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根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例1、已知函数，且在区间上为增函数（1） 求实数的取值范围；（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围解：（1）由题意 在区间上为增函数，在区间上恒成立（分离变量法）即恒成立，又，故的取值范围为 （2）设，令得或由（1）知，当时，在R上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例2、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：（1）的图像过原点，则 ，又是的极值点，则-1 （2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根（计算难点来了：）有含的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题2：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例3、解：函数的定义域为（）当m4时，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，），单调递减区间为（）x2(m3)xm6, 1要使函数yf (x)在（1，）有两个极值点,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布问题：则， 解得m3例4、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令x4f（x）（xR）有且仅有3个极值点，求a的取值范围解：（1） 当时，令解得，令解得，所以的递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.（2）有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点题3：切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数例5、已知函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围（1）由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极小值，由联立得：， （2）设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为：例6、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数() 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；() 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.解： (). 由, 函数在时有极值 , 又 在处的切线与直线平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为: 由 得点G的横坐标为: 即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为: 另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H , 由 得直线L与AC交点为: , , 所求直线方程为: 或 作业讲解 1、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。（）求的值；（）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；（）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：（）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0得 （）依题意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 当a3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。 12分2.已知函数, 函数,若方程在 上恰有两解, 求实数的取值范围. 解： 令得 ，则此方程在上恰有两解。 记 得 在上，单调递减； 在上，单调递增； 又， . 3.设函数，且为的极值点 () 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）； ()若恰有两解，求实数的取值范围 解： ，又 所以且， （I）因为为的极大值点，所以 当时，；当时，；当时， 所以的递增区间为，；递减区间为 （II）若，则在上递减，在上递增 恰有两解，则，即，所以； 若，则， 因为，则的极大值为， 的极小值为， 从而只有一解； 若，则的极小值为 的极大值为， 则只有一解. 综上，使恰有两解 的的范围为 4、（根的个数问题）已知函数 （1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间； （2）若，讨论曲线与的交点个数 解：（1）2分令得令得的单调递增区间为，单调递减区间为5分（2）由题得即令6分令得或7分当即时此时，有一个交点；9分当即时， ,当即时,有一个交点；当即时，有两个交点； 当时，有一个交点13分综上可知，当或时，有一个交点； 当时，有两个交点14分10
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