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第四章,随机变量的数字特征,一、随机变量的数学期望,三、数学期望的性质,二、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节数学期望,1.离散型随机变量的数学期望,一、随机变量的数学期望,关于定义的几点说明,(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.,(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.,(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,试问哪个射手技术较好?,例1谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,例2如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金,想投资于某项目,欲估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否作此项投资?,解,设X为投资利润,则,存入银行的利息:,故应选择投资.,例3,解,例4二项分布,则有,设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为,则两点分布b(1,p)的数学期望为p.,=np,例5泊松分布,则有,例6几何分布,则有,2.连续型随机变量数学期望的定义,定义4.2,设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,解,因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.,例7顾客平均等待多长时间?,例8均匀分布,则有,结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.,例9指数分布,则有,例10正态分布,则有,实例11设随机变量X服从,求E(X),解:E(X)=例12设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为求E(X).解:由于积分因此柯西分布的数学期望不存在.,若X为离散型随机变量，分布律为,Y=f(X)为X的函数,则Y的期望为,1.离散型随机变量函数的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,2.连续型随机变量函数的数学期望,若X是连续型的,它的分布密度为p(x)则,3.二维随机变量函数的数学期望,解,例13设(X,Y)的分布律为,1.设C是常数,则有,证明,2.设X是一个随机变量,C是常数,则有,证明,例如,三、数学期望的性质,4.设X、Y是相互独立的随机变量,则有,3.设X、Y是两个随机变量,则有,证明,说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,推广,解,例14*,四、小结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.,2.数学期望的性质,3.常见离散型随机变量的数学期望,4.常见连续型随机变量的数学期望,根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?,例1你知道自己该交多少保险费吗?,备份题,解,设1年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金的期望值应为,若设每人一年须交保险费为a元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知,故每人1年应向保险公司交保险费4元.,解,例2,例3商店的销售策略,解,
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