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北京工商大学高等数学试题及答案（一） 一、选择题： 。 1 极限 x x x 2 sin lim 等于 （ ） A 0 B 2 1 C 1 D 2 2 设 ) (x f 为连续函数，则 dx x f dx d ) ( 等于 （ ） A C x f + ) ( B C x f + ) ( C ) (x f D ) (x f 3 设常数 0 k ，则级数 = 1 2 ) 1 ( n n k n 为 （ ） A 条件收敛 B 绝 对收敛 C 发散 D 收敛性与 k 有关 4 方程 2 2 y x z + = 表示的二次曲面是 （ ） A 椭球面 B 柱面 C 圆锥面 D 抛物面 5 设函数 ) (x f 在 b a, 上连续， 在 ) , ( b a 内可导， ) ( ) ( b f a f = ， 则曲线 ) (x f y = 在 ) , ( b a 内平行于 x 轴的切线 （ ） A 仅有一条 B 至少有一条 C 不一定存在 D 不存在 二填空题： 6 设 ) ( ( , 1 ) ( x f f x x f 则 = = 7 极限 4 6 lim 2 2 2 + x x x x = 8 由曲线 1 , 1 , 0 , 3 = = = = x x y x y 所围图形的面积为 9 曲线 x x x y = 2 3 3 的拐点坐标为 10设 2 x 为 ) (x f 的一个原函数，则 ) (x f = 11 设平面 过点（1 ，0 ，1 ）且与平面 0 8 2 4 = + z y x 平行，则平面 的方程 为 12设 ) 2 ln( x y x z + = ，则 ) 0 , 1 ( x z = 13交换二次积分次序： 1 0 0 ) , ( x dy y x f dx = 14幂级数 = 1 2 ) 2 ( n n x n 的收敛半径为 15微分方程 0 = + y y 的通解为 三、计算题： 16 计算 2 0 2 lim x e e x x x + 17 计算 x x x x 1 0 2 2 lim + 18 设函数 + = = f x x f ， 所以 1 = x 为 ) (x f 的极小值点 ) (x f 的极小值为 ) 1 2 (ln 2 1 ) 2 ln 1 ( 2 1 1 ) 1 ( = + + = f 27设曲线 ) (x f y = 上任一点 ) , ( y x 处的切线斜率为 2 x x y + ，且该曲线经过点 2 1 , 1 （1）求函数 ) (x f y = ； （2）求由曲线 ) (x f y = ， 1 , 0 = = x y 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 解 ：（ 1） 2 2 1 , x y x y x x y dx dy = + = ， + = C dx e x e y dx x dx x ) 1 ( 2 ) 1 ( + = C x x 2 2 1 ， 由 2 1 1 = = x y 知 0 = C ，故 3 2 1 ) ( x x f = （2） = 1 0 2 ) ( dx x f V = = 1 0 6 28 4 dx x 28 设平面薄板所占 xOy 平面上的区域 D 为 0 , 0 , 4 1 2 2 + y y x ，其面密度为 2 2 ) , ( y x y x + = 求该薄板的质量 m 解法一 = D d y x m ) , ( + = D dxdy y x ) ( 2 2 在极坐标系下，区域 D 可表示为： 2 1 , 2 0 r 因此 = 2 1 3 2 0 dr r d m 8 15 ) 1 2 ( 8 4 = = 解法二 = D d y x m ) , ( + + + = + = 2 2 2 4 0 2 2 2 1 4 1 2 2 1 0 2 2 ) ( ) ( ) ( x x x D dy y x dx dy y x dx dxdy y x dx y y x dx y y x x x x 2 2 2 4 0 2 1 3 2 4 1 1 0 3 2 3 3 + + + = 8 15 =