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4.1 证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程 2 2 22 1 0 E E ct G = G ，其中 2 00 1 c =，为常数。(1) 0 E 0 cos( ) x EeE t z c = G G ；(2) 0 sin( )cos( ) x EeE z t c = G G ； (3) 0 cos( ) y E eE t z c =+ G G 。 证：(1) 2 22 002 cos( ) cos( ) xx EeE t z eE t z czc = = G GG 2 0 () cos( ) x eE t cc z = G 22 2 00 cos( ) cos( ) xx E eE tzeE tz tt c c = G GG 2 22 2 00 22 2 11 () cos( ) cos( ) 0 xx E E eEtz eEtz ct c c c c = = G G GG 即矢量函数 0 cos( ) x E eE t z c = G G 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = G G 。 (2) 2 22 002 sin( )cos( ) sin( )cos( ) xx EeE z t eE z t cz = = G GG 2 0 ( ) sin( )cos( ) x eE z cc t = G 22 2 00 sin( )cos( ) sin( )cos( ) xx E eE zteE zt ttc c = G GG 2 22 2 0022 2 11 ( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) 0 E E eEzt eEzt ct c c c c = = G G 即矢量函数 0 sin( )cos( ) x EeE z t c = G G 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = G G 。 (3) 2 22 002 cos( ) cos( ) yy EeE t z eE t z czc = + = + G GG 2 0 () cos( ) y eE t cc z = + G 22 2 00 cos( ) cos( ) yy E eE tzeE tz ttc c =+= G GG + 2 22 2 0022 2 11 () cos( ) cos( ) 0 yy E E eEtz eEtz ct c c c c = + + = G G GG 即矢量函数 0 cos( ) y EeE t z c =+ G G 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = G G 。 4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度()Er G G 的波动方程为 22 () () 0Er Er+ = G G G G 已知矢量函数 j 0 () e kr Er E = G GGG G ，其中 0 E G 和k G 是常矢量。试证明()E r G G 满足波动方程 的条件是 22 k =，这里kk= G 。 证：在直角坐标系中 x yz re eyez=+ GG G G 设 x xyyz kekek ek=+ G GGG z 则()() x xyyzz x y z x y z kr ek ek ek ex ey ez kx ky kz= + + + + = + + G GG G G G G G 故 j( ) j 00 () e e xyz kxky kz kr Er E E + = G GGG G G j( ) 22j2 00 222 j( ) 0 222 j( ) 222 2 0 () e e e ()e xyz xyz xyz kxky kz kr kxky kz kxky kz xyz Er E E E xyz kkkE kEr + + + = =+ = = G GGG G G G GG () G 代入方程，得 22 () () 0Er Er+ = GG 22 0kE E += G G 故 22 k = 4.3 已知无源的空气中的磁场强度为 9 0.1sin(10 )cos(6 10 ) A/m y He x tkz= G G 利用波动方程求常数k的值。 解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程 2 2 00 2 (,) (,) 0 Hrt Hrt t = G G G G 而 22 9 22 9 (,) 0.1sin(10 )cos(6 10 ) (10)0.1sin(10 )cos(6 10 ) y y Hrt e x t kz ek x t = = G kz G G G 22 9 92 9 (,) 0.1sin(10 )cos(6 10 ) (6 10 ) 0.1sin(10 )cos(6 10 ) y y Hrt ex tkz tt = = G G G G tkz 代入方程 2 2 00 2 (,) (,) 0 Hrt Hrt t = G G G G ，得 22 92 9 00 (10) (6 10 ) 0.1sin(10 )cos(6 10 ) 0 y ek xtk+ = G z 于是有 22 92 00 (10) (6 10 ) 0k + = 故得 92 2 00 (6 10 ) (10)103k = 4.4 证明：矢量函数 0 cos( ) x E eE t x c = G G 满足真空中的无源波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = G G 但不满足麦克斯韦方程。 证： 2 22 2 00 02 (,) cos() cos()()cos() xx x Ert eE t x eE t x e E t x cxcc c = = G GG G G 22 (,) cos( ) cos( )Ert eE t x e E t x ttc c = G GG G 所以 2 22 2 0022 2 11 () cos( ) cos( ) 0 xx E E eEtx eEtx ct c c c c = = G G GG 即矢量函数 0 cos( ) x EeE t x c = G G 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = G G 。 另一方面， 00 cos( ) sin( ) 0EE t x E t x xccc = = G 而在无源的真空中，应满足麦克斯韦方程为 E G 0E= G 故矢量函数 0 cos( ) x EeE t x c = G G 不满足麦克斯韦方程组。 以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。 4.5 证明：在有电荷密度和电流密度J G 的均匀无损耗媒质中，电场强度E G 和磁 场强度的波动方程为 H G 2 2 2 () EJ E tt = + GG G ， 2 2 2 H HJ t = G G G 证：在有电荷密度和电流密度J G 的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为 E HJ t = + G G G (1) H E t = G G (2) 0H= G (3) E = G (4) 对式(1)两边取旋度，得 ()HJ t E = + G GG 而 2 ()HH = H G GG 故 2 () (HH J t )E = + GGG (5) 将式(2)和式(3)代入式(5)，得 2 2 2 H HJ t = G G G 这就是的波动方程，是二阶非齐次方程。 H G 同样，对式(2)两边取旋度，得 ()E H t = G G 即 2 () (EE H t ) = G GG 将式(1)和式(4)代入式(6)，得 2 2 2 1EJ E tt = + G G G 此即满足的波动方程。 E G 4.6 在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用库仑条件0A= G ，导出A G 和所满足的微分方程。 解：将电磁矢量位A G 的关系式 B A= GG 和电磁标量位的关系式 A E t = G G 代入麦克斯韦第一方程 E HJ t = + G GG 得 1 () A AJ tt = + G G G 利用矢量恒等式 2 ()AA = A G GG 得 2 () A AAJ tt = + G GGG (1) 又由 D = G 得 A t = G 即 2 ()A t += G (2) 按库仑条件，令0A= G ，将其代入式(1)和式(2)，得 2 2 2 A AJ tt =+ G G G (3) 2 = (4) 式(3)和式(4)就是采用库仑条件时，电磁位函数A G 和所满足的微分方程。 4.7 证明在无源空间（0 =、0J = G ）中，可以引入矢量位 m A G 和标量位 m ，定 义为 m DA= GG ， m m A H t = G G 并推导和 m A G m 的微分方程。 证：无源空间的麦克斯韦方程组为 D HJ t = + G G G (1) B E t = G G (2) 0B= G (3) 0D= G (4) 根据矢量恒等式0A = G 和式(4)，知D G 可表示为一个矢量的旋度，故令 m DA= GG (5) 将式(5)代入式(1)，得 m ()HA t = GG 即 m 0 A H t + = G G (6) 根据矢量恒等式0 =和式(6)，知 m A H t + G G 可表示为一个标量函数的梯度， 故令 m m A H t + = G G 即 m m A H t = G G (7) 将式(5)和式(7)代入式(2)，得 m mm 1 A A tt = G G (8) 而 2 mm () m A AA = G GG 故式(8)变为 2 2 m mm 2 () A AA tt = m G GG (9) 又将式(7)代入式(3)，得 m m 0 A t = G 即 2 mm ()A t 0 + = G (10) 令 m m A t = G 将它代入式(9)和式(10)，即得 m A G 和 m 的微分方程 2 2 m m 2 0 A A t = G G 2 2 m m 2 0 t = 4.8 给定标量位x ct = 及矢量位( x x )A e c t= G G ，式中 00 1 c =。(1) 试证明： 00 A t = G ；(2) 、H G B G 、E G 和D G ；(3) 证明上述结果满足自由空间的麦克 斯韦方程。 解：(1) 00 1 () x A x At xxc c = = = = G 00 1 ()xct c tt = = = 故 00 00 00 00 1 () t = 则 00 A t = G (2) 0 x z yz A A BAe e zy = = = GG GG 0 0 B H = G G 而 () xx Ax Eee txtc = = G G t G G () xx excte x = + = GG 0 0 0DE= GG (3) 这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。 4.9 自由空间中的电磁场为 (,) 1000cos( ) V/m ( , ) 2.65cos( ) A/m x y Ezt e t kz Hzt e t kz = G G G G 式中 00 0.42 rad/mk =。求：(1) 瞬时坡印廷矢量；(2) 平均坡印廷矢量； (3) 任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体（长1 m、横截面积为） 中的净功率。 2 0.25 m 图题4.9 解：(1) 瞬时坡印廷矢量 22 2650cos ( ) W/m z SEHe tkz= G GG G (2) 平均坡印廷矢量 2/ 22 av 0 2650cos ( )d 1325 W/m 2 zz Se tkzte = G (3) 任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体中的净功率为 n 01 22 d() 2650 0.25cos ( ) cos ( 0.42) 270.2sin(2 0.42) W zz S PSeSSeSe tt t = = = + = = GG G G v 0.25 4.10 已知某电磁场的复矢量为 00 0 00 0 () j sin( ) V/m () cos( ) A/m x y Ez e E kz Hz e E kz = = G G G G 式中 0 0 2 k c =，c为真空中的光速， 0 是波长。求：(1) 0z =、 0 8 、 0 4 各点 处的瞬时坡印廷矢量；(2) 以上各点处的平均坡印廷矢量。 解：(1) 和的瞬时矢量为 E G H G j 00 00 ( , ) Re j sin( )e sin( )sin( ) V/m t xx Ezt e E kz eE kz t = G GG j 00 00 ( , ) Re cos( )e cos( )cos( ) A/m t yy Hzt e E kz e E kz t G 则瞬时坡印廷矢量为 0 0 20 00 0 2 20 0 0 (,) (,) (,) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin(2 )sin(2 ) W/m 4 z z Szt Ezt Hzt e E kz kz t t E ekzt = = G G G G G 故 2 (0, ) 0 W/mSt= G 0 2 20 0 0 (/8,) sin(2) W/m 4 z E Ste t = G G 2 0 (/4,)0 W/mSt = G (2) *2 av 1 () Re () () 0 W/m 2 Sz EzHz= G GG 4.11 在横截面积为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为 ab j 0 j 00 jsin()e V/m jsin()cos()e A z y z xz ax Ee H a ax x He H eH aa = =+ /m G G G GG 式中、 0 H 、和都是实常数。求：(1) 瞬时坡印廷矢量；(2) 平均坡印廷矢 量。 解：(1) 和的瞬时矢量为 E G H G jj 0 0 (,) Re j sin( )e e sin( )sin( ) V/m zt y y ax Exzt e H a ax eH tz a = G G G jj 00 (,) Re j sin( ) cos( )e e sin( )sin( ) cos( )cos( ) A/m zt xz ax x Hxzt e H eH aa ax x eH tzeH tz =+ = + G GG 故瞬时坡印廷矢量为 0 22 2 0 (,) ( )sin( )sin( ) 2 sin( )sin(2 2 ) W/m 4 z x ax Sxzt e H t z a ax eH tz a = + G G G (2) 平均坡印廷矢量 *22 av 0 1 (,) Re (,) (,) ( )sin( ) W/m 22 z ax Sxz ExzHxz e H a 2 = G G 4.12 在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值 0 0 0 0 0 (,) sin cos( ) V/m (,) sin sin( ) A/m E Ert e t kr r E Hrt e t kr r = = G GG G GG 式中为常数， 0 E 0 0 0 =， 0 k 0 =。试计算通过以坐标原点为球心、为 半径的球面的总功率。 0 r S 解：将和表示为复数形式，有 E G H G 0 0 j 0 j 0 0 (, ) sin e V/m (, ) sin e A/m kr kr E Er e r E Hr e r = = G GG G GG 于是得到平均坡印廷矢量 *220 av 0 11 (, ) Re ( )sin W/m 22 r E Sr EH e r = 2 G G G GG 通过以原点为球心、为半径的球面的总功率 0 r S 0 2 2 220 av av 0 00 00 1 d()sinsind 29 S E E PSS r r = = GG v W 4.13 已知无源的真空中电磁波的电场 0 cos( ) V/m x EeE t z c = G G 证明 av avx Sew= G G c ，其中是电磁场能量密度的时间平均值， av w 00 1 c =为电磁波 在真空中的传播速度。 证：电场复矢量为 j m e z c x EeE = G G 由 0 jE H = GG ，得磁场强度复矢量 jj 0 mm 00 jj (e ) e zz cc zx y HEeEeE z = = GG GG G 所以 m *20 av 0 11 Re 22 z SEHe = G E G G G 另一方面， m *00 av 1 Re 22 2 2 wEEH 0 E =+= G GGG 由于 00 0 0 00 c =，故有 m 20 av av 2 zz SeEcewc = G G G 4.14 设电场强度和磁场强度分别为 0e cos( )EE t=+ GG 和 0m cos( )HH t=+ G G 证明其坡印廷矢量的平均值为 av 0 0 e m 1 cos( ) 2 SEH = G G G 解：坡印廷矢量的瞬时值为 0e0m 00 e m e m 00 em em cos( ) cos( ) 1 cos( ) cos( ) 2 1 cos(2 ) cos( ) 2 SEHE t H t EH t t t t EH t = + + = + + = + G G GG G GG GG 故平均坡印廷矢量为 av 0 0 e m e m 00 00 em 111 d cos(2 ) cos( )d 2 1 cos( ) 2 TT SStEHt TT EH = + = GG t G G GG 4.15 在半径为a、电导率为的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒 定电流I，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 S 。 (1) 求导线表面外侧的坡印廷矢量S G ； (2) 证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。 解：(1) 当导线的电导率为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场 i 2 z JI Ee a = G G G 根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即 iz EE oz =。因此，在导线 表面外侧的电场的切向分量为 o 2 z a I E a = = 又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为 o 0 S a E = = 故导线表面外侧的电场为 o 2 0 S z a I Eee a = =+ G G G 利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为 o 2 a I He a = = G G 故导线表面外侧的坡印廷矢量为 2 2 ooo 23 0 () W/ 2 2 S z aa II SEH e e aa = = = + G GG m G G (2) 由内导体表面每单位长度进入其内部的功率 22 2 o 23 2 d2 2 a S II PSeS a R aa = = = = = I G 式中， 2 1 R a =是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表面进入其内部 的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。 4.16 由半径为a的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为，两板间充满 介电常数为 d 、电导率为的媒质，如图题4.16所示。设两板间外加缓变电压 m cosuU t=，略去边缘效应，试求： (1) 电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； (2) 进入电容器的平均功率； (3) 电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。 图题4.16 解：(1) 电容器中的电场 m cos zz Uu Ee e t dd = G G G 位移电流密度和传导电流密度 d J G J G 分别为 m d m sin cos z z UE Je td U JEe t d t = = G G G GG G 由于轴对称性，两板间的磁场只有e G 分量，且在以z轴为中心、为半径的圆周 上处处相等，于是由 C dd CSS D Hl JS S t d =+ G G G GGG v 可得 22mm 2 cos sin UU Ht dd t = 所以 m (cos sin ) 2 U He t t d = G G m mm 2 2 2 (cos) (cos sin 2 cos sin 2 22 z UU SEH e t e t t dd U ett d ) = = G G G GG G m m 2 2 2 2 av 2 00 2 2 d()cossin2 2 2 22 4 U SSt e t d U e d = = GG G G dt (2) 进入电容器的平均功率为 mm av av av av av 222 2 dd d 2 42 zz SSS S PSS SeS eSSe Ua aU ad dd = = + + = GG G GG dS G GG v 下上柱 （） 面 (3) 损耗功率瞬时值为 P mm m 22 2 22 22 d cos d cos cos VV UU aU PEV tV tad dd d 2 t = = = 平均损耗功率为 av P m 22 2 av 0 d 2 2 aU PPt d = 由此可见，有。 av av PP = 4.17 已知真空中两个沿方向传播的电磁波的电场为 z j 11m j( ) 22m e e kz x kz y EeE EeE = = G G G G 其中为常数、 00 k =。证明：总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印 廷矢量之和。 证：由 0 jE H = GG 得磁场复矢量 j0 11 11 00 jj () e kz zy HEeEeE z = = = GG G GG m j( )0 22 22m 00 jj () e kz zx HEeEeE z = = GG G GG 所以平均坡印廷矢量 1m * *j0 av1 1 1 1m 1m 0 20 0 11 Re Re e e 22 1 2 kz kz xy z SEHeEeE eE j = = G GG GG G 2m * *j()0 av2 2 2 2m 2m 0 20 0 11 Re Re e e 22 1 2 kz kz yx z SEHeE eE eE j() = = G GG GG G 合成波电场和磁场复矢量 jj() 12 1m 2m j( ) j00 12 2m 1m ee ee kz kz xy kz kz EEE eE eE HHH e E e E =+= + =+= + G GG GG GGG 所以平均坡印廷矢量 1m 2m * av * jj() j() j00 1m 2m 2m 1m 220 0 1 Re 2 1 Re ( e e ) e e 2 1 () 2 kz kz kz kz xy x y z SEH eE eE e E e E eEE = =+ =+ G GG GG G G G 由此可见。 av av1 av2 SSS=+ GGG 4.18 试证明电磁能量密度 22 11 22 wE H=+ G G 和坡印廷矢量SEH= G GG 在下列变 换下都具有不变性： 1 cos sinEE H =+ G GG ， 1 1 sin cosHEH = + G GG 其中为常数、 =。 证：(1) 22 1111 11 22 22 EHEEH 1 H + =+ GGGGGG 22 222 cos sin 2 cossin 2 EHEH =+ G G 22 2 2 2 11 sin cos 2 cos sin 2 EH EH + G G 由于 =，则 2 =及 2 / =，故有 222 11 11 11 22 22 EHE+=+ GGG 2 H G (2) 11 1 (cos sin)( sin cos)EH E H E H = + + GG G G G G 22 1 cos ( ) ( )sinEH H E EH = + = G GGGG
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