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飞行器结构有限元练习题答案 1、证明3结点三角形单元的插值函数满足N i (x j ,y j )= ij ，及N i +N j +N m =1。 证明：3结点三角形单元的插值函数N i 、N j 、N m 形式如下： 1 () 2 iii Nabxc=+ i y (, , )ijm 其中 1 21 1 ii jj mm x y x y x y = j i mm j x y a x y = 1 1 j i m y y =b 1 1 j i m x c x = ( , , )ijm 根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元 素的代数余子式乘积之和等于零。所以 11 11 (, ) ( ) 2 1 1122 jj j j iii i i mm m m xy y x Nxy x y xy y x =+= = 11 (, ) ( ) 00 jj j j ijj j j mm m m xy y x Nx y x y xy y x =+= 11 11 (, ) ( ) 0 22 jj j j imm m m mm m m xy y x Nx y x y xy y x =+= 0= j 即 (, ) ijj i Nx y = 另外 1 () 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 (2 0 0 ) 1 2 ijm iii jj j mmm ijm ijm ijm NN N abxcyabxcya bxcy aa a bbbxcccy xy += + =+ = + = 1 a 1 2 3 a 题2图 2、图示3结点三角形单元，厚度为t，弹性模量为E，泊松 比=0，试求：插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S， 单元刚度矩阵K e 。 解：3结点三角形单元的插值函数N i 、N j 、N m 形式如下： 1 2 Na , )m() iiii bxcy=+ (,ij 其中 1 1 ii jj mm 21 x y x y x y = j i mm j x y a x y = 1 1 j i m y y =b 1 1 j i m x c x = ( , , )ijm 三角形三点坐标为： 1， ( ,0)a 2(0, )a 3(0, 0) 1 1 N a = x 2 1 N a = y 3 11 1Nx aa = y ee ijm u NN N v = III N 00 0 1 00 0 xyaxy x yaa = xy N 00 0 1 00 0 2 xijm ee yi xy i i j j m m bb b cc c cbc bc b = = B 1000 1 0 1 0001 0 1 0110 1 1 a = B ee DD = =BS 又 10 10 1 0 01 0 1 00(1 )/2 001/2 E DE = 0 10 00 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 E D a = SB 2000 20 0110 11 0110 11 00020 24 211031 011213 T Et Dt = e KB B 2 3、以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列） 元素的总和为零。 证明：平面三结点三角形单元的单元刚度方程形式如下： 111 12 15 16 1 121 22 25 26 1 351 52 55 56 3 361 62 65 66 3 x y x y fkk kk u fkk kk v fkk kk u fkk kk v = null null nullnullnullnull nullnullnull null null 令 1 1u =， 23 0uu= 123 0vvv= = 则有 11x f k=， 2x 31 f k=， 35x 1 f k= 1y 21 f k=， 24y 1 f k=， 36y 1 f k= 单元所受合外力平衡，故 x方向： 123 0 xx x fff+= y方向： 123 0 yy y fff+= 所以 11 21 31 41 51 61 0kkkkkk+= 同理，其它各列刚度阵元素之和也为0。 由于刚度阵的对称性，K=K T 所以，刚度矩阵每一行元素之和为0。 3 4、试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系： ii j j mm x xL x L x L=+ ii j j mm yyLyL yL= + 证明：三角形的面积坐标如下： 1 () 2 i iii Labx = + i cy 1 () 2 j jjj Labx = + j cy 1 () 2 m mmm Labx = + m cy 其中a i 、b i 、c i 、a j 、b j 、c j 、a m 、b m 、c m 、分别是行列式2的代数余子式。 1 21 1 ii jj mm x y x y x y = 根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式 乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的 代数余子式乘积之和等于零。所以 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0 2 ii j j mm ii ii j j j j mm mm ii j j mm ii j j mm ii ii ii xL x L x L a bx cyx a bx cyx a bx cyx axax ax bxbxbxxcxcxcxy xyx + =+ =+ =+= 同理可得 ii j j mm yL y L y L y+ += 4 j (6,3) i (2,2) m (5,6) q 1 q 2 x y 题5图 5、写出题5图所示三角形单元的插值函数N i 、N j 、 N m 以及应变矩阵B。 解：平面三结点三角形单元的插值函数为： 1 2 ii Na=+ () ii bxcy+ (, , )ijm 其中 1 21 1 ii j mm j x y x y x y = jj i mm x y a x y = 1 1 j i m y b y = 1 1 j i m x c x = (, , )ijm 三角形三点坐标为：， (2,2)i (6,3)j (5,6)m 122 21631 156 = = 3 3 4 21 3 1 24 61 iii jjj mm m abc abc abc = = = = = 1 (21 3 ) 13 i =Nx y 1 (2 4 3) 13 j Nx=+y 1 (6 4) 13 m Nx=+y 00 0 30401 1 0 0 0 0 1 0 3 0 4 21 13344 1 ijm ijm ii j jmm bb b cc c cbc bc b 0 = B 5 7、证明常应变三角形单元发生刚体位移时，单元中将不产生应力。 证明： ii j j mm uNu Nu Nu=+ ii j j mm vNv Nv Nv=+ 发生刚体位移时 0ijm uu u u=（常数） 0ijm vv v v=（常数） （常数） 00 ()1 ii j j mm i j m uNu Nu Nu N N Nu u u=+ =+ = 0 000 ()1 ii j j mm i j m vNv Nv Nv N N Nv v v=+ =+ =（常数） 0 0 0 u x v y ux yx = + 0 0 0 D = 单元中不产生应力。 6 (x 3 ,y 3 ) 6 5 4 3 2 1 (x 2 ,y 2 ) (x 1 ,y 1 ) q x y 题8图 8、求图示二次三角形单元在142边作用有均布侧压q 时的等效结点载荷，假设结点坐标已知，单元厚度为t。 解：设三角形面积坐标为L 1 、L 2 、L 3 ，则形函数： 111 2 333 ) (2 1)NLL=、 22 (2 1)NLL=、(2 1NLL= 41 4NL= 2 L、 3 L、 1 L 52 4NL= 63 4NL= 在三角形的边上L 3 =0以 142，所 356 0NNN= ， 3 3 0 0 x y f f = 5 5 0 0 x y f f = ， 6 6 0 0 x y f f = 在三角形142边上建立局部坐标系，如图 1 4 2 0-1 1 局部坐标系下1、4、2结点的局部坐标分别为-1、0、1 1、4、2点在局部坐标系下的形函数为： 1 2 4 ) 1 1 (1 ) 2 =+ 1 (1 ) = ，(1 )(1 = +， 1 11 1 1 26 l f qt d qlt = ， 1 44 1 2 23 l f qt d qlt = ， 1 22 1 1 26 l f qt d qlt = 其中，l为三角形142边的边长。 1 12 cos 11 sin sin66 y yyl qt qt f f xx l = = 1 cos x f f 2 1 4 42 4 cos cos 22 sin sin33 x y f f yyl qt qt f f xx l = = 2 2 22 cos cos 11 sin sin66 x y f 1 f yyl qt qt f f xx l = = 其中，为q与水平方向夹角。 7 、验证用面积坐标给出的二次（三角形）单元的插值函数N 1 N 6 满足N i =1 形面积坐标为L 1 、L 2 、L 3 ，则各结点的形函数为： 9 （i=16）。 证明：设三角 111 222 333 (2 1)NLL= (2 1)NLL= (2 1)NLL= 41 4NL= 52 4NL= 63 4NL= ) (2 2 1) 4L L L+ 2 L 3 L 1 L 11 2 2 33 12 23 3 (2 1 1) ( 4 4 i NLL L L LL L LL= + + 1 3 ) 222 12312233112 2224 4 4 (LLLLLLLLLLLL=+ 2 12 33 2 1 123 2( ) ( 2 2 ) ( )LL LL L L LLL=+ 123 1LLL+ += 2 2(1 ) (2NLLL=+ 33 3 12 ) ( ) i LL+ 3 L 211 1= 得证 8 0、二维单元在xy坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面 例，其形函数为： 1 内旋转时怎样？单元旋转180后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变 化时，应力矩阵S如何变化？ 解：以平面三结点三角形单元为 2 iii i 其中 , )jm 1 ()Nabxcy=+ (,i 1 21 1 ii jj mm x y x y x y = jj ijm mm xy axy xy = j xy 1 1 j ij m y by y = = m y 1 1 j im m x cx x j x= = 进而可得 (, , )ijm 00 1 0 0 0 2 ijm ij ii j jmm bb b cc c cbc bc b 0 m = B T Dt= e KB B D=S B 坐标平移时，b i 、 m c i 、b j 、c j 、b、c m 均不发生改变 坐标平移时K e 、S矩阵不会变 坐标平移时B矩阵不会发生变化 在平面内转动时，b i 、c i 、b j 、c j 、 在平面内转动时K e 、S矩阵会改变 b m 、c m 一般均要发生改变 单元旋转180度后，b i 、c i 、b j 、c j 、b m 单元旋转180度后K e 不会变，而S要变号 、c m 均正负号发生改变（中心对称） 9 1、图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元按局部编码i,j,m的单元 1 刚度阵K 和应力矩阵S 为： 80 6 6 2 1 6 16 0 12 0 4 13.5 4.5 7.5 4.5 13.5 1.5 1.5 9.5 1.5 5.5 K = 1 00 3 0 3 0 00 0 3 0 1 2 0 1.5 1.5 0.5 1.5 S = 按图中单元的局部编码写出K ，S 。 解：首先将单元旋转180度，得到单元 m j m i i m j 单元旋转180度，刚度矩阵不变，应力矩阵变号 于是得到单元的刚度矩阵与应力矩阵 1 80 6 6 2 6 16 0 12 0 4 () 13.5 1.5 1.5 5.5 K 003 0 3 0 0 3 0 1 2 0 1.5 1.5 0.5 1.5 13.5 4.5 7.5 4.5 = 1 () 0 0S = 9.5 1.5 然后，将单元的结点进行调换，得到单元 j i m m j i i j，j m，m i得 2 9.5 1.5 2 6 7.5 4.5 5.5 0 4 1.5 1.5 80 6 6 16 0 12 4.5 13.5 K = 2 30 0030 010003 0.5 1.5 2 0 1.5 1.5 S = 13.5 m j j i i 10 12、图示为二次四边形单元，试计算N 1 /x和 N 2 /y在自然坐标为(1/2,1/2)的点Q的数值（因 为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几 何形状）。 解：对于八结点矩形单元 1 (1 )(1 )( 1) / 4N =+ + + 8 2 (1 )(1 )( 1) / 4N = + + (1 )(1 )( 1) / 4N = 3 4 (1 )(1 )( 1) / 4N =+ 2 2 6 (1 )(1 ) /N = 3.125 5 (1 )(1 ) / 2N = + 2 2 2 7 (1 )(1 ) / 2N = 2 (1 )(1 ) /N = + 8 1 ii i x Nx = = ，y 代入点Q坐标(1/2,1/2) 8 1 ii i yN = = 1 8 , 1 15.625 ii i xNx = = 8 , 1 5 ii i yNy = = = 3 8 , 1 ii i xNx = = 8 , 1 15 ii i yNy = = = , , 15.625 5 3.125 5 xy J xy = 1 1, 1, 1 1, 1, 15.625 5 0.5625 0.0257 .125 15 0.5625 0.0321 x y NN J = = 1 2, 2, 1 2, 2, 15.625 5 0.1875 0.0114 3.125 15 0.0625 0.0018 x y NN J = = (10,10) 0 5 6 7 8 题12图 x y Q 1 2 3 4 (30,20) (5,40) (40,50) 11 13、图示为二次三角形单元，试计算N 4 /x和N 4 /y 在点P(1.5,2.0)的数值。 ：设三角形单元面积坐标L 1 、L 2 、L 3 则二次三角形单元各结点形函数为： 解 111 (2 1)L= 222 (2 1)NLL= 333 (2 1)NLL= NL 41 4NL= 2 L 3 L 1 L 52 4NL= 63 4NL= 1 4 44142 1 2 21 44 NNLNL b b LL + 1 2112 2 4 (2) (2) bb=+ 12 22xLxLx =+= 44142 2 4 NNLNL L 1 2 1 21 2 12 4 4 (2 22(2) c c L c yLyLy +=+ 12 )c=+= 100 21421 14 = = 1 1 1.5 2.0 2142 11 = 2 10 0 2 1 1.5 2.0 4 11 4 = 4 5 1 12 2 14 b = = 2 10 4 14 b = = 1 14 3 11 c = = 2 10 11 c = 4 21 12 22 44 (2 2 ) 4 ( 2) 5 4 0.245 (2 ) 14 N bb x =+=+= 4 21 12 22 44 (2 2 ) 4 ( 3) 5 ( 1) 0.347 (2 ) 14 N cc y =+=+= 6 5 4 2(4,2) 1(0,0) x y 3(1,4) P(1.5,2.0) i j m 题13图 12 15、垂直悬挂的等载面直杆受自重作用，载面积为A，长度为l，质量 度为。如用一维杆单元求解杆内的应力分布，问应采用多少结点 单元？在什么位置有限元结果可以达到解析解的精度？并给出它们 数值。 ： 建立系统总势能泛函 密 的 的 解 2 00 1 2 ll EAu dx Audx= 对总势能泛函变分运算 00 ll 0 域内： EAu u dx A udx= 解得：x 0 0 |( ) l l EAu u EAu A udx= += 0EAu A+= （欧拉方程） 0= 边界： x l EAu = 00 00 xu u u = = 22 1 () l uxx lx EEE = = 解析解是二次的，故应采用三结点杆单元（形函数为二次的） 得到的有限元解处处精确。 题15图 x A 13 16、有中心椭球孔的矩形板，两侧边受线性分布的侧 P，如图所示。如何利用对称面条件减少求解的工 量，并画出计算模型，列出计算步骤。 ： 将图示受载情况分解为对称和反对称受载 压 作 解 对对称受载板和反对称受载板建1/4模型， 利用对称性，对称轴y向约束x向位移，x向约束 y y向位移 x 对1/4模型加两种载荷，分别计算 将两种载荷作用下，得到的有限元结果相叠加得到最后结果。 （模型上半部分是结果相加，模型下半部分是结果相减） 2d 2a 2b 2c 题16图 14
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