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专题18、关于离心率的值与范围问题【专题说明】求圆锥曲线离心率的值或离心率的范围是一个难点问题，很多学生由于不明了之间的内在关系而无所适从，下面结合例题对这一问题加以说明。一、求离心率的值 求离心率的值关键是寻找关于的等量关系，然后再两边同时除以，利用转化为离心率的方程求解。1、对椭圆来说，；2、对双曲线来说，例1、已知椭圆. 若成等差数列,求. 若成等比数列,求.【解析】由已知，解得。由已知，解得。【点评】求离心率的值关键是寻找关于a,b,c的齐次等式，进而两边同时除以转化为关于e的方程。例2、设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,。求椭圆C的离心率。【解析】设A（，B（,F联立得，即，即，解得【点评】本题考查椭圆的性质以及直线和椭圆的位置关系，利用，准确进行式子的变形和求值是解题的难点。二、求离心率的取值范围【方法点拨】（1）求离心率的取值范围关键是寻找关于的不等关系，然后再两边同时除以，利用，转化为离心率的不等式求解。（2）不等关系的寻找主要是利用点在曲线上，点的坐标满足椭圆或双曲线本身的范围。（3）有时要将离心率表示成某一个量的函数，利用函数求值域的方法求解。1、焦半径成比例问题PF1F2例3、已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为( ).A. B. C. D. 【解析】如图，由双曲线的定义，已知，得，又点P在双曲线的右支上，得，选B。【点评】这个问题就是典型的焦半径成比例问题。利用双曲线的定义将焦半径表示为的式子，利用点在双曲线上，点的坐标满足双曲线本身的范围来寻找关于a,b,c的不等式。【练习1】若椭圆上存在点P，使得点P到左右两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是()A， B， C(，1) D，1)【解析】，而，得到的不等关系。选D。2、利用“椭圆焦点三角形面积最大时在短轴端点处取得，此时顶角也最大”. 例4、已知椭圆1(ab0)，若满足的点M总在椭圆内，求离心率范围。【解析】满足的点M在以为直径的圆上，点M总在椭圆内，利用圆外角小于圆周角，所以对椭圆上的任意点P来说，,如图，即.【练习2】椭圆椭圆1(ab0)上满足的点有4个，求离心率范围。， 【解析】需要最大角大于90，即.3、利用“直线与渐近线平行时与双曲线只有一个公共点”.例5、已知双曲线(a0,bb0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A. B. C. D.【解析】方法一：设点，选B.方法二：极限法，让点P运动起来，最值的取得不外乎短轴顶点和长轴顶点，代入验证最大值即可知在长轴端点处，求解即可。5、双曲线的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A(1，3)BC(3，+)D【解析】【方法一】由双曲线的定义，又， ，利用焦半径范围，又e1 ,【答案】选B【方法二】动点临界化思维，让点P运动，到实轴顶点处应该是一个分界点。6、从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b2,4b2，则这一椭圆离心率e的取值范围是_【解析】如图，设点 ，则 ，面积 ，所以，面积最大值为 而根据题意，【点评】本题和专题1的作业5前后呼应。7、过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线的离心率 【解析】由可知A为BF的中点， ，即 【答案】28、已知双曲线的两个焦点为F1，F2，通过左焦点的通径为MN，若双曲线的右顶点总在以MN为直径的圆外，求双曲线离心率的取值范围_【解析】如图，9、已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围 【解析】在中，由正弦定理得(注意到P不与共线)，即由椭圆定义，又点P在椭圆上,（角度不能为0）即，解得【答案】【点评】如果本题改成,则区别是，.同学们学习就要注意这些细微的区别.10、设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【解析】（）根据题设知M（c，错误！未找到引用源。），2错误！未找到引用源。=3ac解得.（）由题意，原点O为错误！未找到引用源。的中点，M错误！未找到引用源。y轴，所以直线M错误！未找到引用源。与y轴的交点D是线段M错误！未找到引用源。的中点，故，即 错误！未找到引用源。 由错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。设N（x，y），由题意可知y0,则错误！未找到引用源。 即错误！未找到引用源。代入方程C，得将以及c=错误！未找到引用源。代入得到解得a=7， 错误！未找到引用源。a=7，错误！未找到引用源。11、设双曲线C：与直线交于不同的两点A，B。()求双曲线C的离心率e的取值范围； ()设直线l与y轴的交点为P，且求a的值【解析】 ()由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解消去y并整理得所以解得0a且a1 双曲线的离心率e0a且a1，e且e即离心率e的取值范围为(，)(，)()设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，即由于都是方程的根，且1a20，所以，消去，得，由于a0，所以a
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