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第 19 页概率统计练习题一、选择题1. 设是三个随机事件，则事件“不多于一个发生”的对立事件是（B ）A至少有一个发生 . 至少有两个发生 C. 都发生 . 不都发生2如果（ C）成立，则事件与互为对立事件。(其中为样本空间)A . C. . 3设为两个随机事件，则（ D ） A . C. . 4掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ D ）。A . C. . 5设，则=（ A )非标准正态分布 A0.8543 . 0.1457 C. 0.3541 . 0.25436设，则=（ A ）。A0.3094 . 0.1457 C. 0.3541 . 0.2543 7设则随着的增大，（ B ）A增大 . 减小 C. 不变 . 无法确定 8设随机变量的概率密度，则=（ A ）。 A1 . C. -1 . 9设随机变量的概率密度为，则=（ B） A . 1 C. -1 . 10设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为、，则下列选项中正确的是（ A ） A . C. . 11若随机变量，且相互独立。（），则（ B ）。A . C. 不服从正态分布 . 12设的分布函数为，则的分布函数为（ D ） A . C. . 13设随机变量，相互独立，下列结论正确的是（ C） A . C. . 以上都不对14设为随机变量，其方差存在，为任意非零常数，则下列等式中正确的是（A）A . C. . 15设，相互独立，令，则（B ）A . C. . 16对于任意随机变量，若，则（ B ）A . C. 相互独立 . 不相互独立17设总体，其中未知,已知,为一组样本， 下列各项不是统计量的是（ B ）A . C. . 18设总体的数学期望为，是取自于总体的简单随机样本，则统计量（ C ）是的无偏估计量。A . C. . 二、填空题1设为互不相容的随机事件则 0.7 2设有10件产品，其中有2件次品，今从中任取1件为正品的概率是 0.8 3袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中有“6”无“4”的概率为_2/7_ 4设为互不相容的随机事件，则 0.8 5设为独立的随机事件，且则 ？ 相互独立事件（independent events): 事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。互不相容事件：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如AB为不可能事件（AB=），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生 6设随机变量的概率密度 则 0.7 7设离散型随机变量的分布律为，则=_1/3_. 8设随机变量X的分布律为：X123P0.30.20.5则= _0.76_ 9设随机变量的概率密度 则 10设，则= 0.9876 11已知随机变量X的概率密度是，则= _0_ 12设=5, =8,相互独立。则 13 13 设, , ，则 27 ? 三、计算题1某种电子元件的寿命是一个随机变量，其概率密度为 。某系统含有三个这样的电子元件（其工作相互独立），求：（1）在使用150小时内，三个元件都不失效的概率；（2）在使用150小时内，三个元件都失效的概率。解：（1）P 三个元件都不失效 = （2）P 三个元件都失效= 全概率公式；2 有两个口袋。甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球。由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少?全概率公式解：设A“从乙袋中取得白球”， B1“从甲袋中取出的是白球“， B2“从甲袋中取出的是黑球”，由全概率公式得3假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。解：设分别表示第一次、第二次取出的零件是一等品，分别表示所取的零件来自第一箱、第二箱（1） 由全概率公式得 （2） 4 某厂有三台机器生产同一产品，每台机器生产的产品依次占总量的0.3，0.25，0.45，这三台机器生产的产品的次品率依次为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中取到一件次品，问这件次品是第一台机器生产的概率是多少？全概率公式及贝叶斯公式 解：设表示取出的产品是次品，分别表示所取的产品是由第一、二、三台机器生产. 由贝叶斯公式，得所求概率为： 5 甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40，35，25，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取一件，求恰好取到次品的概率是多少？全概率公式解：设表示取出的产品是次品，分别表示所取的产品是由第一、二、三家工厂生产. 由全概率公式，得所求概率为： 6设连续型随机变量的密度为(1)确定常数； (2)求 (3)求分布函数.（4）求解：（1）由 得（2）（3）分布函数 当时， 当时，所以，.（4）7设连续型随机变量的密度函数为求:（1）系数的值 （2）的分布函数 （3）。解：（1）由 得（2）分布函数 当时， 当时， 当时，所以，.（3） 8若随机变量的分布函数为：求：（1）系数；（2）落在区间（-1，1）内的概率；（3）的密度函数。解：（1）由得 解得（2）（3）密度函数记求导微积分9设连续型随机变量的密度为，（1）求的密度； （2）求的期望解：设和的分布函数分别为和，的概率密度为.所以 (2) 设和的分布函数分别为和,的概率密度为.因为，所以确定范围 当时，则；当时， 则 所以 10设某种电子元件的寿命服从指数分布，其概率密度函数为，其中，求随机变量的数学期望和方差。 11设连续型随机变量的概率密度为： 1）求常数；2）设，求的概率密度；3）求 解：（1）由 得（2）设和的分布函数分别为和因为，所以 当时，则；当时， 则 当时，则所以12 设连续型随机变量的概率密度，求。由数学期望的性质与方差的性质13 设随机变量的数学期望，且，求： 解：由数学期望的性质与方差的性质， 由，得，得，又因为，所以. 14 设随机变量和相互独立，且=1，=2，=4，求： （注意：当独立时，才有） 二维随机变量15设二维随机变量的概率密度为求：（1）确定常数C；（2）求边缘概率密度。解：首先画出联合概率密度的非零区域（16-19题同）（1）由， 得（2）16设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，（1） 求边缘密度函数；（2）问与是否独立？（3）求 解：（2）17设二维随机变量的联合分布密度分别求随机变量和随机变量的边缘密度函数。解： 18设二维连续型随机变量的联合密度函数为求（1）、的边缘分布密度；（2）问与是否独立 解：（1） （）当时，联合概率密度为，而，显然，故与不独立19设二维随机变量的概率密度为：求：（1）求、的边缘概率密度；（2）与是否独立？ 解：（1） （2）显然当时，故与不独立矩估计量 20设总体其中是未知参数,是总体的样本。求：(1)若样本观测值为1，1，0，1，0， 求样本均值和样本方差。(2) 的矩估计值。 解：（1）样本均值 样本方差 分母是n-1(2)因为，即0-1分布. 则，用样本均值替换总体均值，得的矩估计值为 21 设总体，已知，为来自总体的简单随机样本，试求参数 的矩估计量与最大似然估计量。解：（1）因为即二项分布，且已知. 则，从而，用样本均值替换总体均值，得的矩估计量为.(2) 因为所以分布律为样本似然函数为： 两边取对数，得两边对p求导，得 令，解得p的最大似然估计值为 则p的最大似然估计量为 .22. 设总体为, 期望,方差,是取自总体的一个样本, 样本均值,样本方差,证明:是参数的无偏估计量23 有一大批袋装食盐。现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值克，样本标准差。求总体均值的置信度为0.95的置信区间。记住下表：设为总体的一个样本，在置信度为下，均值 和方差的置信区间：待估参数样本函数及其分布置信区间均值已知未知方差未知其中，是标准正态分布的上分位数； 是自由度为n-1的t分布的上分位数；分别是自由度为n-1的卡方分布的上分位数和上分位数；，S分别是样本均值，样本方差，样本标准差.解题步骤： （1）确定求什么参数的置信区间，哪一种情形；（2） 由置信度，求出；（3） 确定样本函数及分布；并查表找分位数；（4） 代入上面表格中的置信区间，求出.解：少了一个条件：袋装食盐的重量服从正态分布.是求均值的置信区间，且，则，因为总体方差未知，故选取样本函数，从而应该查t分布上分位数表，将题目中的样本均值，样本方差、样本容量的值代入区间24 设总体，其中参数未知。抽得一组样本，其样本容量，样本均值，求未知参数的置信水平为0.95的置信区间。解：是求均值的置信区间，且，则，因为总体方差已知，故选取样本函数，从而应该查标准正态分布分布函数表，将题目中的样本均值，样本容量，的值代入区间25某工厂生产一种零件，其口径（单位：毫米）服从正态分布，现从某日生产的零件中随机抽出9个，分别测得其口径如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.7（1）计算样本均值 ；（2）已知零件口径的标准差=0.15，求的置信度为0.95的置信区间。解：（1）样本均值（2）是求均值的置信区间，且，则，因为总体方差已知，故选取样本函数，从而应该查标准正态分布分布函数表，将题目中的样本均值，样本容量，的值代入区间26 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差=11（m/s），设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。解：是求标准差的置信区间，且，则，因为总体均值未知，故选取样本函数，从而应该查卡方分布上分位数表，将题目中的样本标准差观察值，样本容量的值代入区间28.某工厂生产的铜丝的折断力（单位为：牛顿）服从正态分布。从某天所生产的铜丝中抽取10根，进行折断力试验，测得其样本均值为572.2,方差为75.7,若未知，是否可以认为这一天生产的铜丝的折断力的标准差是8？（取显著性水平） 解：提出假设 ：，： （双边检验）当成立时，选取检验统计量为，拒绝域为或，其中 由，算得，未落入拒绝域，故接受原假设,即认为这一天生产的钢丝的折断力的标准差仍为8N.
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