张宇1000题版第二章习题详解.pdf

27 【 【编者注 编者注编者注编者注】 】 】 本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的 考研数学题源探析 考研数学题源探析考研数学题源探析考研数学题源探析 1000 1000 题题题 题 的 的的 的 赠送资料赠送资料赠送资料赠送资料， ， ，对 对对 对 10001 00 题题题 题 中没有给出详解的题目做出解析 中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析， ， ，供同学 供同学供同学供同学 们复习时参考们复习时参考们复习时参考们复习时参考。 。 。 第二章第二章第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 【经典题答案与解析经典题答案与解析经典题答案与解析经典题答案与解析】 一一一一、 选择题选择题选择题选择题 1【答案】D 【解】凑导数定义，( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 lim lim h h f a h f af a f a h f a h h + = = . 2【答案】 B 【解】凑导数定义， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 2 x x f a x f a x f a x f a f a x f a f a x x x + + = + = . 3【答案】B 【解】在0 x x=处，( )0 12dy f x x x= = 4【答案】D 【解】( )1 0.1y x =，( ) ( )1 2 1y f = ，故( )1 0.5f = 5【答案】D 【解】 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )f x x b x c x d x a x c x d x a x b x d x a x b x c= + + + 由( ) ( )( )( )f k k a k b k c= ，故k d= . 6【答案】D 【解】根据单调性的定义直接可以得出(D)选项正确 7【答案】C 【解】 ( ) ( ) 3 3 24 , 0,4 , 0, 0, 0,2 , 0, 12 , 0, x xx x f x f x xx x x x = = = ( ) ( )0 24 0 12f f+ = =，( )0f 不 存在. 8【答案】A 28 【解】 ( ) ( ) 1 0 1 0 lim lim x x f x f x + ，故( ) 1 lim x f x 不存在. 9【答案】A 【解】 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 0f x g x f x g xg x ，即( )( ) 0f xg x ，于是( )( )f xg x单调递减，由 a x b 10【答案】C 【解】排除法，(A)、(B)显然不对，x可小于0，故不能选（D）. 11【答案】C 【解】( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 42F x f x x xf x = = 12【答案】A 【解】( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x x x xF x f e e f x e f e f x = = 13【答案】C 【解】( )2 0 1lim sin 0 0 x x fx = =，( ) 2 2 2 0 0 0 1 1 1sin sin sin 0 lim lim lim x x x x x x x f x x x + + + = = =不 存在. 14【答案】D 【解】 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 1 1 cos 2lim lim lim 0, lim lim 0 x x x x x xx f x f x x g xx x + + + = = = = =，从而 ( ) ( )0lim 0 0 x f x f = =，( )f x在0 x =处连续； 又( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 01 coslim lim 0, lim lim 0 x x x x f x f f x f x g xx x x xx x+ + = = = =，故( )f x在 0 x =处可导. 15【答案】D. 【解】 A 不一定，反例：3( )f x x=，0 x =时(0) 0f =，此点非极值点； B 不一定，需加条件：( )f x在0 x点两侧异号； C 此项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的. 16【答案】B 【解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0,lim lim 0 0 x x f xF f F x f x = = = = 29 17【答案】A 【解】( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 132 2 , ! nnf x f x f x f x f x n f x + = = = L 18【答案】C 【解】 当0 x = ，当0 x x时，( ) 1f x ，由拉格朗 日中值定理，( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0,f x f x f x x x x x x = + ，从而( )limx f x+ = + . 25【答案】B 【解】考极限的局部保号性. 在x a=的某去心领域内，有( ) ( )( )2 0f x f a x a ，故 ( ) ( )f x f a 在(0, )+单调增，( ) 0 ( )f x f x时，( ) 0f x ，当0 x e = = ，故( )f x在 ( )0 + ，内有两个零点. 34【答案】B 【解】 由拉格朗日中值定理，( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0 1 0 , 0,1f f f f = = ，又 ( ) 0, 0,1f x x ，故( ) ( ) ( )1 0f f f . 35【答案】B 36【答案】C 【解】用洛必达法则， ( ) ( ) ( ) ( )0 3 20 0 0 2 lim lim lim 0 0 x x x x f t dtF x f x fx x x = = = ，选择3k = . 其中 （1）( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 0 0 0 2x x xF x x f t dt t f t dt x f t dt = = ； （2）洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即，右边存在（或为无穷大），则左边存在（或 为无穷大），本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为( ) ( ) 0 lim 0 x f x f x =存在， 即，最右边的结果存在，所以洛必达法则成立. 37【答案】C 【解】令( ) 1 1 4 2 cosf x x x x= + ，则( )f x为偶函数，显然当1x 时，( ) 0f x ，故只 需判明在( )0,1内( ) 0f x =的根的情况. ( ) ( )0 1 0, 1 2 cos1 0f f= ，当( )0,1x 时，( ) 0f x ，故在( )0,+内( ) 0f x =有且仅有一个实根. 38【答案】B 【解】0 x x=是( )f x的驻点，( ) ( )00 0 1 1 0 xf x e x = 39【答案】C 【解】( )0 0f =，( )f x可导，( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 0 1 0f x f x f x f = = ， 32 ( ) ( )00 limx f xf x =，由极限保号性知( )f x在0 x =左、右两侧异号. 40【答案】C 【解】( ) ( )f a f x，( ) ( ) ( )x a f a f x 在( ),a a +内无法确定符号，排除（A）、 （B），而( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2lim 0 t a f t f x f a f x t x a x = . 41【答案】C 【解】 2 2 2 lim 1 x x xk x + += = ， 2lim ( 2 2 ) x b x x x = + + + = 2 2 2lim 2 2x x x x x + + + = 1，选（C） 42【答案】A 【解】 0 1lim sin 0 x x x = 43【答案】D 【解】 2 2 1lim 1 1 x xx e e + = ， 2 20 1lim 1 1 x xx e e + = 44【答案】C 【解】( )( )2 1 2 1 lim arctan 1 2 4x x x xe x x pi + + = +，( )( ) 2 1 2 1 1lim arctan 1 2 2 x x x x ee x x pi + + + = +， ( )( ) 2 1 2 1 1lim arctan 1 2 2 x x x x ee x x pi + + = + 45【答案】C 【解】( )22 6 18 13y x x = + 46【答案】A 【解】令( ) ( )F x f x x= 由已知可得， ( )1 ,1x 时，( ) ( ) 1 0F x f x = ， ( )1 ,1x 时，( ) ( ) 1 0F x f x = 即 ( )1 ,1x 时，( ) ( )0F x F，当x M时，( ) 2kf x ( ) 2x x M M kf x dx dx 得 ( ) ( ) ( ) 2 kf x x M f M + 与( )f x在( )0,+内有界矛盾. 二二二二、填空题填空题填空题填空题 48【答案】2 1y x= + 【解】( ) 1 2 1lim 2x x x e x =，( ) 1 2 1lim 2 2x x x e x =， 49【答案】 1 ln 2， 【解】令( )2 2 ln 2 2 1 ln 2 0 x x xy x x = + = + =，解得，1 .ln 2x = 50【答案】 1 ( 1) 4 2y x pi = ；2( 1)4y x pi = 【解】1x =时，.4y pi= 1 12 1 1 1 2x xy x= = = =+，可得出切线方程( ) 1 1 4 2y x pi = ，法线 方程( )2 14y x pi = 51【答案】2(2 1) tt e+ 【解】 22 21 1lim 1 lim 1 ttx x t x x t t tex x + = + = 52【答案】-1 【解】( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 3 3 3 31 1lim lim 3 1 2 2 2h h f h f f h f f h h = = = 53【答案】!n 【解】( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 1 . 00 0, 0 lim lim 1 2 . 0 x x x x x n ff f x x x x n n x + + = = = + + + = ! 34 54【答案】3 1y x= 【解】 ( ) ( ) 2 2 6 6 6 3sin cos 3 , 3cos sin 3t t t y t t ty x t t tpi pi pi= = = = = = 法线方程为：1 3 338 8y x = 整理可得3 1y x= . 55【答案】 1tan 2 1 1 1 1(tan sec cos )xe x x x x + 【解】 1 1 1tan tan tan 2 2 1 1 1 1 1 1sin tan sec cosx x xy e e e x x x x x x = = + 1tan 2 1 1 1 1(tan sec cos )xe x x x x= + 56【答案】3sin cos4t t tt 【解】( )( ) sin2y tdy tdx x t t = =， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 sin cos 4 y td x t d y t t tdt dx x t t = = 57【答案】3 ln 31 3 x x dx + 【解】复合函数求导ln 3 31 3 x xy = + 58【答案】2 2( , )2 2 【解】2 2 222 , 2 4 .x x xy xe y e x e = = + 令0y ，解得2 2 .2 2x ，解得10 4x 63【答案】 2 2 2 2 2 2 cos( ) 2 cos( ) 2 xy e x x y y x y xy + + 【解】方程两边同时对x求导，可得( )2 2 2sin 2 2 2 0 xdy dyx y x y e y xydx dx + + + = . 解得 2 2 2 2 2 2 cos( ) 2 cos( ) 2 xdy y e x x y dx y x y xy += + 64【答案】 2 2 (6 5)( 1)d y t t dx t + += 【解】( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 11 3 2 1 3 2 ty tdy t tt dx x t t t t t t + + = = = + + +， ( ) ( ) ( ) 2 2 (6 5)( 1) y td x t d y t tdt dx x t t + += = 65【答案】3sin 3 (cos3 )xf x 【解】( )( ) ( )( )cos3 0 cos3 3sin 3 3sin 3 (cos3 )xdy f t dt f x x xf xdx = = = 66【答案】20 2 2 4cos 2 cos x t dt x x 【解】 ( )22 2 00 2 2 0 2 2 4coscos cos 2 cosxx x d x t dtd x t dt t dt x xdx dx = = 36 67【答案】2 2 221 1 22 sin( )sin sin cos( )x x xx x x 【解】 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 21 1 1 1 1 1 2sin 2 sin cos 2sin cos 2 sin( )sin sin cos( )y x x x x x xx x x x x x x = + = 68【答案】3 7 0 x y = 【解】( )( ) 2 2 2 2 3 3 2t t t y tdy t dx x t t= = = = = = ；2,t =可得5, 8x y= = .根据点斜式可得直线方程 3 7 0 x y = 69【答案】13 【解】 2 1 3 3 2 2 22 11 3 2 x x x y x e x e e = + = + 1 3 2 2 0 0 2 1 11 3 2 3 x x x xy x e e = = = + = 70【答案】2x y e pi + = 【解】 cos cossin sinx ey e = = = = ，点2, 2epi pi 的直角坐标为( )20,epi，曲线在点2, 2epi pi 处的切线的斜率为 2 2, , 2 2 sin cos 1 cos sine e e ey e epi pi pi pi + = = , 故所求切线方程为( )2 0y e x pi = ，即2x y e pi + = . 71【答案】12 【解】( )( ) 22 2 22 22 2 2 1 3 2 11 1 1 1 11 1 1 1 2 11 12 1 x x xx x x xxy x x x xx x x + + + + = = = + + + ( )( )( ) 2 2 3 2 11 2 1 1 x x x x + = + 0 1 2xy = = 37 72【答案】1y x e= + 【解】 1ln lim 1, x x e x k x + = = 1ln 1 1lim ln lim 1x x e x b x e xx x + = + = ( )1 0 0 ln 1 1 1lim limtx t t e t t e t e = + = = = + 令 . 73【答案】2 1 0y x+ = 【解】过( )0,1点的切线，即求过0t =的切线方程.由于 ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 cos sin 1 sin 2 2cos 2 2 t t t tt y t e t tdy dx x t e t t= = = = = = + 则法线的斜率为2，可得出法线方程为( )0 2 1y x = ，整理得2 1 0y x+ = 74【答案】(ln 2 1)dx 【解】方程两边同时对x求导，可得2 1xy dy dyy x dx dx + = + .，得出ln 2 2 11 ln 2 2 xy xy dy y dx x = 把0 x =，代入方程可得1y = . ( ) ( )0,1 0,1ln 2 2 1 ln 2 11 ln 2 2 xy xy dy y dx x = = 75【答案】2 2 0 x y + = 【解】方程两边同时对x求导，可得( )2 2 sin 0 x y dy dye xy y xdx dx+ + + + = . 解得，( ) ( ) 2 2 sin 2 sin x y x y y xy edy dx e x xy + + = + .所以( )0,1 2 dy dx = 则法线的斜率为12，可得出法线方程为( )11 02y x = ，整理得2 2 0.x y + = 76【答案】14 cos 4 2n nx pi + 【解】 ( )22 2 2 2sin cos 2sin cosy x x x x= + 21 1 cos 41 sin 2 12 4 xx = = 3 1 cos 4 ,4 4 x= + 38 ( ) 11 4 cos 4 4 cos 4 . 4 2 2 n n nn ny x xpi pi = + = +