改后第四章概率论习题奇数答案.doc

第四章概率论习题_奇数.doc 1 某批产品共有件，其中正品件（）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了次（）。试求这次中抽到正品的平均次数。解 每次抽到正品的概率为：，放回抽取，抽取次，抽到正品的平均次数为：3设随机变量的概率密度为 ，这时称服从标准柯西分布。试证的数学期望不存在。解 由于：所以的数学期望不存在。5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为（）。表示到时刻为止质点向右移动的次数，表示在时刻时质点的位置，。求与的期望。解 每次向右移动的概率为，到时刻为止质点向右移动的平均次数，即的期望为：时刻质点的位置的期望为：7 某信号时间长短（以秒计）满足：，。用两种方法求出。解 方法 1：由于，所以为非负随机变量。于是有：方法二：由于，所以，可以求出T的概率函数：于是9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q，现随机的将此棍子截成两段。（1） 求包含Q点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q点，则认为Q包含在较短的一截内）；（2） 当位于棍子何处时，包含点的棍子平均长度达到最大？解 设棍子上的点是在0,1之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从0,1的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则：，于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：11、为诊断人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（）每个人化验一次；（II）分成人一组（共组，假设为正整数，）。将每组人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这人中至少有一人患病，那么就对该组内的人再单独化验。如果此病的得病率为，试问哪种方法的检验次数相对少些？解 (I)每个人化验一次，需要化验500次（II）分成k组，对每一组进行化验一共化验次，每组化验为阳性的概率为：，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：。将（II）的次数减去（I）的次数，得：于是：当时，第二种方法检验的次数少一些；当时，第一种方法检验的次数少一些；当时，二种方法检验的次数一样多。13、某电子监视器的圆形屏幕半径为（），若目标出现的位置点服从均匀分布。设的平面直角坐标为。（）求与；（）求点与屏幕中心位置的平均距离。解 由题意知：，（1） 计算可得（2） A的位置是，距中心位置（0，0）的距离是：，于是所求的平均距离为： 15、接第13题，求当横坐标为时，纵坐标的条件期望。解 于是：17、 某技术考试，成绩必为0,1，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性相同。第一次考试，若考生成绩为，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩不低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。（1）求最终的平均成绩；（2）求。解：由题意知 ，其中。于是从而于是：又从而19、随机变量服从分布，概率密度函数为，其中，称为“形状参数”，称为“尺度参数”。求（）和。解 21、 机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。如果机器运作正常，则产品的正品率为98%；如果机器老化，则产品的正品率为90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为74%。机器正常运作的概率为0.7，老化的概率为0.2，需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立），求（1） 产品中非正品数的期望与方差；（2） 在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。解 (1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：，用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有：（参考77页的例4.2.5）（3） 用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是23、 设随机变量和独立，且方差存在，证明：解 证明：25、 接第20题，（1）求与的相关系数，并判断两者是否相关；（2）判断与是否独立？解（1）由相关系数的定义，得：，其中通过计算得，即，从而说明是不相关的。（2）很显然，不是相互独立的。27、随机三角形ABC，角A与角B独立同分布，其分布律均为 A P 其中，且满足。已知。（1） 写出的联合分布律；（2） 求；（3） 求角A与角C的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关）。解（1）由题意得：，结合已知条件，可求出：，由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为： A B P(A=i) 1/16 1/8 1/16 1/4 1/8 1/4 1/8 1/2 1/16 1/8 1/16 1/4（2）（3），其中所以：，说明A和C是负相关的。29、 设，的可能取值为，且（），若和相互独立，并记。（1）证明：；（2）计算，并判断与的相关性和独立性。解 （1）证明：由于和相互独立，于是由题意得从而有（2）当时，和是不相关的；当，即时，说明和是正相关的当，即时，说明和是负相关的显然，和是 不独立的31、求参数为的泊松分布的众数。解 （1）泊松分布的表示式为：，于是通过计算有：故：因此若为正整数，则众数为和-1；当不为正整数时，则众数为的整数部分。33、 三元正态变量，其中，。（1） 写出的每个分量的分布；（2） 判别，的相关性与独立性；（3） 若，求的分布。解 （1）由题意可知：，说明 ，说明 ，说明 （2）对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立。由于，所以与相关且不独立 由于，所以与相关且不独立由于，所以与不相关且独立从而（由88页性质4）可以判断出，与不相互独立（3）计算有，于是，其中，