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第四章 习题答案4-1 0j-0.25o-0.5-3图4-1 （1）0j-0.25o-1o-图4-（2） 0j-0.25-0.5图4- （3） 0j-0.25-3o-0.51-1-1图4-（4）4-2 （1） （不在根轨迹上，舍去）（2） （先可估算，在此基础上试探出结果）（）4-3 解： 根轨迹的分支数为：由于n=，m=0，系统有三条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-j, p2=-j；三条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为： ,- 根轨迹的渐近线：本系统有三条根轨迹渐近线： 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：，将代入方程解得：根轨迹在p2，p3处的起始角：，而 60o -60o p1 p2p3 -2/3-1j图4-5根轨迹图因此，概略画出系统的轨迹如图4-示。4-4 解：系统的开环传函为： 根轨迹的分支数为：由于n=，m=，系统有二条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-；一条根轨迹分支趋于z=-4,一条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为： 0,-2 ,-4,- 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：图4-6根轨迹图ojd1d2 ,解得：因此，概略画出系统的轨迹如图4-6示。由根轨迹图求出在分离点d1 ，d2处的开环增益为：,由根轨迹图可知，系统无超调时的开环增益为：和。4-5 解：系统特征方程为：，其等效开环传函为：，根据分离点求法，有关系式：，得：解得：可见，系统若有分离点，其条件为上式根号内的值大于零，即：和。1） 当a=1时，系统的开环传函为：，系统的根轨迹为虚轴，如图4-7示。此时系统没有分离点。2） 当a=9时，系统的开环传函为：，有三条根轨迹，其渐近线为：，其分离点为：，其根轨迹如图4-8示，可见系统有一个分离点。3）当 时：系统根轨迹的渐近线与实轴的交点为：，此时系统根轨迹如图4-9示，可见无分离点。4）当时：由根轨迹分离点表达式可见：，而，不在根轨迹上，舍去，因此只有一个分离点，根轨迹如图4-10示。5）当时，式中根号内部值小于零，无实数解，因此没有分离点。系统根轨迹如图4-11示。6）当时，分离点有两个解，其根轨迹如图4-12示。结论：由以上分析可知：1）当 时，系统根轨迹无分离点。2）当 时，系统根轨迹有一个分离点。3）当 时，系统根轨迹有二个分离点。j0-1-9-4-3图4-8j图4-7j0-1图4-9-aj0-1-a图4-12j0-1图4-10-a-9j0-1图4-11-a4-6 1）解： 根轨迹的分支数：由于n=4，m=0，系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-3，p3=-5,p4=-5；四条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为： 0,-3 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程： ,解得：（舍去） 根轨迹的渐近线：本系统有四条根轨迹渐近线： 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：，将代入方程解得：，系统的根轨迹方程如图4-13示。-3.25-5-1-3j图4-13 2）解： 根轨迹的分支数：由于n=4，m=1，系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0，p3=-5,p4=-12；三条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于z=-1。 实轴上的根轨迹为： -1,-5 ，-12,- 根轨迹的渐近线：本系统有三条根轨迹渐近线：系统的根轨迹方程如图4-14示。图4-14根轨迹图-5 -1 j0 4-7 1）解： 根轨迹的分支数为：由于n=3，系统有三条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-3， p2=-4；二条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于z=-5。 实轴上的根轨迹为：0,-3，-4,-5 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程： 解得： 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线：系统的根轨迹方程如图4-15示。j0-41图4-15-5-3d-11 2）解： 根轨迹的分支数为：由于n=2，系统有三条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=-1+j,p2=-1-j；g一条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于z=-2。 实轴上的根轨迹为：-2,- 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程： 解得：图4-16 根轨迹图j-1od-2j-j 根轨迹的渐近线：本系统有一条根轨迹渐近线：负实轴。系统的根轨迹方程如图4-16示。3）解： 轨迹的分支数为：由于n=4系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=-1+j,p3=-1-j，p4=-3；四条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为：0,-3 根轨迹的渐近线：本系统有四条根轨迹渐近线： 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：，将代入方程解得：。图4-16 根轨迹图-5d1-1.25jp2 根轨迹在p2处起始角：系统的根轨迹方程如图4-16示。4）解： 轨迹的分支数为：由于n=4系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0,p3=-12，p4=-12；二条根轨迹分支趋于无穷远处，二条根轨迹终于z1=-6+j5，z2=-6-j5。 实轴上无根轨迹。 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线：图4-17 根轨迹图z1-6j00-12z2系统的根轨迹方程如图4-17示。 5）解： 轨迹的分支数为：由于n=4系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0,p3=-12，p4=-12；二条根轨迹分支趋于无穷远处，二条根轨迹终于z1=-4，z2=-8。 实轴上的根轨迹为：-4,-8 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线： 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程： 解得：系统的根轨迹方程如图4-18示。图4-18 根轨迹图-8-4j00-124-8 jooa)joob)jooc)jood)图4-20 根轨迹图4-9单位反馈系统的开环传递函数为证明：复数根轨迹部分是以（2，j0）为圆心，以为半径的一个圆。解：由系统传函数可知，该系统的特征方程为：，解得：令：，由的表达式可得：，将其代入的表达式，有：，化简得：，可见，复数根轨迹部分是以（-2，j0 ）为圆心，以为半径的一个圆。根轨迹如图4-21示。图4-21 根轨迹图o12jd1d24-10解：系统有两条根轨迹，其起点为：0,-2；终点为无穷远处。实轴上的根轨段为：0,-2，迹根轨迹的渐近线为：作出系统的根轨迹如图4-22示。由可求得，在根轨迹图上作的阻尼线，使其与实轴负方向的夹角为，交根轨迹于点：（,j），根据根轨迹的模值方程，有：-2-10j60o 图4-22 系统根轨迹图4-11用MATLAB绘制题4-3的根轨迹。num=1 ;den=conv(1 0, 1 2 2);rlocus(num,den)axis(-5 5 -5 5);grid on 图4-2 系统根轨迹图4-12 用MATLAB绘制题4-9的根轨迹，验证其根轨迹复数部分为一个圆。num=1 2;den=conv(1 0, 1 1);rlocus(num,den)axis(-4 2 -5 5);grid on图4-24 根轨迹图
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