定积分典型例题精讲.doc

定积分典型例题例1 求分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限 解 将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即=例2 =_解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()与轴所围成的图形的面积故=解法2 本题也可直接用换元法求解令=（），则=例3 比较，分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小解法1 在上，有而令，则当时，在上单调递增，从而，可知在上，有又，从而有解法2 在上，有由泰勒中值定理得注意到因此例4 估计定积分的值分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值解 设 , 因为 , 令，求得驻点, 而 , , ,故 ,从而,所以 .例5 设，在上连续，且，求解 由于在上连续，则在上有最大值和最小值由知，又，则由于，故=例6求, 为自然数分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则 解法1 利用积分中值定理设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得, ,当时, , 而, 故 解法2 利用积分不等式因为 ,而,所以 例7 求解法1 由积分中值定理 可知 =，又且，故解法2 因为，故有于是可得又由于因此=例8 设函数在上连续，在内可导，且证明在内存在一点，使分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可证明 由题设在上连续，由积分中值定理，可得，其中于是由罗尔定理，存在，使得证毕例9 （1）若，则=_；（2）若，求=_分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可解 （1）=；（2） 由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得 =例10 设连续，且，则=_解 对等式两边关于求导得，故，令得，所以例11 函数的单调递减开区间为_解 ，令得，解之得，即为所求例12 求的极值点解 由题意先求驻点于是=令=，得，列表如下：-故为的极大值点，为极小值点例13 已知两曲线与在点处的切线相同，其中，试求该切线的方程并求极限分析 两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，解 由已知条件得，且由两曲线在处切线斜率相同知故所求切线方程为而例14 求 ； 分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则解 =注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则例15 试求正数与，使等式成立分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则解 =，由此可知必有，得又由 ，得即，为所求例16 设，则当时，是的（ ）A等价无穷小 B同阶但非等价的无穷小 C高阶无穷小 D低阶无穷小解法1 由于 故是同阶但非等价的无穷小选B解法2 将展成的幂级数，再逐项积分，得到，则例17 证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有证法1 令=，当时，则 = =故单调增加即 ，又，所以，其中从而=证毕证法2 由于单调增加，有，从而 即 =故 例18 计算分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分解 注 在使用牛顿莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件如，则是错误的错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界. 例19 计算分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 解 例20 设是连续函数，且，则分析 本题只需要注意到定积分是常数（为常数）解 因连续，必可积，从而是常数，记，则，且所以，即，从而，所以 例21 设，求, 并讨论的连续性分析 由于是分段函数, 故对也要分段讨论解 （1）求的表达式的定义域为当时，, 因此当时，, 因此, 则=，故 (2) 在及上连续, 在处，由于 , , 因此, 在处连续, 从而在上连续错误解答 （1）求的表达式, 当时，当时，有=故由上可知(2) 在及上连续, 在处，由于 , , 因此, 在处不连续, 从而在上不连续错解分析 上述解法虽然注意到了是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因为当时，中的积分变量的取值范围是，是分段函数，才正确例22 计算分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性 解 =由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是=由定积分的几何意义可知, 故 例23 计算分析 被积函数中含有及，考虑凑微分解 =例24 计算解 =注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试例25 计算，其中解 =，令，则= =注 若定积分中的被积函数含有，一般令或例26 计算，其中解法1 令，则 =解法2 令，则=又令，则有=所以，=注 如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一例27 计算分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式解 设，则=例28 计算，其中连续分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含，然后再求导解 由于=故令，当时；当时，而，所以=，故=错误解答 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式中要求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因此不能直接求导，而应先换元例29 计算分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法解 例30 计算分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法解 = =例31 计算分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法 解 由于， （1）而 ， （2）将（2）式代入（1）式可得 ,故 例32计算分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法解 （1）令，则 （2）将（2）式代入（1）式中得 例33 设在上具有二阶连续导数，且，求分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解解 由于故 例34（97研） 设函数连续，且（为常数），求并讨论在处的连续性分析 求不能直接求，因为中含有的自变量，需要通过换元将从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出，最后用函数连续的定义来判定在处的连续性解 由知，而连续，所以，当时，令，；，则，从而又因为，即所以=由于=从而知在处连续注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出，而没有利用定义去求，就得到结论不存在或无定义，从而得出在处不连续的结论（2）在求时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致又由用洛必达法则得到=，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：在的邻域内可导但题设中仅有连续的条件，因此上面出现的是否存在是不能确定的例35（00研） 设函数在上连续，且，试证在内至少存在两个不同的点使得分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出的三个零点，由已知条件易知，为的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点证法1 令，则有又，由积分中值定理知，必有，使得=故又当，故必有于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在，使得，即证法2 由已知条件及积分中值定理知必有， 则有若在内，仅有一个根，由知在与内异号，不妨设在内，在内，由 ，以及在内单调减，可知：=由此得出矛盾故至少还有另一个实根，且使得例36 计算分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算解 =例37 计算解 例38 计算分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当 和均收敛时，原反常积分才是收敛的解 由于=所以 例39 计算分析 此题为混合型反常积分，积分上限为，下限为被积函数的瑕点解 令，则有 ，再令，于是可得 例40 计算解 由于 ，可令，则当时，；当时，；当时，；当时，；故有 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形例41 求由曲线，所围成的图形的面积分析 若选为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图51所示，此做法留给读者去完成下面选取以为积分变量解 选取为积分变量，其变化范围为，则面积元素为=于是所求面积为=例42 抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比解 抛物线与圆的交点分别为与，如图所示52所示，抛物线将圆分成两个部分，记它们的面积分别为，则有图5151图52=，=，于是=例43 求心形线与圆所围公共部分的面积分析 心形线与圆的图形如图53所示由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可解 求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为图53=例44 求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成平面图形的面积最小（如图54所示）分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式解 设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为又切线与直线，和曲线所围成的平面图形的面积为图54=由于=，令，解得驻点当时，而当时故当时，取得极小值由于驻点唯一故当时，取得最小值此时切线方程为：例45 求圆域（其中）绕轴旋转而成的立体的体积解 如图55所示，选取为积分变量，得上半圆周的方程为，下半圆周的方程为图55则体积元素为=于是所求旋转体的体积为=注 可考虑选取为积分变量，请读者自行完成例46（03研） 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形（1）求的面积；（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图56计算，如图56所示解 （1）设切点横坐标为，则曲线在点处的切线方程是由该切线过原点知，从而，所以该切线的方程是从而的面积（2）切线与轴及直线围成的三角形绕直线旋转所得的旋转体积为，曲线与轴及直线围成的图形绕直线旋转所得的旋转体积为因此，所求体积为例47 有一立体以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图57所示求其体积解 选为积分变量且过轴上坐标为的点作垂直于轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为，得等边三角形的面积为图57=于是所求体积为 =例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为，），汽锤第一次击打进地下（），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数（）问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：表示长度单位米）分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求解 （1）设第次击打后，桩被打进地下，第次击打时，汽锤所作的功为（，）由题设，当桩被打进地下的深度为时，土层对桩的阻力的大小为，所以 ，由得 ，即 ，由 得 ，即 从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下（）（2）问题是要求，为此先用归纳法证明： 假设，则由，得从而.于是若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下例49 有一等腰梯形水闸上底为6米，下底为2米，高为10米试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力解 建立如图58所示的坐标系，选取为积分变量则过点，的直线方程为于是闸门上对应小区间的窄条所承受的水压力为故闸门所受水压力为=，其中为水密度，为重力加速度图58