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某大学期末考试概率论和数理统计试卷解答一、一、一、一、选选选选择择择择题（题（题（题（63分分分分）：1. ,1)|()|(,1)(0,1)(0 =+ BAPBAPBPAP设则（则（则（则（）(A) )()|( APBAP= (B) AB=(C) AB (D) )()()( BPAPABP答案：A ),(/)()|( BPABPBAP= )(1/)()()(1)(/)()|( BPABPBPAPBPBAPBAP +=对,1)|()|( =+BAPBAP去分母得到).()()( BPAPABP=将上式带入选项，显然只有A. 2.设(),22,NX且5.0)40( =XP，则( )=0XP（）(A)0.65 (B)0.45 (C)0.95 (D)0.25答案：D解答: 因为(),22,NX 5.0)40( =XP，由正态分布的对称性知道25.0)0(,25.0)20(,5.0)2( =（） (A) 1)1(lim 1 22 = nkkn Xn (B) 1)1(lim 1 22 = nkkn Xn(C) 1)1(lim 1 2 = nkkn Xn (D) 0)1(lim 1 2 = nkkn Xn答案：B解答 由大数定理有，随机变量)2,1(=kXk相互独立,具有同一分布,有相同的期望,0=kEX ,2=KDX方差那么1)1(lim 1 22 =，有=1成立.答案：1|1|lim 1 = aXnPni in解答：又是记忆类的题目，没有什么技术含量。唉。 由大数定理相关知识，知道依概率收敛的定义，1|1|lim 1 = aXnPni in三、三、三、三、计算题（计算题（计算题（计算题（36分分分分+47分分分分+19分分分分）： 1.设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占94%、3%、2%、1%，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85求这批麦种的发芽率。 若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？ 解：能发芽=B 1,2,3,4i =等品取的是第iAi ,易见的一个划分是4321 , AA -2分 01.0)(,02.0)(03.0)(,94.0)( 4321 = APAPAPAP，85.0)|(,9.0)|(95.0)|(,98.0)|( 4321 = ABPABPABPABP，-4分 由全概率公式，得9754.0)|()()( 41 =i ii ABPAPBP -6分2.离散型随机变量X的分布函数 = 31 317.0 114.0 10)( xxxxxF，求X的分布列。解：由题意知：离散型随机变量X的可能取值是：-1，1，3，-2分 因为离散型随机变量的分布函数=xxii pxF)( ,得-4分 3.03.04.0 311X -6分 3.设随机变量X的概率密度函数为：+= xexf x,21)(求：1)X的概率分布函数， 2)X落在（-10,5）内的概率；解：（1） =x dttfxF )()(当txt edtexFx 2121)(,0 = -2分当txtt edtedtexFx =+= 21121)(,0 00 -4分(2) 101521211)10()15()1510( = eeFFXP -6分 4.设随机变量()YX,的概率密度为() =其他,0 0,10, xyxAxyxf求：1)A； 2) 21,41YXP；3)3)( )YXE。 解：(1) + = 10 3),( x AAdxydxyyxf 3=A(见图(1)-2分 图（1）图（2）(2) 6413)21,41( 4100 = 其它0 0,10)()(),( yxeyfxfyxf y YX -2分 +=+= zyxZ dxdyyxfzYXPzZPzF ),()()()( += += = 11 101 00 11000 zeedxdye zezdxdye zzzxz y zzxz y -5分 = 1101 00)()( 1 zee ze zzFzf zzzZZ -7分6.设随机变量()YX,的概率分布列为 YX 01200.100.2100.10.2 20.200.2求YXYX += ,求和的协方差。 解： 4.03.03.0 210X 6.01.03.0 210Y易知： 81.0 69.0)(5.2 9.13.1,1. 222 2= =DYEXEXDXEY EXEYX同理-3分 )()( )()( )()()( ),( 22222222 2222 EYEXEYEX EYXEYY YXEYXYXYXEECOV = += += 2222 81.069.0 = DYDX -7分 7.设一批产品的次品率为0.5，从中有放回的取出10件，求取出的次品数与5之差小于1的概率.解：)05.0,100()( BX n即-1分75.4)1(,5 = pnpDXnpEX -3分 由中心极限定理，得 1)75.41(2)75.41()75.41( )75.41)1(75.41( )1(6)1()1(4( )64()15( = = = = pnpnpXP pnpnppnpnpXpnpnpP PXP -7分 8.设总体(),1pBX,其中p是未知参数, ),( 54,321 XXX是总体的样本，求：1)样本的联合概率分布列 2)若样本观测值为0，1，0，1，1，求样本均值和样本方差3)求p的极大似然估计。解： （1）() 5,4,32,1,1 =, ipBXi样本的联合分布列： 51;1,0)1()1( )( ),( 515151 151 552211 = = = = = = ixppppxXP xXxXxXP ixnxi xx i ii i ii iii-3分 （2）样本均值：53511 511 = = i ini i XXnX -4分样本方差：256)53(41)(11 25 1212 = = i ini i XXXnS -6分（3）由（1）得：似然函数= = 5151 )()( i ii i xnx pppL -7分对数似然函数)1ln()()ln()(ln 5 151 pxnpxpL i ii i += =对求导并令其为0：0)(111)(ln 5 151 = = i ii i xnpxpdppLd得 =511i ixnp即为p的极大似然估计-9分
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