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数 的 运 算 知 识 要 点1 、 四 则 运 算 的 意 义 和 法 则 1 、 四 则 运 算 的 意 义 运 算 名 称 意 义 加 法 把 两 个 数 合 并 成 一 个 数 的 运 算 减 法 已 知 两 个 加 数 的 和 与 其 中 一 个 加 数 ， 求 另 一 个 加 数的 运 算 。 乘 法 一 个 数 乘 整 数 ， 是 求 几 个 相 同 加 数 和 的 简 便 运 算 。一 个 数 乘 小 数 ， 是 求 这 个 数 的 十 分 之 几 ， 百 分 之 几 是 多 少 。一 个 数 乘 分 数 ， 是 求 这 个 数 的 几 分 之 几 是 多 少 。 除 法 已 知 两 个 因 数 的 积 与 其 中 一 个 因 数 ， 求 另 一 个 因 数的 运 算 。 2 、 四 则 运 算 的 法 则 （ 1 ） 加 、 减 法 整 数 、 小 数 加 减 法 ： 相 同 数 位 上 的 数 对 齐 （ 小 数 点 对 齐 ） ， 从 低 位 算起 ， 哪 一 位 上 的 数 相 加 满 十 （ 哪 一 位 上 的 数 不 够 减 ） ， 向 前 一 位 进 一 （ 从 前 一 位 退 一 ， 当 十 再 减 ） 。 分 数 加 减 法 ： 同 分 母 分 数 相 加 减 ， 用 分 子 相 加 减 ， 分 母 不 变 ； 异 分 母 分 数 相 加 减 ， 先 通 分 ， 然 后 按 照 同 分 母 分 数 加 减 法 则 进 行 计 算 。（ 2 ） 乘 法 整 数 乘 法 ： 先 用 一 个 因 数 每 一 位 上 的 数 分 别 去 乘 另 一 个 因 数 。 用 因 数哪 一 位 上 的 数 去 乘 ， 乘 得 的 数 的 末 尾 就 要 和 哪 一 位 对 齐 ， 再 把 几 次 乘 得 的 数 加 起 来 。 小 数 乘 法 ： 先 按 照 整 数 乘 法 的 法 则 计 算 出 积 ， 再 看 因 数 中 一 共 有 几 位 小 数 ， 就 从 积 的 右 边 起 数 出 几 位 点 上 小 数 点 。 分 数 乘 法 ： 用 分 子 相 乘 的 积 作 分 子 ， 分 母 相 乘 的 积 作 分 母 ， 计 算 过 程 中 能 约 分 的 先 要 约 分 。（ 3 ） 除 法 整 数 除 法 ： 除 数 有 几 位 ， 就 看 被 除 数 的 前 几 位 ， 不 够 除 就 多 看 一 位 ，除 到 被 除 数 的 哪 一 位 ， 商 就 写 在 哪 一 位 数 上 面 ， 每 次 除 后 余 下 的 数 必 须 比 除 数 小 。小 数 除 法 ： 先 移 动 除 数 的 小 数 点 ， 使 它 变 成 整 数 ； 除 数 的 小 数 点 向 右 移 动 几 位 ， 被 除 数 的 小 数 点 也 要 向 右 移 动 几 位 （ 位 数 不 够 时 ， 在 被 除 数的 末 尾 用 “ 0” 补 足 ） ， 然 后 按 照 除 数 是 整 数 的 除 法 进 行 计 算 。 分 数 除 法 ： 甲 数 除 以 乙 数 （ 0除 外 ） ， 等 于 甲 数 乘 乙 数 的 倒 数 。（ 4 ） 各 部 分 之 间 的 关 系 加 、 减 法 加 数 加 数 =和 一 个 加 数 =和 -另 一 个 加 数 减 数 =被 减 数 -差 减 数 减 数 =差 被 减 数 =差 +减 数 乘 、 除 法 因 数 因 数 =积 一 个 因 数 =积 另 一 个 因 数 被 除 数 =商 除 数被 除 数 除 数 =商 除 数 =被 除 数 商 2运 算 定 律 名 称 内 容 及 字 母 公 式 举 例 加 法交 换 律 两 个 数 相 加 ， 交 换 加 数 的位 置 ， 它 们 的 和 不 变 a+b=b+a 20+30=30+20 加 法结 合 律 三 个 数 相 加 ， 先 把 前 两 个数 相 加 ， 再 同 第 三 个 数 相 加 ； 或 者 先 把 后 两 个 数 相加 ， 再 同 第 一 个 数 相 加 ， 它 们 的 和 不 变（ a+b） +c=a+（ b c） （ 20+30） +40=20+（ 30+40） 乘 法交 换 律 两 个 数 相 乘 ， 交 换 乘 数 的位 置 ， 它 们 的 积 不 变 。 ab=ba 20 30=30 20 乘 法结 合 律 三 位 数 相 乘 ， 先 把 前 两 个数 相 乘 ， 再 同 第 三 个 数 相 乘 ； 或 者 先 把 后 两 个 数 相乘 ， 再 同 第 一 个 数 相 乘 ， 它 们 的 积 不 变（ ab） c=a（ bc） （ 20 30） 50=20 （ 30 50） 两 个 数 的 和 同 一 个 数 相 （ 20+30） 乘 法分 配 律 乘 ， 可 以 把 两 个 加 数 分 别同 这 个 数 相 乘 。 再 把 两 个 积 相 加 结 果 不 变 。（ a+b） c=ac+bc 50=20 50+30 50 3、 四 则 混 合 运 算 1、 四 则 混 合 运 算 的 顺 序 在 没 有 括 号 的 算 式 里 ， 如 果 只 含 有 同 一 级 运 算 ， 要 按 照 从 左 到 右 的 顺序 计 算 ； 如 果 含 有 两 级 运 算 ， 要 先 算 第 二 级 运 算 ， 再 算 第 一 级 运 算 。 在 有 括 号 的 算 式 里 ， 要 先 算 小 括 号 里 面 的 ， 再 算 中 括 号 里 面 的 。 2、 几 种 常 用 的 简 算 方 法 （ 1） 拆 项 法 ： 这 是 对 分 配 律 的 逆 向 运 用 ， 常 用 的 方 法 是 分 数 拆 项 ， 主要 有 以 下 几 种 形 式 ： 分 子 、 分 母 分 别 为 两 个 相 邻 自 然 数 的 和 与 积 时 ： =+ 分 母 为 两 个 相 邻 自 然 数 的 积 时 ： =- 分 母 是 差 为 a(a 0)的 两 个 自 然 数 的 积 时 ： =(-) 分 母 为 三 个 相 邻 自 然 数 的 积 时 ： =【 -】 （ 2） 数 字 变 形 法 ： 这 是 一 种 从 数 字 特 点 出 发 ， 创 新 变 形 ， 巧 妙 地 运 用运 算 性 质 ， 规 律 达 到 简 算 目 的 的 方 法 ， 如 ： 较 接 近 1， 可 将 其 转 化 为 （ 1-） ， 然 后 根 据 情 况 运 用 适 当 的 方 法 。（ 3） 假 设 法 ： 如 果 原 式 中 的 数 字 或 相 同 式 子 比 较 多 ， 各 部 分 数 字 或 式 子 又 比 较 接 近 ， 我 们 就 可 将 其 相 同 的 部 分 看 做 一 个 整 体 ， 设 为 一 个 字母 ， 使 计 算 简 便 。 （ 4） 分 解 质 因 数 ： 在 计 算 中 ， 常 遇 到 一 些 复 杂 的 数 相 加 或 相 减 ， 我 们可 根 据 情 况 把 题 中 的 每 个 数 分 解 质 因 数 ， 然 后 把 其 中 的 公 因 数 提 出 来 ， 使 计 算 简 便 些 。（ 5） 找 规 律 法 ： 分 析 算 式 中 各 部 分 之 间 的 关 系 ， 找 出 其 中 的 规 律 ， 使 计 算 简 便 。典 例 解 析 及 同 步 练 习 1、 混 合 运 算 典 例 1 计 算 下 面 各 题 （ 1） 9.5 【 （ 6.4-0.7） 3】 （ 2）13 1 【 3 （ 12.4-12） 】 （ 3） 【 2 （ 3 3） 】 11 （ 4） 【 （ 2.3 ） 4.2】 解 析 ： （ 1） （ 3） 题 ， 按 运 算 顺 序 ， 先 算 小 括 号 里 面 的 ， 再 算 中 括号 里 面 的 ， 最 后 算 括 号 外 面 的 。 （ 2） （ 4） 题 ， 除 了 要 严 格 按 运 算 顺 序 进 行 计 算 外 ， 还 要 正 确 合 理 地 判 断 每 一 步 应 如 何 计 算 。 计 算 分 数 、 小 数 加 减 混 合 运 算 时 ， 一 般 来 说 ， 用 小 数 计 算 比 较 方 便 ； 如 果 分 数 不 能 化 成有 限 小 数 ， 则 把 小 数 化 成 分 数 后 再 进 行 计 算 ； 分 数 与 小 数 相 乘 或 相 除 时 ， 一 般 用 分 数 计 算 ， 也 可 以 直 接 计 算 。 究 竟 用 哪 一 种 方 法 计 算 要 根 据实 际 情 况 灵 活 选 用 。 当 小 数 与 分 数 的 分 母 同 时 除 以 一 个 数 （ 0除 外 ） 可 以 使 分 母 变 为 1时 ， 可 采 用 直 接 计 算 的 方 法 ； 如 果 小 数 与 分 数 的 分 母 同时 除 以 一 个 数 （ 0除 外 ） 不 能 使 分 母 变 为 1时 ， 那 么 可 把 小 数 化 成 分 数 再 进 行 计 算 。解 ： （ 1） 原 式 =9.5 【 5.7 3】 （ 2） 原 式 =13 1 【 3 】 =9.5 1.9 = =5 = （ 3） 原 式 =【 2 （ 4 ） 】 11 （ 4） 原 式= 【 】 =【 2 3】 11 = =6 = =71 = 举 一 反 三 训 练 1一 、 填 空 。 1、 计 算 5.6 2.8 7 8时 ， 要 先 算 （ ） 法 ， 再 算 （ ）法 ， 最 后 算 （ ） 。 2、 甲 数 除 以 乙 数 ， 商 是 27， 余 数 是 4。 若 甲 扩 大 10倍 ， 乙 数 乘 10后商 是 （ ） ， 余 数 是 （ ） 。 3、 如 果 A B=C， 那 么 C A B=（ ） 。 4、 若 A B=15， 则 （ A 6） （ B 8） =（ ） 二 、 计 算 下 面 各 题 。 1、 110 【 （ 54.8 45.2） （ 6 5.45） 】 2、 3.5 【 6.8 （ 1.6 3.6 0.9） 】 8.4 3、 3.6 7.2 2 14.4 4 8 4、 （ 7.5 3.68） 2.5 【 1 （ 2.1 2.09） 】 5、 1 （ 1 ） 6、 （ 6 1 ） 【 1 （ 1 ） 】三 、 列 式 计 算 。 1、 一 个 数 扩 大 5倍 ， 再 加 上 19， 然 后 缩 小 2倍 ， 再 加 上 45， 得 92， 求 这 个 数 。 2、 0.8与 0.4的 差 ， 加 上 1除 以 1.25的 商 ， 和 是 多 少 ？ 典 例 2 选 择 合 适 合 适 的 方 法 计 算 下 面 各 题 。 （ 1） 1 （ 2） 3 1.25 37.5 0.975 375% （ 3） 4.6 4.4 1 （ 1 0.1） （ 4） 51 71 91 解 析 ： （ 1） 在 同 级 运 算 中 ， 可 利 用 移 项 改 变 运 算 顺 序 ， 这 里 的 移 项 是 指 数 与 前 面 运 算 符 号 一 同 搬 移 。 如 此 可 将 “ ” 移 到 “ 1” 的 后面 ， 接 着 连 续 减 去 和 。 根 据 减 法 的 性 质 ， 就 等 于 减 去 和 的 和 。 （ 2） 观 察 原 式 发 现 ， 三 项 中 有 相 似 的 三 个 数 。 3=3.75， 37.5，375%=3.75， 这 里 我 们 可 利 用 积 不 变 的 性 质 将 37.5转 换 为 3.75， 37.5 0.975=3.75 9.75， 利 用 简 洁 分 配 律 简 算 。 （ 3） 通 过 认 真 观察 、 试 算 发 现 ， 4.4 1=4.4 ， 1 0.1= 1， 三 项 中 都 含 有 相 同 的 因 数 ， 利 用 乘 法 分 配 律 简 算 。 （ 4） 原 式 三 部 分 中 数 字 形 式 相 同 ， 就其 中 一 部 分 认 真 分 析 可 得 ： 51 =51 ， 51比 5的 倍 数 多 1， 而 1正 好 又 是 的 倒 数 ， 故 可 将 其 变 形 为 （ 50 ） =50 =30 1。 同 理 可将 后 面 两 部 分 变 形 。 解 ： （ 1） 原 式 = 1 （ 2） 原 式 =3.75 1.253.75 9.75 3.75 =2 （ ） =3.75 （ 1.25 9.75 1） =1 =37.5 （ 3） 原 式 =4.6 4.4 （ 4） 原 式 =（ 50 ） （ 70 ） （ 90 ） = （ 4.6 4.4 1） = 30 1 40 1 50 1 =9 =123 举 一 反 三 训 练 2一 、 选 择 。 （ 把 正 确 答 案 的 序 号 填 在 括 号 里 ） 1、 36 153 647=36 （ 153 647） ， 根 据 是 （ ） 。 A、 加 法 交 换 律 B、 加 法 结 合 律 C、 加 法 交 换 律 和 结 合 律 2、 为 使 计 算 简 便 ， 需 要 把 小 数 化 成 分 数 计 算 的 是 （ ） 。 A、 5.7 4 0.37 B、 6.3 1 C、 2.73 1 3、 A （ B C D） =AB AC AD， 运 用 的 是 （ ） 。 A、 乘 法 分 配 律 B、 乘 法 结 合 律 C、 简 洁 交 换 律 4、 下 列 算 式 的 运 算 不 正 确 的 是 （ ） 。 A、 121 125 8=121 （ 125 8） B、 260 （ 0.5 3） =260 0.5 260 3C、 50 18=（ 50 2） （ 18 2） 二 、 用 简 便 方 法 计 算 。 1、 987 402 2、 （ ） 3、 6 6 4、 8000 （ ） 5、 383 7.9 79 61 6、 （ ） 29 23 7、 0.02 0.4 25 50 8、 0.125 2 6.25 12.5% 9、 3.6 31 3.14 64 10、 41 51 61 712、 巧 填 运 算 符 号 典 例 1 在 下 面 的 式 子 中 ， 加 上 括 号 ， 使 等 式 成 立 。 （ 1） 7 9 12 3 2=47 （ 2） 7 9 12 3 2=75 解 析 ： 在 做 此 类 题 时 ， 我 们 一 般 采 用 逆 推 法 。 在 （ 1） 中 ， 假 设 等 式 成 立 。 因 为 49 2=47， 所 以 只 须 ： 7 9 12 3=49， 由 于 497 7， 因 此 只 须 （ 9 12） 3=7， 而 21 3=7， 所 以 只 须 把 9 12用 括 号 括 起 来 就 行 了 。 即 7 【 （ 9 12） 3】 2=47； 在 （ 2） 中 ，假 设 等 式 成 立 ， 因 为 77 2=75， 所 以 只 须 7 9 12 3=77， 又 因 为 7 11=77， 所 以 只 须 9 12 3=11， 经 试 算 ， 不 论 怎 样 加 括 号 都 不 能成 立 。 由 此 可 见 此 路 不 通 ， 得 另 想 办 法 。 我 们 仍 假 设 等 式 成 立 ， 因 为 7 9=63， 而 63 12=75， 因 此 只 须 12 3 2=12， 又 因 为12 1=12， 所 以 只 须 3 2用 括 号 括 起 来 就 行 了 。 即 7 9 12 （ 3 2） =75. 解 ： （ 1） 7 【 （ 9 12） 3】 2=47 （ 2） 7 9 12 （ 3 2） =75举 一 反 三 训 练 1 一 、 给 下 面 的 算 式 加 上 括 号 ， 使 等 式 成 立 。1 2 3 4 5 6 7 8 9=303 二 、 在 下 面 的 算 式 中 加 上 括 号 ， 使 等 式 成 立 。 1、 6 36 3 2 4 1=63 2、 6 36 3 2 4 1=149 3、 6 36 3 2 4 1=45 4、 6 36 3 2 4 1=47 5、 6 36 3 2 4 1=5 6、 6 36 3 2 4 1=14三 、 改 变 一 个 运 算 符 号 ， 使 下 面 的 等 式 成 立 。 1、 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 2、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=45 典 例 2 在 五 个 4之 间 添 上 适 当 的 运 算 符 号 和 括 号 ， 使 得 数 是 8. 解 析 ： 根 据 题 意 ， 可 将 原 题 表 示 为 ： 4 4 4 4 4=8 我 们 从 后 逐 步 向 前 推 ， 最 后 一 个 4的 前 面 如 果 添 运 算 符 号 只 能是 、 、 、 四 种 之 一 。 如 果 添 的 是 “ ” 号 ， 则 变 为 4 4 4 4 4=8 ， 这 样 中 的 前 四 个 4通 过 添 加 运 算 符 号 得 到 4就 可以 了 。 即 4 4 4 4=4 按 照 前 面 的 推 理 方 式 ， 如 果 左 边 最 后 一 个 4前 又 添 “ ” 号 ， 则 有 4 4 4 4=4 要 使 成 立 ， 只 须 让 中 的 前 三 个 4通 过 添 适 当 的 运 算 符 号 使 结 果 为 0就 可 以 了 。 即 4 4 4=0 我 们 知 道 ， 0与 任 何 数 相 乘 积 为 0， 所 以 有三 种 添 法 （ 4 4） 4=0， （ 4 4） 4=0， 4 （ 4 4） =0， 因 此 ， 原 题 有 三 种 添 法 （ 4 4） 4 4 4=8， （ 4 4） 4 4 4=8，4 （ 4 4） 4 4=8。 如 果 式 最 后 一 个 4前 添 的 是 “ ” 号 ， 就 有 4 4 4 4=4， 这 就 要 求 前 三 个 4之 间 添 上 符 号 ， 使 4 4 4 =8 不管 怎 么 添 都 不 成 立 ， 所 以 最 后 一 个 4前 不 能 添 “ ” 号 ， 否 则 ， 就 找 不 到 符 号 。 依 照 上 面 的 推 理 方 法 ， 式 最 后 一 个 4前 还 可 以 添 上乘 号 或 除 号 。 解 ： （ 4 4） 4 4 4=8 （ 4 4） 4 4 4=8 4 （ 4 4） 4 4=8 （ 4 4 4 4） 4=8 （ 4 4 4 4） 4=8 举 一 反 三 训 练 2一 、 在 等 号 左 边 添 上 合 适 的 运 算 符 号 和 括 号 ， 使 计 算 结 果 都 为 24。1、 13 6 3 3=24 2、 2 3 9 5=24 3、 4 1 11 3=24 4、 8 6 5 7=8二 、 把 1*2*3*4*5里 的 *号 改 为 运 算 符 号 ， 并 添 上 适 当 的 括 号 ， 使 运 算 结 果 等 于 100。三 、 在 15个 9之 间 合 适 的 地 方 添 上 运 算 符 号 ， 使 下 列 等 式 成 立 。 （ 试 写 几 种 ） 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9=2000 四 、 将 1一 2000这 两 千 个 自 然 数 用 加 号 或 减 号 连 接 起 来 组 成 算 式 ， 这个 算 式 的 结 果 最 小 可 能 是 多 少 ？ 五 、 如 果 一 个 整 数 与 1、 2、 3这 三 个 数 通 过 加 、 减 、 乘 、 除 运 算 （ 可以 添 加 括 号 ） 组 成 算 式 ， 结 果 等 于 24， 那 么 这 个 整 数 称 为 可 用 的 数 ， 那 么 ， 在 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10这 几 个 数 中 ， 可 用 的 数 有 多 少个 ？ 3、 简 算 技 巧 典 例 1 选 择 合 适 的 方 法 简 算 下 面 各 题 。 （ 1） 1 3 5 7 9 11 （ 2） 解 析 ： 这 是 两 道 较 复 杂 的 分 数 串 求 和 问 题 ， 要 求 同 学 们 在 日 常 运 算 中 要 善 于 发 现 、 总 结 规 律 。 （ 1） 式 可 以 把 每 个 分 数 的 整 数 部 分 和 分 数 部分 拆 开 ， 分 别 相 加 。 通 过 观 察 我 们 可 以 发 现 分 数 部 分 的 分 母 都 是 两 个 连 续 自 然 数 的 积 ， 分 子 则 是 这 两 个 数 的 差 ， 即 = ， = ， = 。 利用 这 一 规 律 可 将 原 式 中 各 分 数 拆 分 ， 运 算 时 可 以 相 互 抵 消 ， 以 达 到 简 算 的 目 的 。 （ 2） 式 中 每 项 的 分 子 都 是 1， 分 母 都 是 两 个 差 为 3的 自 然 数的 积 ， 利 用 （ 1） 中 的 规 律 把 每 个 分 数 拆 分 ， 即 =（ 1 ） ， =（ ） ， =（ ） ， =( ) 。 从 而 我 们 可 以 得 出 =（ ） 。解 ： （ 1） 原 式 =（ 1 3 5 7 9 11） （ ） =36 （ ） =36 （ ） =36 （ 2） 原 式 =（ 1 ） （ ） （ ） （ ） =（ 1 ） =（ 1 ） =举 一 反 三 训 练 1 用 简 便 方 法 计 算 下 面 各 题 。 1、 2、 3、 4、 1 5、 1 6、