现代科学工程计算基础复习题-电气.pdf

1 现代科学工程计算基础复习提纲 一、主要内容 第二章非线性方程求根 1概念及基本定理 (l)非线性方程 f(x)=0根的存在性及唯一性条件 (2)简单迭代法局部收敛的定义和判定 2方法 (单根 ) (l)基本二分法求根 (2)简单迭代法及其加速方法求根 (3)Newton迭代法求根 第三章线性方程组求解 (直接法 ) 1基本定理 (1)线性方程组的解的存在唯一性 (2)LU分解的条件 (3)Gauss消元法 (顺序，列主 )的条件 2方法 (1)Gauss消元法 (顺序，列主 )的计算 (2)Gauss-Jordan消元法的计算 (3)矩阵 LU分解方法的计算 第四章迭代法 (线性方程组 ) 1概念及基本定理 (1)矩阵的不可约定义 (2)迭代法收敛性判定的充分必要条件 (3)迭代法收敛性判定的充分条件 2方法 (l)Jacobi迭代法的计算 (2)Gauss-Seidel迭代法的计算 第六章插值法与曲线拟合 1概念及基本性质 (1)一元代致插值问题；插值结点与插值点；基函数与插值多项式；插值条件；插值问题 (2)Lagrange插值基函数 (3)Lagrange插值多项式 (4)均差与均差表 (5)Newton均差值多项式 2方法 (1)Lagrange插值方法 (2)Newton均差插值方法 (3)Hermite插值方法 第七章数值积分 1概念 (1)数值求积公式 (2)插值型求积公式 (3)数值求积公式的代数精度 2方法 (l)复化求积 (定步长 )方法 (2)确 定代数精度的方法 情形 一 ：己知 数值求积公式 确 定其代数精度 情形 二 ：所给 数值求积公式 中 求积 系 数 为未知 ， 试确 定求积和 系 数及公式的代数精度 情形 三 ：所给 求积公式 中 结点 为未知 ， 试确 定结点及公式的代数精度 第 八 章 初 值问题的数值方法 1概念 (1)初 值问题数值解与数值解法 2公式与方法 (1)Euler公式 (显 式 ) (2)梯形 公式与 改进 的 Euler公式 (3)Euler公式与 改进 Euler公式的计算 二、注意事项 1注意带计算器 ,考试需要一张演草纸 2考试时，试卷上每个题尽量作 ,不要留空白 3上述重点题目注重解题方法 4考试只能带教材，有关资料可以写在书上某些地方当作上课笔记 注意：考场上只允许带教材和手写笔记，不能带入其他复印资料 2 现代科学工程计算基础复习题 1求方程 3 310 xx -+=在区间 1,2内的一个实根 ,要求精确到 2位小数 . 2给定方程 3 310 xx -= (1)证明该方程在 1,2内有唯一根； (2)用二分法求此根 ,若要误差不超过 10 -3 ,问要二分多少次？ (3)取初值 x 0 =1.4,用 Newton迭代计算两步 . 3用列主元素消元法解下列方程组 1 2 3 0341 1112 2123 x x x -= . 4给定线性方程租 Ax=b, 其中 1233 234,4 3466 Ab = (1)用列主元素消元法解此方程组； (2)给出矩阵 A的 Doolittle分解 (LU分解 ). 5设 Ax=b,其中 2102 121,3 0125 AB - =-= - (1)任选一种矩阵分解方法分解 A. (2)试写出求解该方程组的收敛的 Jacobi迭代式和 Gauss-seidel迭代式 ,并 选取 合适 的初值 x (0) ,迭代一次求 x (1) . 6 考虑 线性方程组 Ax=b,其中 2102 132, 5 0238 Ab = (1)试用 Gauss消元法解此方程组 ,并 给出 A的 LU分解 . (2)试 判断 用 Jacobi迭代和 Gauss-seidel迭代解此方程组收敛 与否 ？ 说 明 理由 . 7 考察 方程组 1 2 3 1224 1115 2211 x x x - = 的 Jacobi迭代和 Gauss-seidel迭代的收敛性 . 8设 函 数 1 2 () fxx = , 在 x=49, 64, 81三点处 的值容 易 求 得，是以这三点建立 该 函 数的二次 插 值多项式 ，并由 此多项式计算 1 2 (8.5) 的 近似 值 . 9 已知三 次多项式 P 3 (x)的数 据如 下 : xi -1 0 1 2 P 3 (xi ) -3 -1 -1 3 3 (1)求 P 3 (x),并 证明 P 3 (x)=0在 1,2内 只 有一个根 . (2)取 x 0 =1.4,用 牛顿 迭代计算 这 个根 (迭代 三 次 ). 10确定一个 3次多项式 P 3 (x),使得 3333 (0)(0)0,(1)1,(2)4 PPPP =-= ,并 计算 P 3 (1.7). 11求 最 小二 乘 法解超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy += -= += += . 12 已知 一组数 据 : x -2 -1 0 1 2 y 0 1 2 1 0 试分 别 用一次多项式、二次多项式 及最 小二 乘原理拟合这 组数 据 . 13设数值求 积公 式 1 010 0 11 ()2()()() 36 fxdxfxfxfx + , 试确定 结点 x 0 , x 1 使 求 积公 式的代数精 尽量高 . 14确定下列求 积公 式中的 待 定 参 数 A 0 , A 1 , A 2 ,使 其代数精 尽量高 ,并 给出其代数精 度 . 1 012 0 ()(0)(1)(0) fxdxAfAfAf + . 15 Dawson积 分 是 一个 积 分 上限函 数 22 0 () x xt fxeedt - = , (1)试 将 求 f(x)的值 转化为 求一 阶微 分方程初值问题 . (2)用 改进 Euler公 式计算 f(0.1)的 近似 值 (取步 长 h=0.1). 16 就 初值问题 y =2x+1, y(0)=0导 出 Euler方法和 改进 Euler方法的 近似 解 表达 式 ,并与 其 准 确解 y =x 2 +x相比 较 17设一 物体作直 线 运动， 在 最 初 12秒 内 记录 其 速度如 下 表 t(秒 ) 0 3 6 9 12 V(米 /秒 ) 75 77 80 82 84.5 (1)建立速度 V和 时 间 之 间 t的 直 线 拟合关系。 (2)设 S(0)=0， 试用两种复 化 求 积公 式计算该 物体 在 t=12秒时 的 路 程； (3)建立 一 阶微 分方程初值问题 ， 用 改进 的 Euler公 式计算 t=3秒时 的 路 程 (设 h=3). 4 现代科学工程计算基础复习题 参考 解 答 1求方程 3 310 xx -+=在区间 1,2内的一个实根 ,要求精确到 2位小数 . 解 ： (1)二分法求解 . 根 据 题设 3 1 10,1 2 ba e - =-= ,则 2 1 11 1021007 22 k k k - + ,列 表 计算 k a b c=(a+b)/2 f(a) f(b) f(c) 0.000 1.000 2.000 1.500 -1.000 3.000 -0.125 1.000 1.500 2.000 1.750 -0.125 3.000 1.109 2.000 1.500 1.750 1.625 -0.125 1.109 0.416 3.000 1.500 1.625 1.563 -0.125 0.416 0.127 4.000 1.500 1.563 1.531 -0.125 0.127 -0.003 5.000 1.531 1.563 1.547 -0.003 0.127 0.061 6.000 1.531 1.547 1.539 -0.003 0.061 0.028 7.000 1.531 1.539 1.535 -0.003 0.028 0.012 所以 x * x 7 =1.54 (2)简单 迭代法求解 . 方程 3 310 xx -+=变形为 3 31() xxx j =-= , 那么 3 ()31 xx j=- ， 取初值 x 0 =1.5 由 于 2 3 0 ()3.51 x j - = , 二分 9次 即可 . (3) 根 据 Newton迭代 公 式 1 () () n nn n fx xx fx + =- 可得递推 公 式 33 11 22 3121 333(1) nnn nnn nn xxx xxx xx + -+ =-= - 或 取 x 0 =1.4, x 1 =2.6,x 2 =2.15, 所以 x * x 2 =2.15 3用列主元素消元法解下列方程组 1 2 3 0341 1112 2123 x x x -= . 解 :用列主元素消元法解方程组 03411232123 111 2111 201.50 0.5 21230341041 212321231007/6 04 1034 1010 1/3 01.500.500210011/2 2 3 3 - - - , 所以 7/6 1/3 1/2 X =- 4给定线性方程租 Ax=b, 其中 1233 234,4 3466 Ab = (1)用列主元素消元法解此方程组； (2)给出矩阵 A的 Doolittle分解 (LU分解 ). 解 :(1)用列主元素消元法解 6 12334663466 234 4234 401/30 0 3466123302/311 346634661000 01 102/31 1010 0 01/300001/21/2 3 2/3 0011 - (2)矩阵 A的 Doolittle分解 (LU分解 ),设 111213 212223 313233 1231 2341 3461 uuu luu llu = ,对 比 元素计算 可 得 1123 21,12 3211 LU =- 5设 Ax=b,其中 2102 121,3 0125 AB - =-= - (1)任选一种矩阵分解方法分解 A. (2)试写出求解该方程组的收敛的 Jacobi迭代式和 Gauss-seidel迭代式 ,并 选取 合适 的初值 x (0) ,迭代一次求 x (1) . 解 :(1)矩阵 A的 Doolittle分解 (LU分解 ),设 111213 212223 313233 2101 1211 0121 uuu luu llu - -= - ,对 比 元素计算 可 得 1210 1/21,3/21 02/314/3 LU - =-=- - (2)由 于 矩阵 A满足 不 可约弱对角占优 ,所以 对 任意初 始 x (0) , 由 A形 成 的 Jacobi迭代式和 Gauss-seidel迭代式 都 收敛 .Jacobi迭代式 为 (1)() 12 (1)()() 213 (1)() 32 1 1 2 113 222 15 22 kk kkk kk xx xxx xx + + + =+ =+ =+ , 取 x (0) =(0,0,0) T , 代 入 计算 x (1) =(1,1.5,2.5) T . Gauss-seidel迭代式 为 7 (1)() 12 (1)(1)() 213 (1)(1) 32 1 1 2 113 222 15 22 kk kkk kk xx xxx xx + + + =+ =+ =+ , 取 x (0) =(0,0,0) T , 代 入 计算 x (1) =(1,2,3.5) T . 6 考虑 线性方程组 Ax=b,其中 2102 132, 5 0238 Ab = (1)试用 Gauss消元法解此方程组 ,并 给出 A的 LU分解 . (2)试 判断 用 Jacobi迭代和 Gauss-seidel迭代解此方程组收敛 与否 ？ 说 明 理由 . 解 :(1)用 Gauss消元法解 21 32 31 21022102210210011/7 1/2 132 502.52 40.802.52 4010 8/7 0 02380238001.44.800124/7 l l l = =- = uuuuuuux uuuuuuuux 所以 11/7 8/7 24/7 X =- ,同 时得 到 2101210 1320.5102.52 02300.81001.4 = (2)由 于 矩阵 A满足 不 可约弱对角占优 ,所以 对 任意初 始 x (0) , 由 A形 成 的 Jacobi迭代式和 Gauss-seidel迭代式 都 收敛 . 7 考察 下列方程组的 Jacobi迭代和 Gauss-seidel迭代的收敛性 . 1 2 3 1224 1115 2211 x x x - = 解： Jacobi迭代 (1)() 0224 1015 2201 nn XX + - =-+ - 计算 022 101 220 J G - =- - 的 特征 值 ： 3 0 l = ,于 是 ()01 J G r = ， Gauss-seidel迭代 发散 . 8设 函 数 1 2 () fxx = , 在 x=49, 64, 81三点处 的值容 易 求 得，是以这三点建立 该 函 数的二次 插 值多项式 ，并由 此多项式计算 1 2 (8.5) 的 近似 值 . 解 ： 计算 Newton相 邻 差 商 表如 下 x f(x) 一 阶 差 商 二 阶 差 商 49 7 64 8 0.06667 81 9 0.05882 -0.00025 所以 二次多项式 2 ()70.06667(49)0.00025(49)(64) pxxxx =+- 2 (8.5)3.75 p , 而 1 2 (8.5)2.92 = ， 误差 为 0.83. 9 已知三 次多项式 P 3 (x)的数 据如 下 : xi -1 0 1 2 P 3 (xi ) -3 -1 -1 3 (1)求 P 3 (x),并 证明 P 3 (x)=0在 1,2内 只 有一个根 . (2)取 x 0 =1.4,用 牛顿 迭代计算 这 个根 (迭代 三 次 ). 解 :(1)计算 Newton差 商 表如 下 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 -1 -3 0 -1 2 1 -1 0 -1 2 3 4 2 1 所以 Newton三 次多项式 32 3 ()32(1)(1)(1)(1)1 pxxxxxxxxx =-+-+-=- 因 为 在 1,2内 ()(32)0 fxxx =- ,函 数 为 增 函 数 .又因 为 f(1)=-10,所以函 数 f(x)在 1,2内有唯 一实根 . (2) Newton迭代 为 3232 122 121 3232 kkkk kk kkkk xxxx xx xxxx + -+ =-= - , 取 x 0 =1.4, x 1 =1.47012987,x 2 =1.465591205,x 2 =1.465571232, 所以 x * x3=1.4656 10确定一个 3次多项式 P 3 (x),使得 3333 (0)(0)0,(1)1,(2)4 PPPP =-= ,并 计算 P 3 (1.7). 解 :(1)计算 Newton相 邻 差 商 表如 下 x f(x) 一阶差商 二阶差商 9 0 0 1 -1 -1 2 4 5 3 所以 二次多项式 2 2 ()3(1)34 pxxxxxx =-+-=- (2)求 四 次 插 值多项式 P 3 (x).令 323332 ()()()()()() pxpxQxQxpxpx =+=-, 332 ()()()0, 0,1,2 iii Qxpxpxi =-= Q ,假 设 3 ()(1)(2) Qxaxxx =- 再利 用 导 数 条件 3 (0)(0)0 pf = , 2 3 ()34(1)(2) pxxxaxxx =-+- 3 ()64(1)(2)(2)(1) pxxaxxaxxaxx =-+-+-+- 4(1)(2)02 aa -+-= 2 3 ()342(1)(2) pxxxxxx =-+- 11求 最 小二 乘 法解超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy += -= += += . 解 :方程组写 成 2411 353 126 217 x AXb y - = , 对应 法方程组 TT AAXAb = 为 18351 34648 x y - = - , 该法方程组的解 为所以 3.04 1.24 x y = 12 已知 一组数 据 : x -2 -1 0 1 2 y 0 1 2 1 0 试分 别 用一次多项式、二次多项式 及最 小二 乘原理拟合这 组数 据 . 解 :(1)设 yabx =+ ,用 最 小二 乘原理拟合 等价于 求方程组 120 111 102 111 120 a AXB b - - = , 对应 法方程组 TT AAXAB = 为 504 0100 a b = , 该法方程组的解 为所以 0.8 0 a b = 所以 所 求 函 数 为 0.8 y = 10 (2)设 2 yabxcx =+, 用最 小二 乘原理拟合 等价于 求方程组 1240 1111 1002 1111 1240 a AXBb c - - = , 对应 法方程组 TT AAXAB = 为 50104 01000 100342 a b c = , 该法方程组的解 为所以 1.656 0 0.429 a b c = - 所以 所 求 函 数 为 2 1.6560.429 yx =- 13设数值求 积公 式 1 010 0 11 ()2()()() 36 fxdxfxfxfx + , 试确定 结点 x 0 , x 1 使 求 积公 式的代数精 尽量高 . 解 :令 2 (), fxxx = 分 别得 到 01 0 0 22 1 010 1 1 21 0 , 2 1 21 0 xx x x x xxx x += = = = += = 从而 1 0 11 ()2(0)(1)(0) 36 fxdxfff -+ 或者 1 0 1111 ()2()(0)() 3262 fxdxfff -+ . 再令 3 () fxx = ,上 述 两个式 子都 不 成 立 ,所以 确定的求 积公 式的的代数精 度是 2. 14确定下列求 积公 式中的 待 定 参 数 A 0 , A 1 , A 2 ,使 其代数精 尽量高 ,并 给出其代数精 度 . 1 012 0 ()(0)(1)(0) fxdxAfAfAf + . 解 :令 2 ()1, fxxx = 分 别得 到 010 1 121 0 12 12/3 11 1/21/3()2(0)(1)(0) 32 1/31/6 AAA AAAfxdxfff AA += +=+ = 再令 3 () fxx = ,上 述 两个式 子都 不 成 立 ,所以 确定的求 积公 式的的代数精 度是 2. 15 Dawson积 分 是 一个 积 分 上限函 数 22 0 () x xt fxeedt - = , (1)试 将 求 f(x)的值 转化为 求一 阶微 分方程初值问题 . (2)用 改进 Euler公 式计算 f(0.1)的 近似 值 (取步 长 h=0.1). 解 :(1)建立微 分方程初值问题 12 (0)0 yxy y =- = . 11 (2)用 改进 Euler公 式 112 1 21 () 2 12 12(12) nn nn nnnn h yykk kxy kxyhxy + + =+ =- =-+- , 1 2 1012 1 120.10.10.98 (0.1)() 2 0.10.990.099 k k h fyykk = =-= =+ = 16 就 初值问题 y =2x+1, y(0)=0导 出 Euler方法和 改进 Euler方法 近似 解 表达 式 ,并与 其 准 确解 y =x 2 +x相比较 解 :Euler公 式 2 111 (21)2(1) nnnn yyhxynhh - =+=+-+ 2 (1) n ynnhnh =-+ 2 ()(1) nnnnnn yxxhxxhx =-+=+- 与其准确解 2 yxx =+ 代 入 2 nnn yxx =+ 比较 误差 为 2 n hxnh = . 改进 Euler公 式 112 2 111 2 () 2 212(1)1(21) 2121 nn nnn n h yykk kxnhyynhh kxnh - - =+ =+=-+=+-+ =+=+ 22 n ynhnh =+ 2 nnn yxx =+ 与 其 准 确解 2 yxx =+ 代 入 2 nnn yxx =+ 比较 误差 为 0. 17设一 物体作直 线 运动， 在 最 初 12秒 内 记录 其 速度如 下 表 t(秒 ) 0 3 6 9 12 V(米 /秒 ) 75 77 80 82 84.5 (1)建立速度 V和 时 间 之 间 t的 直 线 拟合关系。 (2)设 S(0)=0， 试用两种复 化 求 积公 式计算该 物体 在 t=12秒时 的 路 程； (3)建立 一 阶微 分方程初值问题 ， 用 改进 的 Euler公 式计算 t=3秒时 的 路 程 (设 h=3). 解 ： (1)设 V=a+bt， 74.9 0.8 a b = (2)设 S(0)=0， 求该 物体 在 t=12秒时 的 路 程 ， 利 用复 化 梯 形 求 积公 式计算 如 下 04123 2()956.25 2 h Tvvvvv =+= 利 用复 化 辛普生 求 积公 式计算 如 下 04132 6 4()2955.5 6 Svvvvv =+= (3)由 () ds vt dt = 建立微 分方程初值问题 74.90.8 (0)0 ds t dt s =+ = ，用 改进 的 Euler公 式 为 11 () 2 nnnn h ssvv + =+ 代入 计算 1001 3 (3)()0(7577)228 22 h sssvv =+=+=m