p)=2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 因此 60.9525/3p 查表可得 2.7, 解得 5162.570.024p 由于 所以,良种的粒数大约落在区间(926,1074)0.14 之间. 30 第五章数理统计的基本概念 1. 在总体 N(52，63 2)中随机抽取一容量为 36 的样本，求样 本均值 落在 50.8 到 53.8 之间的概率.X 解由题意，由定理 1(1), 52(0,1)/6.3/XNn 50.83.852(50.83.)/./6/PP 2. 在总体 N(80，20 2)中随机抽取一容量为 100 的样本，求 样本均值与总体均值的绝对值大于 3 的概率是多少？ 解这里总体均值为=80, =20,n=100,由定理 1(1) 由题意得： 3. 求总体 N(20，3)的容量分别为 10，15 的两独立样本均值 差的绝对值大于 0.3 的概率. 解由定理 2(1), 12105().86(0,1)3nXYXYXYN 由题意，所求的概率为 4. 设总体 X 的容量为 10 的样本观测值为 4.5，2.0，0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，0，3.5，4.0. 试分别计算样本均值 与样本方差 S2 的值.X 解 1(4.521.53.46.5340).59 5. 样本均值与样本方差的简化计算如下：设样本值 x1，x 2，x n 的平均值为 和样本方差为 ，作变换x2xS ，得到 ，它的平均值为 ，方差为 ，试iiayc12,ny y2y 证： ， .xySc 证明 ,ii iia由 所 以 2211,nniyiiS 6. 对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的样本值为 1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2 310 采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差.即先作变换 ，再计算 与 ，然后利用第 5 题中的公式获得20iiyxy2yS 和 的数值.S 解做变换后，得到的样本值为：-61，- 303，1030，424，20，-91，-185，20，310 7. 某地抽样调查了 1995 年 6 月 30 个工人月工资的数据， 试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经验分布 函数. 440444 556 430380420500430420384 420404424340424412388472360476 376396428444366436364440330426 解最小值 ,最大值 ,故(a,b可取为(329,559,将*130 x*1056x (a,b分为长度为 23 的 10 个区间,列出频数与频率表如下： 序 号 组 (ti- 1,ti), 频 数 频率 序 号 组(t i- 1,ti) 频 数 频率 1 (329,35 2 2 0.067 6 (444,46 7 0 0 2 (352,37 5 3 0.1 7 (467,49 0 2 0.067 3 (375,39 8 5 0.167 8 (490,51 3 1 0.033 4 (398,42 1 5 0.167 9 (513,53 6 0 0 5 (421,44 4 11 0.367 10 (536,55 9 1 0.033 合计：301 由于第 6 组与第 9 组频数为 0，可将其与下一组合并。合 并数据为 8 组，结果如下表： 序 号 组 (ti- 1,ti), 频 数 频率 序 号 组(t i- 1,ti) 频 数 频率 1 (329,35 2 2 0.067 6 (444,49 0 2 0.067 2 (352,37 5 3 0.1 7 (490,51 3 1 0.033 32 3 (375,39 8 5 0.167 8 (513,55 9 1 0.033 4 (398,42 1 5 0.167 5 (421,44 4 11 0.367 合 计 30 1 根据表上数据作出直方图，如下图所示： 再用组中值的频率分布 组 中 间 值 340. 5 363. 5 386. 5 409. 5 432. 5 467 501. 5 534 频 率 0.06 7 0.1 0.16 7 0.16 7 0.36 7 0.06 7 0.03 3 0.03 3 可求出经验分布函数 F30(x). 8. 设 X1，X 2，X 10 为 N（0，0.3 2）的一个样本，求 .0(4)iiP 解由于 Xk 是来自 N(0,0.32)的样本，则 ，0(,1),3kXN k=1,2,10，所以有 服从自由度 n=10 的 2 分布. 210102.3.9kkX 因此 102146.k kPP 查表可知， =15.9870.() 故 0211kX y xO f(x) 329 559 9. 查 分布表求下列各式中 的值：2x （1） 2(8)0.1;P （2） 5 解(1)P( 2(8)=0.99,查表得 ,即20.9(8)1.64 (2)查表得 10. 查 t 分布表求下列各式中 的值： （1） (8)0.95;P （2） t 解(1) 51().,(5)0.,tPt 查表得 2. (2) ()512.95Pttt 11. 查 F 分布表求下列各式的值： （1） 0.95(1,); （2） . 解(1) 0.950.5,/(,)1/3.02.1 (2) .()34F 12. 已知 Xt(n)，求证 X2F(1,n). 证明因为 Xt(n),由定义,存在相互独立的随机变量 T 与 Y，使得 , 其中 ,又因 T 与/TYn2(0,1)()TNYn Y 相互独立，故 T2 与 Y 相互独立， ， ,则2(1)T2() .2/1(,)/XFnn: 13. 设 X1，X 2，X n 是来自 分布的样本，求样本2() 均值 的数学期望和方差. 解由于 ,k=1,2,n,则()k,2kkEXnD 或者 14. 设 X1，X 2，X n 为来自泊松分布 的样本， ， S2 分别为样本均值和样本方差，求 E( )，D( )，X E(S2). 解由于 ,k=1,2,n,则()k(),(kkEXD 15. 设 X1，X 2，X 3，X 4 为来自总体 N(0,1)的样本， ，当 a，b 为何值时， ，2)ab 2()Xn: 34 且自由度 n 是多少？ 解 由于 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立，均服从 N(0,1)正态分布， 因此 则, ，12(0,1)5XN2211 (1)55X ,34 2234340X 即 22134()510X 因此，X 服从 分布，自由度 n=2,并且 .21,50ab 16. 设在总体 中抽取一容量为 16 的样本，这里 均为未知，求：2 （1） ，其中 S2 为样本方差；2(.041)SP （2）D(S 2). 解因 2()(,)(1)nXNn所 以 查表,得 ,因此20.153.78 所以 222(1)()nSDS: 17. 设 X1，X 2，X 16 是来自总体 X 的样本， 和 S2 分别是样本均值和样本方差，求 k 使得()0.95Pk 解因 由定理 1(4) ,即2,N(1)/tnS 由于 ,因此，1()()tnt ,410.95./6XPkS 查 t 分布表(n=15, =0.05),可得，-4k=1.7531 解得 0.38k 18. 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 的样本， 和 S2 分别是样本均值和样本方差，又设 ，X 21(,)nXN 且与 X1，X 2，X n 独立，试求统计量 的抽样分布. 解因为 , ，2(,)1,.kNk21(,)nXN21(,)n 所以 210()0nnn 因而 2,nXU 又 2()(1)SV 因为 U,V 相互独立
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