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电动力学简答题参考答案 1 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的 物理意义。 解答：电流的连续性方程的微分形式为 0 J t + = 。 其积分形式为 d dd d S JS V t = 。 电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式，它表示： 当某区域内电荷减少时，是因为有电荷从该区域表面流出的缘故；相反， 当某区域内电荷增加时，是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。 2 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。 解答： （1） f D = 电荷是电场的源； （2） B E t = 变化的磁场产生电场； （3） 0 B = 磁场是无源场； （4） f D HJ t = + 传导电流以及变化的电场产生磁场。 3 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？ 解答：麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称，因为电场是有源场，电 荷是电场的源，而磁场是无源场，不存在磁荷。 4 一个空间矢量场A ，给出哪些条件能把它唯一确定？ 解答：由矢量场的唯一性定理： （1）位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界 上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定； （2）对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度 和旋度唯一确定。 5 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。 解答：极化电流与极化强度之间的关系式为 P P J t = ； 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为 M JM = 。 6 简述公式 d ddd d VV wV f V S t = + v 的物理意义。 解答： d d d V wV t 表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少， d V f V v 表 示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功， d S 表示单位时间流 出该区域的能量。所以，此公式的物理意义为：单位时间区域V 内电磁场 能量的减少，等于单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功与流出该 区域的能量之和。它实际上就是区域V 内电磁场能量守恒的表达式。 7 简述介质中静电场的唯一性定理。 解答：介质中静电场的唯一性定理为 设区域V 内给定自由电荷分布 () x ，在V 的边界S上给定 （1）电势值 S ；或者（2）电势的法线方向导数 S n 的值 则区域V 内电场唯一确定。 8 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函 数。 解答：在第一类边值条件下的格林函数 （1） 无界空间为： 222 0 1 (,) 4()()() Gxx xxyyzz = + ； （2） 上半空间为： 222222 0 11 1 (,) 4 ()()()()()() Gxx xx yy zz xx yy zz = + + （3） 球外空间为： 0 22 22 0 11 / (,) 4 2 cos 2 cos RR Gxx RRR R RbR b = + + ， 2 0 R b R = 。 9 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。 解答：电偶极矩的定义式为： ii i p qx = 。 电四极矩的定义式为： 3 iii i D qxx = 或 3() iiiii i Dqx xxx E = 。 10 设体系的电荷密度分布为 () x ，则该体系在外场 e 中的能量是多 少？ 解答：电荷密度分布为 () x 的体系在外场 e 中的能量为： d e WV = 积分区域为电荷体系 () x 的分布区域。 11 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上 的表达形式（即边值关系） 。 解答：麦克斯韦方程组的积分形式为 （1） d f S DSQ = ； （2） d dd d LS ElB S t = ； （3） d0 S BS = ； （4） d dd d f LS H lI DS t =+ 。 其对应的在介质分界面上的表达形式（即边值关系）为 （1） 21 () nf eDD = ； （2） 21 () 0 n eEE = ； （3） 21 () 0 n eBB = ； （4） 21 () n eHH = 。 12 简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程。 解答：引入磁标势的基本条件为（1）所讨论的区域中没有电流分布； （2） 所讨论的区域为单连通区域。 磁标势所满足的泊松方程为 2 0 / mm = ，其中 0 m M = 。 13 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。 解答：磁偶极矩的定义式为： 1 () d 2 mx J V = 。 小电流分布在远处产生的矢势的多极展开式中，其一级近似的表达式为 (1) 0 3 4 mR A R = 此项常称为磁偶极矩产生的矢势。 磁偶极矩产生的标势为 (1) 3 1 4 m mR R = 。 14 平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为多少？电场能与磁场能 相等吗？ 解答：平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为 2 1 2 E 和 2 1 2 B ，它们是 相等的，即空间电磁场能量密度为： 22 1 wEB =。 15 简述全反射现象。 解答：由折射定律， 22 2 1 11 sin sin n n = ，当 12 （即 12 nn ）时，折射 角总是大于入射角，当入射角 21 arcsin( / ) nn = 时，折射角 o 90 = ，此时若 再继续增加入射角，将没有电磁波被折射而进入电容率为 2 的介质中，这 种现象称为全反射现象。 16 在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时 间如何定义？特征时间的表达式是什么？ 解答：在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式为 0 () t te = 衰减的特征时间定义为电荷密度衰减到原来的1/e所需要的时间。 由此定义 得特征时间的表达式： = 17 什么是穿透深度？电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度是多 少？良导体的条件是什么？ 解答： 当电磁波从介质入射到导体时， 波幅降至入射波幅值的1/e时的深度， 称为穿透深度。电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度为 2 = 。 良导体的条件是： 1 。 18 简述趋肤效应。 解答：由于穿透深度与电导率及频率的平方根成反比，对于高频电磁波， 电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象 称为趋肤效应。 19 谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？ 解答：谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是 11 cos sin sin x yz E Ak xk yk z = 22 sin cos sin x yz E Ak xk yk z = 33 sin sin cos x yz E Ak xk yk z = 其中 1 x m k L = ， 2 y n k L = ， 3 z p k L = 。 20 若电磁波在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其截止 角频率是多少？ 解答：当电磁波在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播时，对于 给定的一组(,) mn值，其截止角频率为 22 , cmn mn ab =+ 21 写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。 解答：电磁场矢势与标势中 库仑规范条件为 0 A = ； 洛仑兹规范条件为 A t = 。 22 写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程） 。 解答：在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程）分别为 2 2 2 t = 2 2 2 A AJ t = 23 写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。 解答：真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解分别为 0 , 1 (,) d 4 r xt c xtV r = 0 , (,) d 4 r Jxt c Axt V r = 24 简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。 解答：对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件为 （1） 电流分布线度远小于辐射电磁波的波长，即l ； （2） 电流分布线度远小于小电流分布区域到场点的距离，即lr ； （3） 辐射电磁波的波长远小于小电流分布区域到场点的距离，即 r 。 25 写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立 的静电场或静磁场存在动量吗？ 解答：电磁波动量密度的表达式为 0 gEB = 它与能流密度的关系式为： 00 2 1 gSS c = 独立的静电场或静磁场并不存在动量，因为对于独立的静电场或静磁场来 说，它没有能量的传输，坡印亭矢量 0 S = ，所以动量密度也就等于零。 26 简述狭义相对论中的两条基本假设。 解答：狭义相对论中的两条基本假设为 （1） 相对性原理：物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式， 即所有的惯性参考系都是等价的； （2） 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动无 关，即不依赖于惯性系的选择。 27 坐标系以速度v相对 坐标系沿x轴正向运动，写出从 系到 系 的洛仑兹变换公式。 解答：洛仑兹变换公式为 () x xt = v ，yy = ，zz = 2 ttx c = v 28 坐标系以速度v相对 坐标系沿x轴正向运动，在 系中两事件的 时间与空间间隔分别为 t 和 x ， 在 系中两事件的时间与空间间隔分别是 多少？ 解答：由洛仑兹变换公式，在 系中两事件的时间与空间间隔分别是 2 ttx c = v ( ) x xt = v 29 简述相对论的时间延缓效应和长度收缩效应。 解答： （1） 相对论的时间延缓效应是指： 任何一个坐标系观测到的一个过程所经 历的时间（两事件的时间间隔） ，都要比发生这个过程的物体所在的坐标系 （固有坐标系）上的观测者所观测到的时间长； （2） 相对论的长度收缩效应是指：任何一个坐标系观测到的物体的长度， 都要比这个物体所在的坐标系（固有坐标系）上的观测者所观测到的长度 短。 30 坐标系以速度v相对 坐标系沿x轴正向运动，写出相对论速度变 换公式。 解答：相对论速度变换公式为 2 d d 1 x x x xu u u t c = v v ，其中 d d x x u t = 2 d d 1 y y x u y u u t c = v ，其中 d d y y u t = 2 d d 1 z z x zu u u t c = v ，其中 d d z z u t =