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昌平区20172018学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2018.1本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若集合，则A. B. C. D. 2A. B. C. D. 1开始否是输出结束3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为A43 B. 55C. 61 D. 814设满足 则的最大值为 A B. 2 C. 4 D. 165.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为2主视图左视图俯视图112 A. 1 B. C. 2 D. 6.已知函数则函数A是偶函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是增函数C. 是偶函数，且在上是减函数 D. 是奇函数，且在上是减函数7. 设，则“”是“”的A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9. 的二项展开式中的系数为 10. 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为 .11. 已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是 .12. 已知，,点E是AB边上的动点，则的值为 ；的最大值为 .13. 某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有 种. 14若函数 （且），函数.若，函数无零点，则实数的取值范围是 ；若有最小值，则实数的取值范围是 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题13分）已知等差数列的公差为1，且成等比数列. （）求数列的通项公式；（）设数列，求数列的前项和.16. （本小题13分）在中，（）求角的大小；（）若，求的值17. （本小题13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图： 图1：甲大学 图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 (分钟/天)等级一般爱好痴迷()从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；()从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望；()试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小(只需写出结论)18.（本小题14分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，为正三角形，且侧面PAB底面ABCD，为线段的中点，在线段上.（I）当是线段的中点时，求证：PB / 平面ACM；（II）求证：；（III）是否存在点，使二面角的大小为60，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19.（本小题14分）已知函数，.（I）当a = 2时，求曲线y =在点( 0，f (0) )处的切线方程；（II）求函数在区间0 , e -1上的最小值.20.(本小题13分) 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前项和为,规定：若,使得（），则称为该数列的“佳幂数”.（）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足70的最小的“佳幂数”;（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.昌平区20172018学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)题号12345678答案DBCCBCAB二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. 21 10. 11. 212. ; 13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分 14. ； 三、解答题(共6小题，共80分)15.（共13分）解：（）在等差数列中，因为成等比数列，所以 ，即 ， 解得. 因为 所以所以数列的通项公式. 6分 （）由（）知, 所以. 得 13分16. （共13分）解：（I）因为，所以，由正弦定理，得 又因为 ，所以又因为 ， 所以 6分（II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得 .因为 ，所以 . 13分17. （共13分）解：() 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为. 3分() 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，所以，随机变量的取值为.所以，.所以的分布列为012P的数学期望为 . 10分() ;. 13分18. （共14分）（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点. 又因为M为PD的中点，所以MH / BP.又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.所以 PB / 平面ACM. 4分（II）证明：因为为正三角形，E为AB的中点，所以PEAB . 因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PE平面PAB，所以PE平面ABCD.又因为平面，所以. 8分DABCPEzxy() 因为ABCD是菱形，ABC60，E是AB的中点， 所以CEAB . 又因为PE平面ABCD，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则， 10分假设棱上存在点，设点坐标为，则，所以，所以，设平面的法向量为，则，解得令，则，得因为PE平面ABCD，所以平面ABCD的法向量，所以因为二面角的大小为60，所以，即，解得，或（舍去）所以在棱PD上存在点，当时，二面角的大小为60 14分 19. （共14分）解：（I）f (x)的定义域为. 1分因为，a = 2，所以，.所以 函数f (x)在点处的切线方程是 . 4分（II）由题意可得 .（1）当时，所以在上为减函数，所以在区间上，. 6分(2) 当时, 令，则， 当，即时，对于， 所以f (x)在上为增函数， 所以. 当，即时，对于，所以f (x)在上为减函数，所以. 当即时，当x变化时，的变化情况如下表：0-0+极小值所以 . 13分综上，当时，；当时，；当时，. 14分20. （共13分）（）1，2，3； 3分（）由题意可得，数列如下：第1组:1，第2组:1,2；第3组：1,2,4； 第k组：. 则该数列的前项的和为:，当时，则 ，由于，对，故50不是“佳幂数”. 7分（III）（i）在中，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分项的和，设所以，则，此时，所以对应满足条件的最小“佳幂数”. 11分（ii）由（i）知：当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，所以，该数列的“佳幂数”有无数个. 13分11
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