二阶线性微分方程理论及解法.ppt

34-1,2020/5/22,二阶线性微分方程的理论及解法,一、二阶齐次线性微分方程解的结构,二、二阶非齐次线性微分方程解的结构,三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法,第三节,34-2,2020/5/22,二阶线性微分方程：,时,称为二阶非齐次线性微分方程;,时,称为二阶齐次线性微分方程.,复习:一阶线性微分方程：,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,34-3,2020/5/22,证毕.,一、二阶齐次线性微分方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,（解的叠加原理）,定理1.,34-4,2020/5/22,注：,未必是已知方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解！,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性,相关性的概念.,34-5,2020/5/22,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必须全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,34-6,2020/5/22,两个函数线性相关性的充要条件：,线性相关,线性无关,常数,注：,0与任意函数,必线性,相关,仅相差常数倍！,34-7,2020/5/22,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,为该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,故方程的通解为,推论*.,是n阶线性齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,34-8,2020/5/22,二、二阶非齐次线性微分方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,证毕！,又Y中含有两个独立任意常数，,即y是的解.,34-9,2020/5/22,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,34-10,2020/5/22,推广*.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,34-11,2020/5/22,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,（非齐次方程之解的叠加原理）,34-12,2020/5/22,定理5.,均是方程,的特解.,是方程,的特解，则,34-13,2020/5/22,常数,则该方程的通解是().,设两个不同的函数,都是,一阶非齐次线性方程,的解,是任意,例1.,34-14,2020/5/22,是任意常数,则该方程,设,是二阶非齐次线,性微分方程,的三个不同特解,且,备用1.,的通解是().,34-15,2020/5/22,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,备用2,提示:,线性无关.（反证法可证）,不一定线性无关,34-16,2020/5/22,例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,34-17,2020/5/22,三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,和它的导数只差常数倍,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,34-18,2020/5/22,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,，u(x)待定.,代入方程得:,是特征方程的二重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,34-19,2020/5/22,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,此时微分方程有两个复数解:,利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,34-20,2020/5/22,总结:,特征方程:,实根,34-21,2020/5/22,若含k重复根,若含k重实根r,则其通解中必含,则其通解中必含,特征方程:,推广*：,n阶常系数齐次线性微分方程,34-22,2020/5/22,例3.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例4.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,34-23,2020/5/22,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例5,34-24,2020/5/22,特征根,通解,解,特征方程,例6,9/10,34-25,2020/5/22,例7在下列微分方程中，以,为通解的是(D)(2008考研),34-26,2020/5/22,1、,四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法,2、,根据解的结构定理，其通解为,34-27,2020/5/22,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,34-28,2020/5/22,1、,设特解为,其中为待定多项式,则,化简得,34-29,2020/5/22,(1)若非特征方程的根，,故特解形式为,则Q(x)为m次多项式，,(2)若是特征方程的单根，,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,为m次多项式,故特解形式为,即,即,34-30,2020/5/22,结论,对方程,*注：此结论可推广到高阶情形！(k是重根次数),当是特征方程的k重根时,可设,特解,34-31,2020/5/22,例7.,的一个特解.,解：本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,故设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,34-32,2020/5/22,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例8,34-33,2020/5/22,备用.,的通解.,解：,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,34-34,2020/5/22,例9*.求解,解：,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,对应齐次方程通解为,故原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,34-35,2020/5/22,2、,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路*:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,（欧拉公式）,34-36,2020/5/22,结论:,对非齐次线性方程,可设特解:,其中,*注：此结论可推广到高阶情形！,34-37,2020/5/22,例10.,的一个特解.,解：,特征方程为,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数，得,故特解,因为,34-38,2020/5/22,例11.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数，得,因此特解为,代入得,通解为,为特征方程的单根,故设非齐次方程特解,34-39,2020/5/22,例12*.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,构造下列微分方程的特解形式：,34-40,2020/5/22,内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形*.,34-41,2020/5/22,思考题.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,