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习 题解答 1. 利用 4f系统做阿贝波特实验，设物函数t （x 1 ，y 1 ）为一无限大正交光栅 = )comb()rect()comb()rect(),( 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 11 b y a y bb x a x b yxt 其中 a 1 、 a 2 分别为 x、 y方向上缝的宽度，b 1 、 b 2 则是相应的缝间隔。频谱面上得到 如图 1（a ）所示的频谱。分别用图 1（b ）（c ）（d ）所示的三种滤波器进行滤波，求输 出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （a ） （ b） （c ） （d ） 图 1 （题 1 图） 答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( f x , f y ) = t ( x 1 , y 1 ) = 1 1 b )rect( 1 1 a x )comb( 1 1 b x 2 1 b )rect( 2 1 a y )comb( 2 1 b y 将函数展开得 T ( f x , f y ) = + )()sinc()()sinc()sinc( 11 1 11 1 1 1 1 b 1 b 1 - xxx f b a f b a fa b a + )()sinc()()sinc()sinc( 22 2 22 2 2 2 2 b 1 b 1 - yyy f b a f b a fa b a （1 ） 用滤波器（b ）时，其透过率函数可写为 1 1 1 11/ 0 (, ) 01/ xy xy fbf Ff f fbf = = = = 任何值 滤波后的光振幅函数为 TF = )()()sinc( 111 1 1 1 b 1 b 1 - + xx ff b a b a 输出平面光振幅函数为 t（ x 3 ，y 3 ）= -1 TF = )(exp)()expsinc( 1 3 1 3 1 1 1 1 b 2 - b 2 x j x j b a b a + = )(cos)sinc( 1 3 1 1 1 1 b 22 x b a b a 输出强度分布为 I（x 3 ，y 3 ）= )(cos)(sinc 1 32 1 12 2 1 2 1 b 24 x b a b a = )cos()(sinc 1 3 1 12 2 1 2 1 b 42 x b a b a - C 其中 C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。 （2 ）用滤波器（c ）时，其透过率函数可写为 1, (, ) 00 xy xy xy ff Ff f ff 0 = = = 滤波后的光振幅函数为 TF = + )()sinc()()sinc( 11 1 11 1 1 1 b 1 b 1 - xx f b a f b a b a + )()sinc()()sinc( 22 2 22 2 2 2 b 1 b 1 - yy f b a f b a b a 输出平面光振幅函数为 t（ x 3 ，y 3 ）= -1 TF = )(rect 1 3 1 1 a x b )comb( 1 3 b x - )rect( 1 3 1 1 b x b a 2 )(rect 2 3 2 1 a y b )comb( 2 3 b y - )rect( 2 3 2 2 b y b a 输出强度分布为 2 33 33 (, ) (, )I xy txy= 有两种可能的结果。 （3 ）用滤波器（d ）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂 直，周期为b ，它与物光栅周期b 1 、b 2 的关系为 2 2 2 1 111 bb b += （1）在频谱面上可放一可调狭缝，逐步缩小狭缝，使只有 0 级、1 级衍射通过，像 面上光栅像变为正弦形，光栅间距不变。这一变化目测不易察觉，如用感光片记录条纹，则 可看到黑白条纹之间不再有明显界限而是逐步渐变。 （2）进一步缩小狭缝，仅使 0 级衍射通过，这时像面上虽有亮斑，但不出现光栅像。 （3）在谱面上加光阑，使 0 级，2 级衍射点通过，则像面上的光栅像的空间频率加 倍。 （4）用光阑挡去 0 级衍射而使其他衍射光通过，则像面上发生反衬度的半反转，即原 来暗条纹的中间出现细亮线，而原来亮条纹仍然是亮的。 2. 采用图 1（b ）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线 密度为 100 线/mm ，滤波器仅允许 + 2 级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。 答：根据对 1 题的分析，当滤波器仅允许 + 2 级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为 t（x 3 ）= -1 )()()sinc( 111 1 22 - b f b f b a xx + = 1 3 1 1 1 1 42 b x b a b a cos)c(sin 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的 2 倍。而干板记录到的是强度分布： I = 1 32 1 12 2 1 2 1 44 b x b a b a cos)(sinc 3 = 1 3 1 12 2 1 2 1 82 b x b a b a cos)(sinc - C 其中 C 是一个常数。 故干板上记录到的光栅频率是基频的 4 倍，即 400 线 /mm。 3 如图 2 所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比较均匀 的照明光场，试说明其原理。 针孔 激光器 L 1 L 2 题 3 图 2 答：在 3 图中，激光器通过两透镜产生平行光时会出现不均匀照明的主要原因常常是激光器 出射窗口及第一个透镜L 1 表面上污物，使光束产生衍射造成的。这些衍射光不会会聚到L 1 焦 点处，实际上是光束的高频分量。在针孔光栏的作用下，除了焦点处的光以外的高频分量均 不能通过L 2 传播出去，就会减少造成光束不均匀的衍射光，从而减少照明光场中的不均匀。 4. 光栅的复振幅透过率为 t（x ） = cos 2 f 0 x 把它放在 4f 系统输入平面P 1 上，在频谱面P 2 上的某个一级谱位置放一块/ 2 位相板， 求像面的强度分布。 答：将复振幅透过率函数变换为 t（ x）= cos 2 f 0 x = 1+cos 2 f 0 x / 2 其频谱为 T（f x ）= t（x ） 4 2 1 = （f x ）+ 2 1 cos 2 f 0 x = 2 1 （f x ）+ 4 1 （f x - f 0 ）+ 4 1 （f x + f 0 ） 其中第一项为零级谱，后两项以次为+1 级和-1 级谱。设将/ 2 位相板放在+1 级谱上，其透过率表达为 H（f x ）= exp （ j） 则频谱面P 2 后的光振幅变为 T= T H = 2 1 （f x ） + 4 1 （f x - f 0 ）exp（ j） + 4 1 （f x + f 0 ） = 2 1 （f x ） - 4 1 （f x - f 0 ）+ 4 1 （f x + f 0 ） 像平面光场复振幅为 t（x ） = -1 T = 2 1 - 4 1 exp（j 2f 0 x 3 ）+ 4 1 exp（- j2f 0 x 3 ） = 2 1 - 2 1 j sin（2 f 0 x 3 ） 像平面强度分布为 I = t（x ） 2 = t（ x） t（x ） = 4 1 1- j sin（ 2f 0 x 3 ）1+ j sin（2 f 0 x 3 ） = 4 1 + 4 1 sin 2 （2 f 0 x 3 ） 像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小 1 倍，振幅减小 4 倍，本底也有所变化， 并且出现图形的横向位移，位移量为 1/2 周期。 5. 在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A 、B 置于输入 平面P 1 原点两侧，其振幅透过率分别为：t A （x 1 - l，y 1 ）和 t B （xB 1 + l， y 1 ）；P 2 平面上光 栅的空间频率为f 0 ，它与l 的关系为：f 0 = l /f ，其中和f 分别表示入射光的波长和透 镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的 1/4 处，光栅的振幅透过率表示为： 5 22 02 02 1 (, ) 1exp (2 ) 22 exp (2 ) 2 Gx y j fx jfx =+ + + + 试从数学上证明： 1）在输出平面的原点位置得到图象 A、B 的相减运算； 2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 证明：（1 ）用一维正弦光栅实现两个图像相加或相减的相干处理系统，在本题中输入面坐标 为 11 (, )x y ，光栅面即频谱滤波面坐标 22 (, )x y ，为了使输出为原图像而不是放大或缩小的图 像相加减需 23 f f=f，同时为统一用下标表示光场平面坐标，将输出坐标记为 33 (, )x y 。 不失一般性，假设对输入面的垂直照明光束为振幅为 1 的平面波，因而输入面上出射的 光场复振幅分布即为 11 1 (,)(, AA tx ly tx ly+ 1 ) 经过透镜 做傅立叶变换 2 L 22 (, )x y 平面上得到的光场复振幅分布为： 22 11 11 ( , ) ( , ) (, ) (, ) xx j lf j lf AB AxyBxy Ftxly txly Tffe Tffe + = + 式中 11 (, ) AA TFtxy= 11 (, ) BB TFtxy= 且 2 x x f f = 2 y y f f = 通过原点置于周期的 1/4 处的光栅以后，透过的光场复振幅分布为： 02 02 (2 ) (2 ) 22 22 1 (, ) (, ) 1 2 xx jfx jfx jlf jlf Axy Bxy Tffe Tffe e e + + + (2 ) (2 ) 22 22 1 (, ) (, ) 1 2 xx xx jlf jlf jlf jlf Axy Bxy T f fe T f fe e e + =+ 这是因为 0 l f f = ，进一步展开应当有六项，但其中四项将含有带变量 x f 的指数项，在做 第二次傅立叶变换时会产生不位于 33 (, )x y 面中心的 函数，与图像卷积产生不在原点处的 图像，可以不予考虑，余下两项为： 6 22 (, ) (, ) j j Axy Bxy Tffe Tffe + 再经过 的傅立叶反变换得到： 3 L 222 33 33 33 33 (,) (,) (,) (,) jjj AB AB txye txye e txy txy += 常系数对于图像相减不产生影响， 因此在 33 (, )x y 面原点处得到的是图像 A和 B的相减结果。 （2 ）当光栅原点与坐标原点重合时，振幅透过率为 02 02 22 22 1 (, ) 1 2 jfx jfx Gx y e e =+ + 输出面上相应两项为 1 33 33 (, ) (, ) (,) (,) Axy Bxy A B FTff Tff txy txy +=+ 因而得到相加减运算。证毕。 6 如何实现图形O 1 和O 2 的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 答：第一步，制作O 1 的傅里叶变换全息图，光路如下： (x 1 ，y 1 ) L (x 2 ，y 2 ) O 1 R -b H f f 全息图 H 的透过率为 t H = | m 1 | 2 + R 0 2 + R 0 m 1 （f x ，f y ）exp_ -j 2f x b +R 0 m 1 （f x ，f y ）exp_ j 2f x b 其中m 1 = O 1 ，R 0 为平面参考波的振幅，b 为参考点源的横向位移量。 第二步，进行卷积运算。在 4f系统中，将O 2 置于输入平面（x 1 ， y 1 ），全息图置于 频谱平面（x 2 ，y 2 ），如图 x 1 ,y 1 x 2 ,y 2 L 1 H L 2 O 1 O 2 O 2 (x 1 ,y 1 ) O 2 几何像 7 O 1 O 2 f 1 f 1 f 2 f 2 x 3 ,y 3 频谱面后的光场为 U H = O 2 t H = m 2 | m 1 | 2 + R 0 2 + R 0 m 1 （f x ，f y ）exp_ -j 2 f x b +R 0 m 1 （f x ，f y ）exp_ j 2f x b 输出平面光场为 O 2 -1 t H = R 0 2 O 2 + O 1 O 1 O 2 + R 0 O 1 (x 3 -b，y 3 )O 2 + R 0 O 1 (-x 3 -b，- y 3 )O 2 式中第三项即为O 1 和O 2 的卷积运算，位置在x 3 = b处。 7 在 4f 系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 g / x ，若输入图象 g 在 x 方向的 宽度为 l，光栅频率应如何选取？ 答：设复合光栅的空间频率为f 0 和f 0 +，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像， 两个正一级像的位相差等于，它们离零级像的角间距 1 、 2 分别由下式确定 sin 1 = f 0 ， （1 ） sin 2 =（ f 0 +） （2 ） 因而正一级像离零级像的线间距分别为 l 1 = sin 1 f （ 3） l 2 = sin 2 f （ 4） 其中 f 是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是 l 1 - l 2 l / 2 （l 为物的宽度） （5 ） 将（1 ）、（2 ）两式代入（3 ）、（4 ）两式，再代入（5 ）式，得到 l 1 - l 2 = f l / 2 f l 2 （6 ） 因而复合光栅的空间频率差应满足（6 ）式关系，才能得到微分图像。 8 8 用 4f系统通过匹配滤波器作特征识别，物g （x ，y ）的匹配滤波器为G *（ f x ，f y ） ，当 物在输入平面上平移后可表示为g （x - a ， y - b），求证此时输出平面上相关亮点的位置 坐标为x i = a，y i = b。 证明：在 4f系统中，匹配滤波器置于滤波平面f x 上，匹配滤波器的振幅透过率 *( , ) ( , ) xy Gff gxy=F 当物在输入面上平移后形成的输入光场为 G(x-a,y-b) 则在 4f 系统的滤波平面上有序的输入频谱为 2( ) (, ) (, xy jafbf ) x y gx ay b e Gf f + = F 通过匹配滤波器以后成为 2 2( ) (, ) xy jafbf xy eGf + 再通过第二个透镜在傅立叶反变换，在如图的倒置 X0 坐标中光场分布为 2 2( ) (, ) ( , )*(,) (,) xy jafbf -1 xy eGf xaybgxyg + =F xy ) 方括号内为 g(x,y)的自相关，与 (,x ay b 卷积说明该自相关即相关亮点的峰值将位于 , ii x ay b=的位置上。证毕。 9 用一个单透镜系统对图象进行调制假彩色编码，如图 3 所示。已知调制物O m 的 光栅空间频率为 100 线/mm ，物离透镜的距离为 20cm，图象的几何宽度为 6 6cm， 试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波 长范围为 650.0444.4nm ）。 L 频谱面 O 白光 O m d f 图 3（题 9 图） 答：设： f 0 = 100 线/mm ， d = 20cm， ab = 66cm， max = 650 0nm， min = 444 4cm， 而调制物O m 的最大线度为 2l =（a 2 +b 2 ） 1/2 = 62cm l = 32cm 9 欲在频谱面上进行成功的滤波操作，必须使所有物点的一级衍射波都能进入透 镜，最大衍射角 max 应与 max 相应，即 sin max / f 0 = max 由几何关系得到 sin max = （ / 2） - l / d 所以有 = 2 df 0 max + l 代入数据，得 = 110 85mm 111mm 故透镜孔径至少应达到 111mm，才能保证在频谱面上进行成功的滤波操作。 10
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