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第四节圆的方程,1圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中为圆心，r为半径(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)其中圆心为，半径为.,(a，b),温馨提示：圆的标准方程和一般方程都含有三个参量，因此三个独立条件可以确定一个圆圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项以上两点是二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的必要条件，但不是充分条件,(3)圆的参数方程：(为参数)其中为圆心，为半径,(a，b),r,2圆的方程的求法若已知条件与圆心、半径有关，可先求出圆心、半径，用圆的标准方程求解；若已知条件牵涉到圆过几个点，常用圆的一般方程形式；若所求的圆过已知两圆的交点，则可考虑将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程的形式,3点与圆的位置关系点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的距离跟半径r的大小关系的比较来判断(1)点P(x0，y0)与M：(xa)2(yb)2r2的位置关系有：(x0a)2(y0b)2,(2)点P(x0，y0)与M：x2y2DxEyF0的位置关系由f(x0，y0)Dx0Ey0F的值来确定，即f(x0，y0),1过点A(1，1)、B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24答案：C,2已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x4y40相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y22x30Dx2y24x0答案：D,3设P为圆x2y21上的动点，则动点P到直线3x4y100距离的最小值为_答案：1,4圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_答案：(x2)2(y3)25,5根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上；(2)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.,(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.,求圆的方程例1求圆心在直线y4x，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程,解法二设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.,已知圆C与圆C1：x2y22x0相外切，并且与直线l：x0相切于点P(3，)，求圆C的方程,与圆有关的轨迹问题例2如图2所示，圆O1和O2的半径都等于1，O1O24，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PMPN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程,解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图3所示的坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)由已知PMPN，PM22PN2.又两圆的半径均为1，设P(x，y)则(x2)2y212(x2)2y21，即x2y212x30.所求动点P的轨迹方程为x2y212x30.,拓展提升高考中有可能对圆的方程进行考查，但一般不单独考查，有可能考查直线与圆的位置关系问题，有可能与距离、最值和轨迹等问题进行综合考查本题源于：“平面内动点到两定点距离之比为定值，求动点的轨迹”问题涉及到通过解直角三角形求圆的切线长等问题,(2009济宁一模)已知一动圆截直线3xy0所得弦长为8，截直线3xy0的弦长为4，求动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的圆心为(x，y)，半径为r，则由几何图形得消去r，得xy10.所以动圆圆心的轨迹方程为xy10.,与圆有关的最值问题例3(2009全国卷)已知AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_分析四边形ABCD的两条对角线互相垂直，其面积是对角线长度乘积的一半，图4根据圆的弦的性质建立面积表达式,答案5,拓展提升本题是综合圆的方程、圆的弦的性质、弦心距和弦长以及圆半径的关系、对角线互相垂直的四边形的面积、基本不等式等知识点，命制的一道以能力考查为主的试题考生必须对基础知识掌握的非常全面，并且具备一定的分析问题、解决问题的能力，才有可能正确地解答本题,已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆上任意一点，求：(1)的最大值与最小值；(2)x2y的最大值和最小值,圆的综合问题例4在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论,解(1)显然b0，否则，二次函数f(x)x22xb的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(2,0)，这与题设不符由b0知，二次函数f(x)x22xb的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x22xb0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式44b0，即b1.所以，b的取值范围是(，0)(0,1),1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因为需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值,2求圆的方程的一般步骤：(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程)；(2)根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；(3)解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程,
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