第31届全国部分地区大学生物理竞赛试题.pdf

第31届全国部分地 区 大学生物理 竞赛试 卷与解答 2014.12.07 1.将 地球半 径 /?、自 转 周期 7地面重力加速度 g 取 为 己知量， 则 人造地球同步 卫 星的 轨 道半 径 : gr2/(4；r2/?0 /?， 轨 道速度相 对 第一宇宙速度的比值: An2R lT2g) 2.如 图 所示，水平桌面上 静 放着 质 量 为 M ， 内 半 径为 及的半球面形薄瓷碗，碗的底 座与桌面间无摩擦。 将质 量 为 w 的小滑块在 图 示的碗边位置从 静 止 释 放，随后 将 会无摩 擦地沿碗的 内 表面滑下。小滑块到达最低位置 时 ，它相 对 桌面的速度大小 为 2MgR/(M + m) ，它 对 碗 底 的 正 压 力 大 小 为 wg 3.如 图 所示，长/的 轻细 杆两端 连 接 质 量相同的小球 J 、5 , 开 始 时细 杆处于 竖 直方位， j 下 端 B 球距水平地面高度 记为 /z 某 时 刻 让 S 球具有水平朝右初速度 Lw = 3xl02nm。若用 波长 为 200 nm的光照射 铝 表面， 则 光 电 效 应 的 遏 止 电 压 （普朗克常量 /2 = 6.63xl(T34J .s , 如 上 结 果保留一位有效 数 字即可 ） 11. (15 分 ） 净质 量的 喷 水车，存 水 质 量 ，在平直道路上以 匀 速度 v 行 驶 的同 时 ，朝左、右两 侧绿 化 带 水平 横 向 喷 水， 喷 出去的水相 对 车身速度大小 为 常量 w， 单 位 时 间 喷 水 质 量 为 常量 A：。己知车在行 驶过 程中受 正面空气阻力大小 为 a v ，其中 a 为 正的常量 ；受地面阻力大小 为 其中 为 正的常 数 ， # 为 地面所 受正 压 力。不 计 其它能耗因素， 试 求车装 满 水启动达 匀 速 V并 开 始 喷 水后，直到水 喷净为 止，车 内 作功装置 的作功量 W 。 解 ：为喷 水提供作功总量 1 9Wx = (2 分 ） f = 0, x = 0 开 始 计时 、 计 程， f 0时 刻 x = vt M = A/0 +m0Kv ( 牵 引力 F = av + PMg = av + pg tc一 (5分 ） V W 尤 =0到 =1=1；1，总功 Fdx: f av + Pg x0 + m0 - k dx v W av-Pg M0+ m0vK 所求 为 W = Wx-W2 =m0u2 av-h fig l 2 JJ (6分 ） wv (2分 ） K 12_ (15 分 ） 如 图 所示，半 径为 i?的直 圆 柱形几何空间 区 域 内 ，有 轴 向的 匀 强磁 场 ，磁感 应 强度万的方向垂直于 图 平面朝里，其大小随变化，且 有 % =灸，式中 A：为 正 的常量。 圆 柱形空间 区 域外 没 有磁 场 。在 圆 柱形空间 区 域 内 的一个正截面 内 ，有一个 用金属 丝连 接而成的 圆内 接正三角形 J 5 C4 , 其中, 45段、5 C 段和 Cd段的电阻分 别记为 5 、 (3)改设/, = r、 尸 2 = 2r0、 r3 =3，再求乂 6 段从 j 到厶的电 压 解 ：（1 ) 回路电动 势为 1 O 、 B - R yfiR J 忑 u eat dt 2 2 ) 4 因 对称 ，即得 ab = 1-83 V3,p2ABCA KK (6分 ） (2)回路电 压 uABCA=0 因 对称 ，有 u AB=r JJ u BC： UCA=UAB=0 (3分 ） (3)将 = r0、 r2 = 2r。、 r3 = 3rQ代入电流公式 ： 1 = hBCA = SABCA / ( n + 2 + 3 ) = - / 6r ) 得 / = V/?28r) 继 而得 + A = - M 2 (6分 ）8 13. (15 分 ） 理想气体多方 过 程可表述 为 (常量 ）或 7T W = (2) 己知多方指 数 和气体的等体摩尔 热 容量 c ,K， 试 依据 过 程摩尔 热 容量定义式 c 3 导 出 该 多方 过 程的摩尔 热 容量 c m 。 解 ：（1) 尸 pV = vRT =TVn-i = 二 tc (2) Cm dQ/(vdT) = (pdV + vCmVdT)/(vdT) = ：+ CmVval Vnl = K2/T n-)Vn-2dV = -K2dT/T2 (Vn = kJ p )= = - K2dT/T2 =-/cldT/(vRT2) (pV = vRT) (n- l)y - dT/T = - vRdTl(pV) = pdv = Cm= c mv- - (10 分 ）n 另解 ： TVnl = k2 V- dT + (n- )Vn-2TdV = 0 dV _1_ F _ l_ vR 代入式 ： vdT n- 14. (15 分) 如 图 所示，在 O- 吵平面上有 场 强 为 左平行于 x 轴 方向的 匀 强电 场 ， 还 有垂直于 0 -吵平面朝里的磁 场 ，磁感 应 强度5 的值 仅 随 x变化。在 x 二 a 、 _y = 0的 质 点 P 具有速度 ,使得 P 的而后运动 轨 道恰好是在 0 - 分平面上以 0 为圆 心的 圆 周。己知户在运动 过 程中速度 达最小值（不 为 零 ）时 ，所受磁 场 力 为 零。（ 过 程中不考 虑 重力的影响。 ） (1) 试 求速度的方向和大小 ； (2) 将圆 半 径记为 /?,试 在穴 2 x 2-7?范 围内 确定 S 随 x 变化的函 数 。 解 ：（1 ) 尸的初始位置到 0 的距离即 为圆 半 径 ，故有 R = %2a 磁 场 力不作功，电 场 力作功， P 的动能最小（即速度最小 ）位置必是 _ 在 题 解 图 1中 S x =-R y =0 处。户在 该 位置处不受磁 场 力，表明 5 B(x = - R) = 0 P 作 圆 周运动所需向心力即 为 电 场 力，可得 q E vl qER/m ， R = 4 ia P 在初始 a: = g 、少处 时 的动能 为 rnv20= mv2min+ qE(R + a) , R = /2a 故有 即得 : vL + + l =qE(32 + 2)a/m 方向 .如 题 解 图 1所示的切 线 方向 vo 大 小 ： v0=Jq(3七 + 2jam (2)参考 题 解 图 2， P 处于 图 示位置 时 ，引入参量 ( 带 正、 负 号 ） 则 有 m+ qEax + J4l)a 2qEax + 2 a mv = i 2 2 二 qE f l 2ccx、 aIm 因 qvB - qEcos(/ = mv21 、芯 61 、 得 5 = + C S0 = 三 = 1p= ， cos d) yj2qa R 所求函 数 便 为 m : 丨 mE a, 2qa 石 + 2ax -3/2 + 2.cx Rx -R = y2a x -yfla (7 分 ）. (8分 ） 说 明 题 解 图 2 中，尸位于第 I 象限求得5 c)分布，考 虑 到; c正 负 号与不同象限 中 cos# 正 负 号的 组 合 关 系，所得5)分布同样适用于 n 、 m 、 iv 象限。 图 1 15. (20 分) 用某种 导 电材料制成如 图 1 所示的 匀质 正方形电阻薄平板， 4 个微微朝外突出的 顶 端 记为 5、 C 、 。 将 4 、 C 两端间的等效电阻 记为 苹， d 、 D 两端间的等 效电阻 记为 及 2。 (1)设电流/从 d 端流入， C 端流出， 请 定性画出平板中电流 线 的分布，而后 5 A B 试导 出及、及 2、 之间的大小排序 关 系。 (2) 如 图 2 所示，用理想 导线连 接5 、 D 端， 试 求此 时 j 、 C 两端间的等 效 电 阻 ，答案用孕、及 2表示。 (3) 如 图 3 所示， 将 6 块 这 样的电阻薄平板通 过顶 端间的焊接，棱边间均 不焊接且不接触，构成一个中空且露 缝 的正方体， 试 求 图 中两个相 对顶 端 C 、 贫 间的等效电阻答案用 ca = 0 位置。 (2.3) 若 xa 0 , 试问 va()取何值 时 ，可使 Cai = 0? (3)若 临 界阻尼振动取（1 .2)问 所得: x:l|SQ和 , 过 阻尼振动取（ 2.3)问 所 得 和 va 。，且; ca xl|S()， 试问临 界阻尼振动与 过 阻尼振动中哪一个可使振子更快地 趋 向零点 ？ 解 ： (1)由/ = 0 时 的初始条件，可得 临 1 X临 0 临 2 = V临 (1.1) 由上述两式，可解得 匸 临 !- 工 临 0, C临 2 临 + v_ (3分 ） (1.2) 在 ； 0 前提下，振子在有限 时 间 内 不能降到、 = 0 位置的条件是 (C临 1+C临 2)。 0 . 即得所求 为 vi|S Pxt = V + 6；7?COS0 + 似 / = v + wcos 彡 + w = v+ cos 彡 + R V R j v* = coRsm. = usmtj 每个小物块相 对 地面系 (9点角动量 为 13 R lxm v = Rxmv-rl xwv -Imvk , k = /) = Rm 系统角动量守恒方程 为 RMu + 2m R v cos + ll+ lco s jM -lm v+ cos彡 + V R k vcos+l 1+cos +/ v，+ COS0 + R u =/Ru + 2yvr +2 r - 2 vf + COS H一 u + w2 sin2 V - (或 为 /w2 +2= 90, cos彡 = 0， sin# = l (2)问 解答中 （1)、（ 2 ) 式 简 化 为 得解 为 5w + vf = 2v0, 5u2 +2vu + v2 =vl u = -vn, v二一 vn (2 分 ）10 0 2 (4)先 将 y = 6, = 90, cos = 0, sin = l 代 入 （ 2 ) 问 解答中的（1)、（ 2 ) 式，得 3Ru + =(i?+/)v0 (iy 2 V + 1 U + w2 卜 v02 (2 ) 考 虑 到 图 2 中/己由 图 3 中的 jc s/代替，先 将 (iy 、（ 2y式等号左边的/ 换 成 x ;但因 (iy 、（ 2)等号右 边的量 为 系统初 态 量，其中/不可用; c取代，而 应 以（3 ) 问 所设/ = 用及取代，即得 4 X w + v = 2vn, R 44 w2+2i v， M+v， 2=v 2 或改述 为 w = (2v0- y5v,)/a, aw2+2yvfw + v2 = v02, P = y a = 4-/32R 两式联立，消去 W，得 (2v0-J3vf +2/?(2v0-J3v)V+(xv2 = cev20 = 4vq J32vf2 + av2 = av 4vr2 = p 2 解得 取 圆环 参考系，参考 题 解 图 ，有 ， x v = v 2R d0f f x x-= V = dt 2R dff /. -dx = RdO = R dt = d t dt 2 dt = -dxvo rT 2 r dt = -dx Jo v h 得 T = 2RjvQ (7 分 ） (注意 ： 汾并非 圆环 相 对 地面系旋 转 角速度。 ） 附 录 ：填空 题 答案 导 出 过 程 简 述（参考) 1. 地球自 转 角速度 = 2;r/r ，同步 卫 星 轨 道半 径 i?4满 足方程 mco2 = GM / r*1 , GMe = gR2 丄 得 , = 政 2/(4疋 2及 )4 第一宇宙速度 A = # ，同步 卫 星速度 v wB： gT1/An2R ) J R 1 L 7 J 得 v7 Vl=4；r2i?/(r 2g)p 2. 小滑块到达最低点 时 相 对 桌面速度 记为 vm，瓷碗相 对 桌面反向速度 记为 ， 则 有 , m = M v m = v m = T 7 v- M 1 2 1 w 2 n 1 2 nrf m Y 2 M + 7il- mvm + Mvm = mgR = mgR = - mvm + M J vmj = _M 得 vm=2MgR/(M + m) 小滑块到达最低点 时 ，瓷碗参考系 为 瞬 时惯 性系 ， 此 时 滑块 对 碗底正 压 力大小若 记为则 有 15 N = mg + m(V”,+ VA/)2 3M + 2w爪 gR M 3.系统 质 心水平朝右速度和 d 、5 绕质 心旋 转 角速度大小分 别为 Vc = 2 V- = 2712 ：vo/1 质 心经 时 间着地，要求、 S 绕质 心 转过 ;r/2,有 At = J 2 1 (1 I 2 -+ h U ) 丨 g ， cod =丌丨 2 可解得 办 圓 =办 4V02),/(8V02) 质 心平 抛 射程和5 的水平位移分 别为 3 A 1 3 n I n I Isr = vnA/, s - sr = vn- = vn - c 2 c 2 2 0 2) 2 2 2v0 2 得 -u 一1 111 4略 5略 6. 略 7. I c F ： I max ：I min =2F0/r0 = 2 tax由 P A 、 2以 态对应 ， L 由 ( A 、以 态对应 ，故 max = 4rmin 继 而可得 7卡 =1 - = 75% max 8. M 、 Ac、 ac棒中电荷必有相同的 对称 分布，各自 对 点电 势贡 献相同， 记为 M 。 &棒 对 5点电 势贡 献也必 为 R ，而 & 、 ac棒 对 S 点电 势贡 献相同， 记为 t/2。 于是有 7U = UA，U+U浐 UB 解得 u=u A， u u B- uA 5 1 o 将 棒取走后，、 B 两点电 势 便分 别为 Ua= 2Ux= Ua , Ub= U U7= - Ua + X-Ub 9.题图 1 对应 的 ax, 可按公式直接 写 出其值 为 2 / 1 。a 题 图 2 对应 的 0 处附近相邻两条亮条 纹 间距 AX的求解，可 参考 题 解 图进 行。 图 中巧平面可 记为 原始 杨 氏双 缝 干涉中的平行屏幕，其上 灸 =1级 亮 纹 恰好是 题图 2 屏幕上的免 =1级 亮 纹 ， 则 有 、/ ( 滕 B A x (屏幕) 题 解 图 厶 X = y/lAXr 9 厶 X = yfla A 因 6 a ，得 J 2b D V26 = Ax = -Xa 10. A = hv = he/Am = Am = he/ A = 296nm hr KEK = hv A = A , U0=- = 2.0F A e