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高等数学A三,Tel:66132415,崔洪泉F-608,第九章向量代数与空间解析几何,1向量及其线性运算,一、向量概念,有向线段箭头所指的方向就是向量的方向。,向量：,有大小也有方向的量。,一向量起点M1，终点M2，,M1,M2,则向量可用有向线段,或,表示。,称为,向量的模,零向量：,单位向量：,平行向量：,相等向量：,自由向量：,模为1的向量，,与始点位置无关的向量。,可保持大小、方向不变进行平移。,以下研究的向量均为自由向量。,两向量的方向相同或相反。,且方向一致。,同理可定义多个向量共面。,平行向量也称共线向量。,向量夹角：,s,把其中一向量绕s旋转，使其方向,与另一向量的方向重合，这个旋转,的角度，,显然，,记作,或,若把一条轴u看作向量，,类似可定义向量与轴u的夹角,或空间两轴u1,u2的夹角,空间一点A在轴u上的投影:,过点A作垂直于轴u的平面,则平面与轴u的交点A,称为点A在轴u上的投影。,.A,.A,u,u,.A,.B,记为,上的投影。,取正；,取负。,记作,轴u称为投影轴。,定理1：,u,A.,.B,投影定理,u,与平行四边形法则。,二、向量的线性运算,1.加减法,三角形法则,向量的加法运算满足交换律与结合律。,n个向量的相加可记为,如三个向量的相加,类似方法可以定义两个向量的减法。,2.数乘,(仍是一向量),向量数乘满足结合律与分配律。,三、空间直角坐标系,在平面直角坐标系中，,点M1(x1,y1),M2(x2,y2),平面两点间的距离公式,由三条互相垂直的数轴按右手,规则组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,空间直角坐标系,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,在空间直角坐标系中:,点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),在x轴上的投影为:,在y轴上的投影为:,在z轴上的投影为:,x,y,z,0,M2(x2,y2,z2),M1(x1,y1,z1),坐标。,分向量或投影向量。,数量,向量,方向角。,方向余弦。,方向余弦：,由投影定理，,为方向余弦的坐标表示式。,满足：,利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：,定义了向量的加法和数乘运算后，,可以证明投影定理的推广形式：,定理2：,定理3：,有关向量的一些结论：,(1)向量数乘满足消去律：,(3),例题,例1：,解：,记为,例2：已知两点和,以及实数在直线AB上求点M，使,x,y,z,A,M,B,0,解：,如图所示，,因此,从而,由于,因为,所以,即M点坐标为,定比分点,课外作业,习题91(A),3,5,8,9,11,习题91(B),2,3,一、向量的数量积,向量的数量积与向量积是向量特有的运算,它们并不是凭空想象出来的,而是从物理模型中抽象出来的,有它们各自的实际意义。,例：,力对物体所作的功,2向量的数量积向量积混合积,W=,1.定义,，数量积又称为点积或内积。,的乘积，,数量积。,记作,即,说明：,数量积是一个数量（而不是向量）。,(1),(2),数量积的正负取决于,(3),前例中的功可表示为,2.几何意义,由此又得到,投影公式：,同理，,一个向量的模和另一个向量在这个向,数量积的几何意义：,量方向上的投影的乘积。,3.基本性质及其运算规律,性质：,(1),(2),注：,零向量方向任意,可省略。,(3),基本单位向量的正交性,=1，,=0.,记为,运算规律,交换律,分配律,结合律,注意：数量积运算不满足消去律。,也不一定有,下例就可以说明这种情况：,4.数量积的坐标表示法,由此可得：,=,=,=,=,的三个方向角，,的三个方向角，,显然，,例题,例1.已知,求向量,与,的夹角。,解：,例2.应用向量证明不等式：,的条件。,证：,即：,并指出等号成立,当且仅当,时等号成立。,即,课外作业,习题92(A),1,3,4,习题92(B),5,8,11,二、向量的向量积,向量积是两个向量的又一种乘积，也是,向量特有的运算,也有其物理模型：,设O为杠杆L的支点，,L,P点，,P,O,H,的大小的乘积。,在实际中是非常有用的。,即右手四指从OP握向F时,大拇指的指向为,这样由两个向量来确定另一个向量的法则,1、定义,(1),(2),向量积，,记作,向量积又称为叉积或外积。,按“右手法则”垂直于所在平面的,单位向量。,2、几何意义,(1),向量积,平行四边形的面积。,显然，,(2),按“右手法则”垂直于所在平面，,则必有：,(3),3、性质与运算规律,性质：,(1),=0,(2),零向量方向任意,可省略。,(3)基本单位向量的向量积,运算规律：,(1),不满足交换律,(2),满足分配律,(3),满足结合律,满足反交换律,注：向量的向量积不满足消去律,例如，,但,4、向量积的坐标表示法,补充：有关行列式的计算,法1：,法2：,行列式的有关性质：,_,例题,例1:,(4)以a,b为邻边的平行四边形的面积S。,解：,(1),10-1,-1-21,(2),(3),(4),求此三角形的面积,AB上的高及A的正弦。,例2:,已知三角形ABC的顶点坐标为,A(1,2,0),B(3,0,-3),C(5,2,6)，,解：,？,求AB上的高及A的正弦。,AB上的高h,h,=14，,例3：,解：,例4：,求证：A,B,D共线。,证：,分析：,即A,B,D共线。,思考题,4.向量0,0,5与2,0,10是否共线？,否,否,否,否,否,是,三、向量的混合积,1.定义,所得数量称为,混合积，,或数量三重积，记作,2.坐标表示式,3.几何意义,为棱的平行六面体的体积。,h=,一般地，有,定理1：三个向量中如果有一个为零向量，或者有两个共线，或者三个共面，则其混合积必为零；反之亦然。,定理2：假定三个非零向量中任何两个都不共线，则其共面的充要条件是它们的混合积为零。,4.混合积的性质,(1),(2),(3),(4),(5),轮换对称性,例：已知不在一平面上的四点,求四面体ABCD的体积。,解：,所以有,上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。,课外作业,习题92(A),6,9,13,习题92(B),2,9,10,13,3.平面及其方程,一.平面的点法式方程,法向量：,由立体几何知识可知：,过一点可作且只能作一张平面垂直于一,已知直线。,若一非零向量垂直一平面，则称,该向量为这平面的法线向量。,所以已知一点与一法向量（直线）就可唯一确定一平面。,注意：法向量不唯一,简称法向量。,作向量,已知平面上一点M0(x0,y0,z0)及,平面的法向量,建立的方程。,.M0,在平面上任取一点M(x,y,z),M.,显然，,=0，,即有,平面的点法式方程,例：一平面过点M(1,0,-1)且平行于向量,试求这个,解：,所以所求平面方程为：,即,平面方程。,二.平面的一般式方程,由平面的点法式方程的展开式可得:,其中A，B，C不同时为零,任一平面都可用点法式方程来表示，,反之,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,程称为平面的一般式方程.,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程(*)与此点法式方程等价,的平面,此方,因此方程(*),的图形是法向量为,任意一个三元一次方程都表示一个平面。,反之,设有三元一次方程,(*),例：求过三点,的平面方程。,解一：,设所求平面方程为,则,所以,即,解二：,所以所求平面方程为：,即,先求平面的法向量,此平面的方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程可表示为,说明:,平面一般式方程的几种特殊情形：,若D=0，,表示一通过原点的平面。,现在考虑A，B，C，D中有一些为零的情形：,若C=0，,表示一平行于z轴的平面,同理，,B=0,A=0,若A=B=0，,表示一平行于xoy平面的平面。,同理，,/yoz平面,/xoz平面,若B=C=0，,若A=C=0，,平面过x轴，,若A=D=0，,若B=D=0，,平面过y轴，,若C=D=0，,平面过z轴，,若A=B=D=0，,同理，,若A=C=D=0，,若B=C=D=0，,归纳起来，得：,（1）在平面的一般方程中，如果常数项不是零，且缺一个变量，则平面一定平行于该变量所对应的坐标轴；如果缺两个变量，则平面一定平行于该两个变量所对应的坐标面。,（2）在平面的一般方程中，如果常数项是零，且缺一个变量，则平面一定过该变量所对应的坐标轴；如果缺两个变量，则平面一定是这两个变量所对应的坐标面。,例：已知一平面平行于x轴且经过两点,解：,设所求平面方程为：,则,所以,即,因为平面经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)，,(4,0,-2)和(5,1,7)，求此平面方程。,例：求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程。,解：,设所求平面方程为,则,所以,则,所以所求平面方程为,因为平面通过点(4,-3,-1)，,平面的截距式方程,设一平面与x,y,z三轴分别交于,求此平面方程。,a,b,c,分别将三点代入平面一般式方程,平面的截距式方程,其中a,b,c分别称为平面在x,y,z轴上的截距。,注意：,过原点或平行于坐标面的平面无截,距式方程形式。,例题,例：,解一：,设平面上一点,则三向量共面，,即为所求方程。,xyz,111,24-3,解二：,为平面上两向量，,则平面上法向量,即为所求方程。,三、有关平面的一些问题,1.两平面的夹角,两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。,（通常指锐角，包括零度角或直角）,例：求平面,与xoy坐标面的夹角。,解：,所以所求夹角的余弦为,所以,两平面的位置关系：,但不重合。,例：一平面通过两点,与,且垂直于平面,，求它的方程。,解：,设所求平面的方程为,过点,所以,又与已知平面垂直，,而已知平面的,所以,即,由(1),(2)得,所以,即,例：求过点,且与平面,平行的平面方程。,解：,设所求平面的法向量为,因为与已知平面平行，,取,则,则所求平面方程为,即,2.点到平面的距离,课外作业,习题93(A),3,6,8(1,2),11(2,3),习题93(B),3,4,6,
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