十三五基础物理学讲义武汉大学出版社习题答案2章.pdf

2015年適基礎物理學講義習題解答第1章質點學 mv0 k 總習題1-37圖 解答：當鋼柱慢慢減速、靶慢慢加速，使得二者的速度相等時，彈簧被壓縮的 長度最大水平方向沒有阻力，水平動量守恆設共同的速度是v，最大壓縮長 度是s， mv0 = (m + M)v 鋼柱與軟彈簧的碰撞可以看做完全彈性的 1 2mv 2 0 = 1 2(m + M)v 2 + 1 2ks 2 聯立上述兩式可得到 s = v0 mM k(m + M) 1-38度為l的細線拴著個質量為M的沙袋動量為mv0的彈平射沙袋， 問沙袋向上擺動的最度是多少？ 解答：子彈打入沙袋的過程中，有內摩擦力做功，機械能不守恆但是水平動 量守恆 mv0 = (m + M)v 沙袋與子彈上擺過程中，衹有重力做功，機械能守恆 1 2(m + M)v 2 = (m + M)gh 解得 h = 12g ( mv 0 m + M )2 21 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 第二章廣延物質力學 2.1剛體的基本運動形式有平動和轉動兩種基本類型 2.2質量為m的質點沿著半徑為r的圓周以速度轉動，其轉動慣量 J = mr2 2.3質量均為m的四個質點輕質細杆連接成個邊為a的正形剛體 若該正形圍繞其中的條邊轉動，其轉動慣量J = 2ma2； 若轉軸是對線，其轉動慣量為J = ma2； 若轉軸經過正形中且垂直於正形平，其轉動慣量為J = 2ma2； 2.4質量為m，半徑為r的均勻圓盤繞垂直於盤的中軸轉動，轉動慣量 為12mr2； 質量為m，度為l的細棒，對於過端點且垂直於棒的軸的轉動慣量 為13ml2； 質量為m，度為l的細棒，對於過中點且垂直於棒的軸的轉動慣量 為112ml2 2.5轉動慣量為2:5 kg m2、半徑為0:5 m的定滑輪繞中軸轉動，其邊緣受 到20 N的切向摩擦阻，阻矩的為10 N m，其加速度的 為4 s 2 2.6判定正誤 剛體受到的合外不為零，則合外矩定不為零；. 若外穿過轉軸，則它產的矩為零； 若外平於轉軸，則它對轉軸的矩為零； 2.7質量m速率v的質點做半徑為r的勻速率圓周運動，其動量 為mvr 2.8質量m速率v的質點沿著x軸做勻速率直線運動，它相對於坐標點(x; y)的 動量為mvy 2.9某恆星誕之初慣量矩為J，速度為當燃料耗盡之後坍塌為矮星， 22 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 慣量矩為J=4，此時其轉動速度為4 2.10已知地球在近點時距離太陽r1，速率v1，在遠點時距離太陽r2，則速 率v2 = v1r1=r2 2.11判定正誤 剛體內部的相互作不能改變剛體的動量； 若剛體的動量守恆，則剛體所受合外為零；. 若外平於轉軸，則剛體的動量守恆； 若外的延線穿過轉軸，則剛體動量守恆； 衛星環繞地球橢圓運動，其能量守恆動量不守恆；. 2.12轉動慣量為J，速度為的定軸轉動的剛體，其動量為J，轉 動能量為12J2 2.13慣量矩為9:0 kg m2的定滑輪受到18 N m的矩作轉過了3:0 rad， 則滑輪的加速度為2:0 rad=s2，矩做功54 J 2.14某發動機銘牌上標註額定轉速為3600 rpm，額定輸出扭矩為50:0 N m， 則此刻發動機的功率為6 = 18:8 kW 2.15杆件的變形種類可以分為伸縮、剪切、彎曲、 扭轉四種 2.1610 N的拉拽條橫截為2 mm2的鐵絲，則鐵絲內部橫截上的正 應為5 MPa 2.17度為2 m、橫截積為2 mm2的細鋼絲，受到300 N的拉後，度增 加了1:5 mm則鋼絲的正應變為7:5 10 4，正應等於1:5 108 Pa，楊 模量為2 1011 Pa 2.18上海環球融中樓主體部分度約400 m，其頂部在中搖擺的幅 度約1 m，若將此視為剪切形變，則剪切應變為2:5 10 3 2.199:4 N的推施加在半徑1:0 cm的注射器上，注射器內的壓強增 30 kPa 2.20取重加速度g = 10 m=s2，的密度 = 103 kg=m3，則氣壓 p0 = 105 Pa相當於深度為10 m的壓 2.21設的表張係數為，則半徑為r的珠內壓外壓2=r 2.22判定正誤 23 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 彎曲液的附加壓強指向液體內部；. 彎曲液的附加壓強指向曲率中； 球形液膜的直徑越，附加壓強越； 細管內的液定升；. 細管越細，液度變化越； 2.23段來管，前半截直徑為4 cm，流速為2 m=s；後半截直徑為2 cm， 則流速為8 m=s 2.24澆花的總管直徑5:0 cm，速1:5 m=s；噴頭上有10個相同的的圓孔， 直徑5 mm；噴頭處的流速為15 m=s 2.25判定正誤 機起時，逆順更好； 平放置的來管，粗管處的壓；. 平的排氣管道中，流速的位置氣壓； 總習題二 轉動慣量 2-1半徑為R質量為m的均勻細圓環繞它的條直徑轉動，根據定義計算它的轉動 慣量 總習題2-1圖 解答：以環心為坐標原點建立極坐標，水平坐標軸為轉軸每個質元到轉軸的 距離為l = Rsin，對應的圓心角為d整個圓周的角度為2，總質量為m，則 該質元的質量為dm = (m=2)d J = L l2dm = 2 0 R2 sin2 m2d = mR 2 2 2 0 sin2 d = mR 2 2 2 0 1 cos2 2 d 24 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 = 12mR2 2-2半徑為R質量為m的均勻細圓環繞它的條切線轉動，根據定義計算它的轉動 慣量 總習題2-2圖 解答：以環心為坐標原點建立極坐標，每個質元到轉軸的距離為l = R+Rcos， 對應的圓心角為d整個圓周的角度為2，總質量為m，則該質元的質量為 dm = (m=2)d J = L l2dm = 2 0 R2(1 + cos2 ) m2d = mR 2 2 2 0 3 + cos2 2 d = 3 2mR 2 2-3六個質量均為m的球輕質硬杆連接成個邊為l的平正六邊形計算 轉動慣量：轉軸為aa；轉軸為bb 1 2 3 4 56 a ab b 總習題2-3圖 解答：小球1、4到轉軸aa的距離是l，其餘四個小球到轉軸的距離為l=2， J = mir2i = m l2 + l2 + (l=2)2 + (l=2)2 + (l=2)2 + (l=2)2 = 3ml2 小球2、5到轉軸bb的距離是0，其餘四個小球到轉軸的距離為 p 3l=2， J = mir2i = m ( p 3l=2)2 4 = 3ml2 25 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 2-4在半徑為R2的均勻薄圓盤中再挖去半徑為R1的圓盤，剩餘的圓環總質量為 m證明剩餘部分相對於中垂軸的轉動慣量為m(R21 + R22)=2 解答：圓盤的面密度為 = m(R2 2 R21) 將該圓盤切割為細圓環，其轉動慣量 dJ = r2dm = r2 (2rdr) = 2mR2 2 R21 r3dr 總轉動慣量 J = 2mR2 2 R21 R2 R1 r3dr = m2 (R22 + R21) 另解：設圓盤的面密度為，半徑為R2的大圓盤質量為m2 = R22，挖去 的小圓盤質量為m1 = R21，剩餘部分的質量m = (R22 R21) 大圓盤的轉動慣量 J2 = 12m2R22 = 12R42 小圓盤的轉動慣量 J1 = 12m1R21 = 12R41 剩餘部分的轉動慣量 J = J2 J1 = 12(R42 R41) = 12 (R22 R21)(R22 + R21) = 12 m (R22 + R21) 轉動定律 2-5如下圖所，重物的質量m1 m2；定滑輪的半徑為r，轉動慣量為J；軟繩與滑 輪之間無相對滑動，滑輪的輪軸處無摩擦，物體與平撐之間的摩擦係數為 計算重物加速度a的 m1 a Jm2 I II 總習題2-5圖 解答：設滑輪兩側繩子的張力分別為F1，F2 重物1加速下落：m1g F1 = m1a (1) 26 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 重物2向右加速：F2 m2g = m2a (2) 定滑輪加速轉動：F1r F2r = J = Ja=r (3) 式(1) r + (2) r + (3)可得 m1gr m2gr = r(m1 + m2 + J=r2)a =) a = m1g m2gm 1 + m2 + J=r2 另解：假設重物下落距離l時，速率為v，則此刻滑輪的角速度根據動 能定理，重力與摩擦力做功等於系統動能增量， m1gl m2gl = 12(m1 + m2)v2 + 12J2 將 = v=r代入上式化簡，可得到 (m1g m2g)l = 12 (m1 + m2 + J=r2)v2 在該式中，l與v是隨著時間變化的兩邊對時間求導，可得到 (m1g m2g)dldt = 12 (m1 + m2 + J=r2)2vdvdt 其中dldt = v，dvdt = a， a = m1g m2gm 1 + m2 + J=r2 2-6如下圖所，定滑輪由兩個半徑不同的輪拼接成，總轉動慣量為J，半徑分 別為r1、r2，且r1 r2；重物的質量m1 m2；軟繩與滑輪之間無相對滑動，滑輪的輪 軸處無摩擦，計算滑輪的加速度的 J m1 m2 總習題2-6圖 解答：設懸掛兩個重物的繩子的張力分別為F1、F2定滑輪轉動一週，重物1下 降的距離大於重物2上升的距離因此兩個重物運動的加速度是不同的；而定 滑輪的角加速度是共同的 重物1加速下落m1g F1 = m1a1 = m1r1 (1) 27 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 重物2加速上升F2 m2g = m2a2 = m2r2 (2) 定滑輪加速轉動F1r1 F2r2 = J (3) 式(1) r1 + (2) r2 + (3)可得 m1gr1 m2gr2 = (m1r21 + m2r22 + J) =) = m1gr1 m2gr2m 1r21 + m2r22 + J 角動量 2-7如圖所，在光滑平桌上，為H質量為m1的均勻細棒能繞端由轉動 開始時，細棒靜於平桌上現有度為r = H=2的輕質細線牽引質量為m2的 球，在平桌內以速度v20垂直撞擊細棒並粘在起細線的固定點與細棒的 轉軸近似重合求細棒和球起運動時的速度 O F v0 總習題2-7圖 解答：將細棒與小球看做系統水平桌面的支撐力平行於轉軸，所以不予考慮 在水平方向存在的外力是由細線以及細棒的轉軸產生的，所以水平方向的動量 不守恆但是這兩個力是通過轉軸的，力矩為零，因此該系統的角動量守恆 小球的轉動慣量J2 = m2r2 = m2H2=4，初始角速度20 = v20=r = 2v20=H， 在碰撞之前，小球的角動量 J220 = 12m2v20H 碰撞後，小球與細棒一起運動，相對於轉軸的轉動慣量為 J1 + J2 = 13m1H2 + 14m2H2 根據角動量守恆定律， 1 2m2v20H = (1 3m1H 2 + 1 4m2H 2 ) 28 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 可得 = 6m2v20 (4m1 + 3m2)H 2-8如下圖所，轉動慣量J1半徑為R的定滑輪以速度10順時針轉動總質量m2 初速度v20的束玻璃膠逆時針向噴射到滑輪邊緣滑輪與膠起轉動的速度 多？ mv2 20 h10 J1 R 總習題2-8圖 解答：系統的角動量守恆以順時針為正方向，黏結之前系統的總角動量為 J110 m2v20h 設黏結之後的角速度為黏膠形成一個薄圓環，其轉動慣量為m2R2，所以系 統的角動量為(J 1 + m2R2) 由角動量守恆得 J110 m2v20h = (J1 + m2R2); ) = J110 m2v20hJ 1 + m2R2 2-9質量為m1的均勻圓盤在平內以速度0無摩擦的轉動，圓盤邊緣停著 隻質量為m2蟲如果蟲爬到圓盤的中，圓盤的速度變為多？ 解答：令圓盤的半徑為R，小蟲在邊緣時，係統的總轉動慣量為 J0 = 12m1R2 + m2R2 小蟲爬到圓盤的中心後，其轉動半徑為零，故系統的總轉動慣量為J = 12m1R2 在小蟲爬行過程中，無外力矩，所以系統總角動量守恆， J00 = J; = m1 + 2m2m 1 0 2-10平的均勻圓盤質量為m，半徑為R1，可以繞中垂軸無摩擦的轉動；圓盤上有 個質量為m的；開始時，係統靜不動當在圓盤上繞中軸以半徑R2轉動 29 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 時，圓盤必然倒轉若相對於圓盤的速率是v，問圓盤倒轉的速度多？ 解答：設人對地的角速度為20，圓盤對地角速度為10，則人相對於圓盤的角 速度為 21 = 20 10 = v=R2 圓盤的轉動慣量為mR21=2，人的轉動慣量為mR22根據角動量守恆有 1 2mR 2 1 10 + mR 2 2 20 = 0 聯立上述二式消去20，可得到 j10j = 2R2v2R2 2 + R21 轉動能量 2-11如下圖所，定滑輪半徑為r，轉動慣量為J；軟繩與滑輪之間無相對滑動，滑 輪的輪軸處無摩擦；彈簧的勁度係數為k；系統剛開始處於靜狀態且彈簧無變形 計算物體m的最下落速率以及最下落距離 m v J 總習題2-11圖 解答：重物下落過程中，衹有彈簧和重力做功，機械能守恆設下落高度h時， 重物的速率為v，則滑輪的角速度為 = v=r，以剛開始下落的位置作為彈性勢 能和重力勢能的零點，則有 0 = 12mv2 + 12J2 + 12kh2 + ( mgh) 化簡為1 2(m + J=r 2)v2 = mgh 1 2kh 2 ( ) 在下落過程中，首先是重力大於彈性力，加速下落；然後彈性力大於重力，減 速下落； 當彈性力等於重力時，加速度為零，下落速度最大，即mg = kh; h = mg=k， 30 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 代入式( )可得最大速率 vm = mgpmk + Jk=r2 當下落的速率v = 0時，下落的距離最大將v = 0代入式( )可得 hm = 2mgk 另解：根據式( )，速率v取得極大值時，等價於式( )右側的二次函數 mgh 12kh2取得極大值該二次函數的圖像是一條開口向下的拋物線，與橫軸 有兩個交點， mgh 12kh2 = 0; ) h1 = 0;h2 = 2mgk 拋物線的最高點必然位於兩個根的中點h = mgk，將它回代式( )即可得到最大 速度vm 因為v2 0，故式( )的右側mgh 12kh2 0，從拋物線的圖像可以看出 0 h 2mgk，h的極大值hm = 2mgk 2-12如下圖所，度為D，質量為M的均勻細棒可以繞端點由轉動，另端固 定個質量為m的球若系統從平位置開始擺動，當擺動時，速度多？ O 總習題2-12圖 解答：系統的總轉動慣量J = 13MD2 + mD2當擺動角時，細棒的重心下降 1 2Dsin，小球重心下降Dsin在下落過程中，重力做功轉化為系統的動能 Mg 12Dsin + mg Dsin = 12J2 將J代入，計算得 = (3M + 6m)gsin (M + 3m)D 另解：利用重力矩做功等於動能增量來求解 系統轉動至任意角度時，棒的重力矩為Mg 12Dcos，球的重力矩為 mg Dcos，重力矩做功 W = 0 d = 0 ( Mg 12Dcos + mg Dcos ) d 31 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 = Mg 12Dsin + mg Dsin 可以看到重力矩做的功與重力做的功，其結果是相同的 用動能定理W = 12J2即可得到最終結論 2-13如下圖所，兩個定滑輪的半徑分別為R1、R2，轉動慣量分別為J1、J2；繩的 質量忽略不計，兩端分別懸掛的重物質量為m1、m2；軟繩與滑輪之間無相對滑動， 滑輪的輪軸處無摩擦，計算重物的加速度a的 J2 J 1 R1R2 m1 m2 a a 總習題2-13圖 解答：利用動能定理求解重物1下落的距離與重物2上升的距離相同，設為h 重力做功等於系統動能的增量 m1gh m2gh = 12m1v2 + 12m2v2 + 12J121 + 12J222 其中1 = v=R1; 2 = v=R2，代入上式得 (m1 m2)gh = 12 (m1 + m2 + J1=R21 + J2=R22)v2 兩邊對時間求導 (m1 m2)gdhdt = 12 (m1 + m2 + J1=R21 + J2=R22)2vdvdt 其中dhdt = v，dvdt = a，代入即可得 a = (m1 m2)gm 1 + m2 + J1=R21 + J2=R22 另解： 設懸掛兩個重物的繩子的張力分別為F1、F2，兩定滑輪之間的水平繩子張 力為F0兩個滑輪的線速度、線加速度相同，但是角速度、角加速度不等 重物1加速下落m1g F1 = m1a (1) 重物2加速上升F2 m2g = m2a (2) 32 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 滑輪1順時針轉動F1R1 F0R1 = J11 = J1a=R1 (3) 滑輪2順時針轉動F0R2 F2R2 = J22 = J2a=R2 (4) 式(1) + (2) + (3) R1 + (4) R2可得 m1g m2g = (m1 + m2 + J1=R21 + J2=R22)a a = m1g m2gm 1 + m2 + J1=R21 + J2=R22 2-14如下圖所，兩個定滑輪通過帶連在起，半徑分別為R1、R2，轉動慣量分 別為J1、J2；帶的質量忽略不計，與滑輪之間無相對滑動；滑輪的輪軸處無摩擦； 若在滑輪上施加為0的外矩，計算該滑輪的加速度的 R1R2 a 0 II I 總習題2-14圖 解答：兩個滑輪的線速度、線加速度相同，但是角速度、角加速度不同 假設滑輪轉過角度1時，兩個滑輪的角速度分別為1; 2根據動 能定理 01 = 1 2J1 2 1 + 1 2J2 2 2 兩個滑輪用皮帶相連，所以其線速度相等 1R1 = 2R2 聯立上述二式消去2可得 01 = 12 ( J1 + J2R 21 R22 ) 21 上式兩邊對時間t求導，可得到 01 = 12 ( J1 + J2R 21 R22 ) 211 消去1， 1 = 0 J1 + J2R21=R22 另解：設上層皮帶的張力為Fu，下層皮帶的張力為Fd兩個滑輪的切線加 速度相等R 11 = R22 = a (1) 33 2015年適基礎物理學講義習題解答第2章廣延物質學 令順時針轉動為正向，對於滑輪 0 + (Fd Fu)R1 = J11 = J1a=R1 (2) 對於滑輪 (Fu Fd)R2 = J22 = J2a=R2 (3) 式(2) R1+式(3) R2可得 a = 0=R1J 1=R21 + J2=R22 角加速度 1 = aR 1 = 0J 1 + J2R21=R22 流體 2-15以初始速率v0從直徑為d0的管中豎直流出，在下落過程中速度變，直徑 變細當下落度h時，直徑多？ 解答：下落高度h時， v21 v20 = 2gh; v1 = v20 + 2gh 根據連續性v0 (d20=4) = v1 (d21=4)， d1 = d0 v 0 v1 1=2 = d0 v 0p v20 + 2gh 1=2 2-16有個柱形容器，橫截積為S0，裝載密度為的液體在容器的底部鑽個 積為S的孔，當容器中液體的深度為h時，從孔中流出的液體速度v多？ 解答：根據連續性方程v0S0 = vS 根據伯努利方程p0 + 12v20 + gh = p0 + 12v2 從第一式中解出v0，代入第二式得v1 = 2gh 1 (S0=S)2 2-17來管從地延伸樓頂地部分內徑4 cm，流速2 m=s，壓強3 105 Pa； 樓頂的度為5 m，管內徑2 cm，計算樓頂管中的壓重加速度取 g = 10 m=s2 34