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海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 第十一章 无穷级数 单元测试题答案 一、选择题 1、设级数 收敛于 2，则级数 1 n n u = 1 5 (3 ) 2 n n n u = 的和为 （ C ） () A 0 ( ) B 1 ( ) C 1 ( ) D + 分析：因为 111 1 51 2 (3 ) 3 5 3 2 5 1 1 22 1 2 nn nnn uu = = =。 2、现有四个命题： 若 发散，则 123 456 ()( )uuu uuu+ n u 发散； 若 ， 发散，则 发散； n u n v ( nn uv ) 若 收敛，则 n u 1 n u 发散； 若 发散，则 n u 1 n u 收敛。 以上四个命题中正确的个数是（ ） B ()A 1 ( )B 2 ( )C 3 ( )D 4 分析：正确。由级数的基本性质知：若级数 n u 收敛，则添加括号后的级数收敛， 与已知矛盾，故正确； 错误。不成立的反例： 1 n ， 1 n 都发散，但 11 ( nn ) + 收敛； 正确。因为由级数收敛的必要条件知： lim 0 n n u = ，有 1 lim n n u =，故 1 n u 发散； 错误。反例： 发散，且 n 1 n 也发散。 3、下列级数中，收敛的是 （ D ） ()A 111 1 . 36912 + + ( )B 1357 . 2468 + ()C .( 0) 4 8 12 16 aaa a a+ + + ( )D 22 11 1 1 1 1 ( ) ( ) . ( ) . 23 2 3 2 3 nn + 分析： 1 3n 发散，故不选 ( )A ； 1 21 lim lim( 1) 0 2 n n nn n u n = 故不选 ；()B 1 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 1 44 aa nn = 发散，故不选 ( ；)C ( )D 是两收敛级数之和，故收敛。 4、设正项级数 收敛，则下列级数收敛的是 （ ） n u B ()A n u ()B 2 n u ( )C 1 n u ( )D () nn uu+ 分析：因为 收敛，从而 n u lim 0 n n u = ，故存在 NN ，当 时nN 1 n u + ) 分析：因为 11 212nn ，而 1 11 2 n n = 发散，所以 1 1 21 n n = 发散；又 22 11 1 nn nnn 1 n + + = + ， 故 2 1 1 1 n n n = + + 也发散；至于 ( )D ， 11 ()an b a b n + ，所以 1 1 n an b = + 发散。对于 ( ,由)C ()() 2 11 14nn n + ， 2 1 1 n n = 收敛，知收敛级数为 ( )C 。 6、下列级数收敛的是 （ D ） () A 1 5 (1)() 4 n n = n ( )B 1 (1)cos n n n = ()C 1 54 (1)( ) 45 n n = + n ( )D 1 ln (1) n n n n = 分析： 5 lim( 1) ( ) 4 n n n 不存在，故 ( )A 发散； lim( 1) cos 1 n n n = ，故 发散；()B 54 lim( 1) ( ) 45 n n + n 不存在，故 发散；下证 ()C ( )D 中级数收敛，实际上，令 ln n n u n = ，则 2 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 1 11 ln ln(1 ) ln ln( 1) 11 n nn n nn u nnn + + + + = + 1+ ln 1 ln ln 1 ln ln ln 1(1) (1) nn nnn nnn nn =+ += + + + 3n（当 时）， 即 ，都有 ，即 为单调递减数列，且有3n 1nn uu + n u ln lim lim 0 n nn n u n = = ，根据莱布 尼兹审敛法知，级数 3 ln (1) n n n n = 收敛，从而原级数 1 ln (1) n n n n = 也收敛。 7、当 收敛时，级数 与 1 ( nn n ab = + ) 1 n n a = 1 n n b = （ C ） ()A 必同时收敛 ( )B 必同时发散 ()C 可能不同时收敛 ( )D 不可能同时收敛 分析：设 11 , 1 nn ab nn = + ，则 1 n n a = 与 1 n n b = 都发散，而 11 1 11 1 ()( ) 1( nn nn n ab nn nn = = += = + 1) 收敛，故排除 ( )A ；又设 2 11 , 2 nnn ab n = = ，则 2 1 11 () 2 n n n = + 及 2 1 1 n n = ， 1 1 2 n n = 都收敛，排除 ( )B ， ( )D 。 8、下列结论正确的是 （ ） B ()A 在收敛域上必绝对收敛 0 n n n ax = ( )B 在 0 n n n ax = 0 x = 点必绝对收敛 ()C 0 n n n ax = 在收敛域上必条件收敛 ( )D 1 1 () n n x = 是幂级数 分析： 1 1 (1) n n n x n = 的收敛域为 (1,1 ，但在 1x = 处它条件收敛，故不选 () ， 由幂级数的定义故(D) 也不正确。 A ()C 9、下列结论正确的是 （ ） C () A 幂级数在收敛域上必绝对收敛 ()B 幂级数的收敛半径为 ，则 一定是正的常数 R R 3 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 ()C 幂级数在其收敛域内收敛于它的和函数 ()Sx ( )D 幂级数在区间 ,内一致收敛 RR 分析： ( 不对，反例：级数)A 1 n n x n = 的收敛域为 1,1) ，但在 1x = 处条件收敛； () 不对，反例： B 1 ! n n x n = 的收敛半径 R=+； ( )D 不对，反例： 1 n n x n = ， ，但它在 1R = 1x = 处并不收敛，更谈不上一致收敛。 10、周期为 2 的周期函数 1, 0 () 1, 0 x fx x = 的傅立叶级数满足 （ D ） ()A 0, 0 nn ba= ( )B 0, n a n b= 全不为零 ()C 0, 0 nn ab ( )D 0, n a n b= 不全为零 分析：因为 ()f x 的傅立叶系数为 0 0 1 ( cos ) cos 0( 0,1, 2,.) n anxdnxdn = + = 。 0 00 0 12 ( sin ) sin sin 22 cos (1 cos ),( 1,2,.) n b nx dx nxdx nxdx nx n n nn = + = = = = 即当 为奇数时， ；当 为偶数时，n 0 n b n 0 n b = ，故选 ( )D 。 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、设 ，并且 1 1 () nn n nu u S = = lim n n nu A = ，则 0 n n u = = 。 应填： A S 。 分析：因为级数的部分和 1 1 01 () nn nkn kk kk Suukuu = = ，从而 1 01 lim lim ( ) nn n kk nn nk uS ukuuA = = = S ) 2、设 为常数，若级数 收敛，则a 1 ( n n ua = lim n n u =。 应填： 。 a 4 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 分析：由级数 收敛及收敛的必要条件知： li 1 ( n n ua = ) m( ) 0 n n ua = ，从而 li 。 m n n ua = 3、若级数 ln 1 x n n = 收敛，则 x 的取值范围是。 应填： 1 0 x e ，即 ，注意到 lnln 1x x 的定义域得 1 0 x e 。 4、设幂级数 的收敛半径为 2，则级数 1 n n n ax = 1 (1) n n n na x = + 的收敛区间为。 应填： 。 (3,1) 分析： 11 lim | | lim | | 2 (1) nn nn na a na a + = + ，故当 |1|x 2+ 时级数 收敛， 即 1 (1) n n n na x = + 31x 时收敛。 5、设有级数 0 1 () 2 n n n x a = + ，若 1 1 lim | | 3 n n n a a + = ，则该级数的收敛半径等于。 应填： 2 3 。 分析：注意到幂级数 0 1 () 2 n n n x a = + 的系数并非 ，因此，不要误以为 n a 1 lim | | n n n a a + 即为 该级数的收敛半径，实际上， 1 1 1 1 13 2 lim | | lim | | 1 22 2 n n n nn n n n a a a a + + + =，故原级数的收敛半径 为 12 3 R =。 6、幂级数 21 1 2(3) n nn n n x = + 的收敛半径 R=。 应填： 3 。 分析：级数缺少偶次幂的项，我们根据比值审敛法来求收敛半径。 5 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 6 21 11 22 11 21 1 2 ()1 2(3) 12(3) 3 lim | | lim | | | lim | | | | | 2 2(3) 3 2( ) (3) 2(3) 3 n n nnnn nn n nn n x 2 x xx n x + + + + + + = + + + =， 当 2 1 | 1 3 x ，即 | 3x ) )(, + 应填： 。 01a 分析：因 2 2 (1) 21 lim | | lim n n n nn a a a + + = ，则只有当 01a ) ) + 8、 246 1 0 (1 .) 1! 2! 3! xxx x dx+ = 。 应填： 1 1 (1 ) 2 e 。 分析：原式 22223 1 0 ()()() 1 . 1! 2! 3! xx x x dx =+ + + + 222 1 11 1 00 0 11 () (1 22 xxx )xedx de e e = = 。 9、设 ()f x 是周期为 2 的周期函数，它在区间 (1,1 上的定义为 ，则 3 2, 1 0 () ,0 1 x fx xx = ()f x 的傅立叶级数在 1x = 处收敛于。 应填： 3 2 。 分析：由狄利克雷收敛定理，可知傅立叶级数在 1x = 处收敛于 (1 0) ( 1 0) 1 2 3 22 ff+ + =。 10、设 ()f x 在 0 上连续，在 内有, l (0, )l 1 () sin n n n f xb l x = = ，则 的计算公式为 。 n b 应填： 0 2 ()sin l n f xx ll dx 。 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 分析：由题设条件可知是对 ()f x 进行奇延拓，由相应的系数公式即可推出 0 2 ()sin l n n bfx ll xd = 。 三、简答题（每小题 8 分，共 40 分） 1、设级数 收敛，且 1 n n u = lim 1 n n n v u = ，问级数 1 n n v = 是否也收敛？试说明理由。 分析：不一定。例如： 11 1 (1) n n nn u n = = 收敛，令 11 (1) n n v n n = +，则 11 (1) lim lim 1 1 (1) n n nn n n v n n u n + = ，但级数 11 11 ( 1) n n nn v n n = = + 发散。 2、若 ， ，则0 n u lim ( 0) n n uuu = 1 | nn uu + 与 1 11 nn uu + 有相同的敛散性。 分析：因为 1 2 11 11 11 lim lim | nn nn nn nn uu uu uuu + + = ，且 2 1 0 u 1 1 n aa naa + ，则 2 1 1 n a a = + 发散。此时令 8 () (1 ) x xxa=+，则 () 1 ln xx f xaxa =+ +f a，从而当 x 充分大时 () 0fx ， ()f x 单增， 那么 n 充分大时， (1 ) n a na+ 单调增，且 lim 0 (1 ) n n a na = + ，故原级数 1 (1) 1 n n n a na = + 收敛， 即原级数条件收敛。 5、求级数 的和函数 ，并求该和函数的极 大值。 22 1 (1 ) (1 ) . (1 ) . nn xxx x x x+ + + ()Sx 分析：此级数为公比 的等比级数，由等比级数和函数的公式得(1 )qx x= 2 11 () 1(1)1 Sx x xxx = + ，设 2 () 1f xxx= + ，则 () 2 1f xx = ，令 ， 得 () 0fx = 1 2 x= ， 1 () 2 0 2 f =，故当 1 2 x= 时， ()f x 取极小值，则 取极大值为 ()Sx 4 3 。