时间序列第章习题解答.pdf

时间序列 习题 解答 第 2 章习题（王燕） 5. 下表数据是某公司在 2000-2003 年期间每月的销售量。 月份 2000年 2001年 2002年 2003年 1月 153 134 145 117 2月 187 175 203 178 3月 234 243 189 149 4月 212 227 214 178 5月 300 298 295 248 6月 221 256 220 202 7月 201 237 231 162 8月 175 165 174 135 9月 123 124 119 120 10月 104 106 85 96 11月 85 87 67 90 12月 78 74 75 63 (1) 绘制该序列时序图和样本自相关图； (2) 判断该系列的平稳性； (3) 判断该系列的纯随机性。 解 (1) 序列的时序图和样本自相关图 0 50 100 150 200 250 300 350 Jan -00 Ma r-00 Ma y-00 Jul -00 Se p-00 No v-00 Jan -01 Ma r-01 Ma y-01 Jul -01 Se p-01 No v-01 Jan -02 Ma r-02 Ma y-02 Jul -02 Se p-02 No v-02 Jan -03 Ma r-03 Ma y-03 Jul -03 Se p-03 Nov -03 销售量时序图 自相关系数如下： 延迟 1 2 3 4 5 6 7 8 自相关系数 0.7395 0.4570 0.0812 -0.3201 -0.6188 -0.7210 -0.6293 -0.3396 延迟 9 10 11 12 13 14 15 16 自相关系数 0.0114 0.3337 0.5797 0.7309 0.5669 0.3492 0.0465 -0.2448 延迟 17 18 19 20 21 22 23 24 自相关系数 -0.4794 -0.5339 -0.4795 -0.2703 -0.0383 0.1562 0.3508 0.4313 (2) 判断该系列的平稳性 从时序图看，该时序具有明显的周期性，故该时序是不平稳的。从样本自相关图可见， 该时序的样本自相关呈周期性，且并没有快速衰减趋于 0，故该时序是不平稳的。 (3) 判断该系列的纯随机性 纯随机系列必然是平稳系列，该系列是不平稳的，故也不是纯随机的。 纯随机性检验： 延迟 LB统计量值 P值 6 95.84 0.0001 12 190.40 0.0001 18 266.29 0.0001 24 324.39 0.0001 由于 P值 0.0001，故从纯随机性检验看，该序列 也不是纯随机的。 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 样本自相关系数图 6. 1969 年 1 月至 1973 年 9 月在芝加哥海德公园每 28 天发生的抢包案件数见下表（行 数据）。 10 15 10 10 12 10 7 7 10 14 8 17 14 18 3 9 11 10 6 12 14 10 25 29 33 33 12 19 16 19 19 12 34 15 36 29 26 21 17 19 13 20 24 12 6 14 6 12 9 11 17 12 8 14 14 12 5 8 10 3 16 8 8 7 12 6 10 8 10 5 (1) 判断该系列 的平稳性及纯随机性； (2) 对该系列进行函数运算： 并判断序列 的平稳性及纯随机性。 解 (1) 序列时序图和样本自相关图 0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 案件数序列时序图 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 样本自相关系数图 自相关系数如下： 延迟 1 2 3 4 5 6 7 8 自相关系数 0.5060 0.5385 0.3736 0.2907 0.2578 0.1475 0.2696 0.1862 延迟 9 10 11 12 13 14 15 16 自相关系数 0.1776 0.2584 0.2070 0.2263 0.1375 -0.0268 -0.0532 -0.1124 延迟 17 18 19 20 21 22 23 24 自相关系数 -0.1392 -0.1551 -0.1446 -0.2838 -0.2287 -0.3064 -0.2107 -0.3133 从时序图看，该时序呈现出较大不规则波动，且很明显不具有常均值性，故该时序是不 平稳的。从样本自相关图可见，样本自相关并没有快速衰减趋于 0，故该时序是不平稳的。 纯随机系列必然是平稳系列，该系列是不平稳的，故也不是纯随机的。从下面纯随机性 检验看， P 值 0.0001，表明该序列不是纯随机序列。 延迟 LB统计量值 P值 6 64.02 0.0001 12 88.98 0.0001 18 96.32 0.0001 24 137.26 0.0001 (2) 差分序列时序图和自相关图 -30 -20 -10 0 10 20 30 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 差分值系列时序图 差分序列自相关系数如下： 延迟 1 2 3 4 5 6 7 8 自相关系数 -0.5295 0.1950 -0.0804 -0.0593 0.0923 -0.2557 0.2155 -0.0747 延迟 9 10 11 12 13 14 15 16 自相关系数 -0.0699 0.1006 -0.0480 0.1042 0.0752 -0.1418 0.0448 -0.0315 延迟 17 18 19 20 21 22 23 24 自相关系数 -0.0263 -0.0220 0.1730 -0.2135 0.1290 -0.1580 0.1953 -0.1649 从差分序列时序图看，该系列是平稳的。从样本自相关图可见，自相关系数具有短期的 自相关性，然后快速衰减，故该差分系列是平稳的。 纯随机检验如下： 延迟 LB统计量值 P值 6 29.46 0.001 12 35.94 0.001 18 38.61 0.01 24 57.43 0.001 P 值 都非常小，表明该序列不是纯随机序列。 第 3 章 习题（王燕） 1. 已知 AR(1)模型为 。求 ， ， 和 。 解 由 （常均值性），有 . 由 ， ，（由平稳序列的方 差 常性） -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 差分序列自相关系数图 又 ， ，故 ， 所以 。 根据 Yule Walker方程，有 ， 即 ， 故 本题也可不要推导，由相关公式和性质直接给出结果。 2. 已知某 AR(2)模型为： ， ，且 ， ， 求 ， 的值。 解 由于 ， 即 ， 解得 ， 。 3. 已知某 AR(2)模型为： ， ， 求 ， ， ， ，其中 ， ， 。 解 模型改写为： ， ， 于是 ； ； 又 由 ，即 解得 ， ， ， ， 4. 已知 AR(2)序列 为： ，其中 为白噪声序列。确定 的取值范围， 以保证 为平稳序列，并给出该序列 的表达式。 解 由 AR(2)的平稳域知， 满足： ， ， 即 时， 为平稳序列。 此时， 如要得到 的一般表达式，则需求解差分方程 的解。在此略。 5. 证明 对任意常数 ，如下定义的 AR(3)序列一定是非平稳序列： ， ， 解 题中 AR(3)对应的特征方程为： 显然，对任意的常数 ， 都是上述特征方程的根，即题中 AR(3)模型的特征根并不都在 单位圆内 . 故此 AR(3)序列一定是非平稳序列 . 6. 对于 AR(1)模型： ， ， 判断如下命题是否正确： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； 解 (1) 因为 故 (1)不正确。 (2) 因 ，故 (2)不正确。 (3) 因 故 (3)正确。 (4) 由于 ,故 故 (4)不正确。 (5) 由于 所以 故 (5)不正确。 7. 已知某中心化 MA(1)模型 1阶自相关系数 ， 求该模型的表达式。 解 因为 或 故 该可逆的 中心化 MA(1)模型为： 8. 确定常数 的值，以保证如下表达式为 MA(2)模型： 解 对序列 中心化 .设 ，对上式取期望得： ，故 . 令 ，则序列 满足： 于是 因此，只要选择 使 含有因子 ，即使 为 的根即可，也即 此时， 所以， 或 此表明， 满足 MA(2)模型 . 数据模拟： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 1 -1 -2 1 0 19.5 21 21.6 19.9 19.5 21 21.6 19.9 19.5 17 20.6 21.6 21 21.6 19.9 19.5 21 21.6 19.9 19.5 17 20.6 21.6 9. 已知 MA(2)模型为： . 求 及 . 解 . . 10. 证明 ： (1) 对任意常数 ，如下定义的无穷 MA序列一定是非平稳序列： ， (2) 的 1阶差分序列一定是平稳序列，并求 的 自相关系数表达式 ， 其中 . 解 (1) 因 ，当 时， 的方差为无穷大，故 是 非平稳序列 . (2) 由于 ， 该序列均值、方差均为常数 : ， 的自相关系数 只与时间间隔长度有关，与起始时间无关，因此 的 1阶差分序列 为平稳序列 . 11. 检验下列模型的平稳性与可逆性，其中 为白噪声序列： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 为 AR(2)模型， 因 ，故该模型不是平稳的 . (2) 为 AR(2)模型，因 ，故该模型是平稳的 . (3) 为 MA(2)模型，因 ，故该模型是 可逆 的 . (4) 为 MA(2)模型，因 ，故该模型不是 可逆 的 . (5) 为 ARMA(1,1)模型，因 ，故该模型是平稳的和可逆的 . (6) 为 ARMA(2,1)模型，因 ，故该模型是 不 平稳的 ，也是不可逆 . 12. 已知 ARMR(1,1)模型为： ，确定该模型的 Green 函数，使该 模型可以等价表示为无穷阶 MA模型形式 . 解 模型改写为： 则模型的传递形式为： 故该模型的 Green函数为： 该模型可以等价表示为无穷阶 MA模型形式为： 13. 某 ARMR(2,2)模型为： ，求 . 其中 . 解 因 , 所以 . 14. 证明 ARMR(1,1)序列 的自相关系数为： 解 方法一 因为 所以 综上 方法二 由于 ，所以 于是 所以 15. 对于平稳时间序列，以下等式哪些一定成立？ (1) (2) (3) (4) 解 对于平稳时间序列， (1)(2)(3)一定成立。 (4)不成立。 16. 对于 AR (1)模型： ，根据 个历史观察值数据： ， 10.1， 9.6， 已求出 ,求： (1) 的 95%的置信区间； (2) 假定新获得观察值数据 ，用更新数据求 的 95%的置信区间 . 解 (1) 由题意 ， ，计算预测值： 又因 ，故预测方差为： 于是， 的 95%的置信区间为： (2) 已知新观察值 ，计算修正预测值： 修正方差为： 于是，用更新数据后， 的 95%的置信区间为：