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根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步:解不等式(组)即可;例1、已知函数,且在区间上为增函数(1) 求实数的取值范围;(2) 若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围解:(1)由题意 在区间上为增函数,在区间上恒成立(分离变量法)即恒成立,又,故的取值范围为 (2)设,令得或由(1)知,当时,在R上递增,显然不合题意当时,随的变化情况如下表:极大值极小值由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即 ,解得综上,所求的取值范围为根的个数知道,部分根可求或已知。例2、已知函数(1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;(2)若,在(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网解:(1)的图像过原点,则 ,又是的极值点,则-1 (2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,等价于有含的三个根,即:整理得:即:恒有含的三个不等实根(计算难点来了:)有含的根,则必可分解为,故用添项配凑法因式分解, 十字相乘法分解:恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题2:已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法:根分布或判别式法例3、解:函数的定义域为()当m4时,f (x) x3x210x,x27x10,令 , 解得或.令 , 解得可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,),单调递减区间为()x2(m3)xm6, 1要使函数yf (x)在(1,)有两个极值点,x2(m3)xm6=0的根在(1,)根分布问题:则, 解得m3例4、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令x4f(x)(xR)有且仅有3个极值点,求a的取值范围解:(1) 当时,令解得,令解得,所以的递增区间为,递减区间为.当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.(2)有且仅有3个极值点=0有3个根,则或,方程有两个非零实根,所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点题3:切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数例5、已知函数在点处取得极小值4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围(1)由题意得:在上;在上;在上因此在处取得极小值,由联立得:, (2)设切点Q,过令,求得:,方程有三个根。需:故:;因此所求实数的范围为:例6、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数() 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式;() 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.解: (). 由, 函数在时有极值 , 又 在处的切线与直线平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为: 由 得点G的横坐标为: 即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为: 另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H , 由 得直线L与AC交点为: , , 所求直线方程为: 或 作业讲解 1、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。()求的值;()若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f ( x )的解析式;()若方程有三个不同的根,求实数a的取值范围。解:由题知:()由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且= 0得 ()依题意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3()依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 当a3时,方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。 12分2.已知函数, 函数,若方程在 上恰有两解, 求实数的取值范围. 解: 令得 ,则此方程在上恰有两解。 记 得 在上,单调递减; 在上,单调递增; 又, . 3.设函数,且为的极值点 () 若为的极大值点,求的单调区间(用表示); ()若恰有两解,求实数的取值范围 解: ,又 所以且, (I)因为为的极大值点,所以 当时,;当时,;当时, 所以的递增区间为,;递减区间为 (II)若,则在上递减,在上递增 恰有两解,则,即,所以; 若,则, 因为,则的极大值为, 的极小值为, 从而只有一解; 若,则的极小值为 的极大值为, 则只有一解. 综上,使恰有两解 的的范围为 4、(根的个数问题)已知函数 (1)若函数在处取得极值,且,求的值及的单调区间; (2)若,讨论曲线与的交点个数 解:(1)2分令得令得的单调递增区间为,单调递减区间为5分(2)由题得即令6分令得或7分当即时此时,有一个交点;9分当即时, ,当即时,有一个交点;当即时,有两个交点; 当时,有一个交点13分综上可知,当或时,有一个交点; 当时,有两个交点14分10
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