概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案.pdf

1 概 率 论 与 数 理 统 计 第 八 章 课 后 习 题 及 参 考 答 案1 设 某 产 品 指 标 服 从 正 态 分 布 ， 它 的 均 方 差 已 知 为 150h， 今 从 一 批 产 品 中 随机 抽 查 26 个 ， 测 得 指 标 的 平 均 值 为 1637h 问 在 5%的 显 著 性 水 平 ， 能 否 认 为这 批 产 品 的 指 标 为 1600h？解 ： 总 体 X )150,( 2N ， 检 验 假 设 为0H ： 1600 ， 1H ： 1600 采 用 U 检 验 法 ， 选 取 统 计 量 nXU /0 0 ，当 0H 成 立 时 ， U )1,0(N ， 由 已 知 ， 有 1637x ， 26n ， 05.0 ，查 正 态 分 布 表 得 96.1025.0 u ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 96.1 u 将 观 测 值 代 入 检 验 统 计 量 得 2577.142.293726/150 16001637 u ，显 然 96.12577.1 u ， 故 接 受 0H ， 即 可 认 为 这 批 产 品 的 指 标 为 1600h2 正 常 人 的 脉 搏 平 均 为 72 次 /min， 现 某 医 生 从 铅 中 毒 患 者 中 抽 取 10 个 人 ， 测得 其 脉 搏 (单 位 ： 次 /min)如 下 ：54， 67 ， 68， 78， 70 ， 66 ， 67 ， 70 ， 65， 69设 脉 搏 服 从 正 态 分 布 ， 问 在 显 著 性 水 平 05.0 下 ， 铅 中 毒 患 者 与 正 常 人 的 脉 搏 是 否 有 显 著 性 差 异 ？解 ： 本 题 是 在 未 知 方 差 2 的 条 件 下 ， 检 验 总 体 均 值 72 取 检 验 统 计 量 为 nSXT / 0 ，检 验 假 设 为 0H ： 720 ， 1H ： 72 当 0H 成 立 时 ， T )1( nt ， 由 已 知 ， 有 4.67x ， 93.5s ， 05.0 ，查 t分 布 表 得 262.2)9(025.0 t ， 将 观 测 值 代 入 检 验 统 计 量 得45.288.1 6.410/93.5 724.67/ 0 nsxt ， 2 显 然 )9(262.2447.2 025.0tt ， 故 拒 绝 0H ， 即 铅 中 毒 患 者 与 正 常 人 的 脉 搏有 显 著 性 差 异 3 测 定 某 溶 液 中 的 水 分 ， 得 到 10 个 测 定 值 ， 经 统 计 %452.0x ， 22 037.0s ，该 溶 液 中 的 水 分 含 量 X ),( 2N ， 与 2 未 知 ， 试 问 在 显 著 性 水 平 05.0下 该 溶 液 水 分 含 量 均 值 是 否 超 过 5%？解 ： 这 是 在 总 体 方 差 2 未 知 的 情 况 下 ， 关 于 均 值 的 单 侧 检 验 检 验 假 设 为0H ： %5.0 ， 1H ： %5.0 此 假 设 等 价 于 检 验 假 设 0H ： %5.0 ， 1H ： %5.0 由 于 2 未 知 ， 取 检 验 统 计 量 为 nSXT / 0 当 0H 成 立 时 ， T )1( nt ， 拒 绝 域 为 )1(/ 0 ntnsx ，将 观 测 值 代 入 检 验 统 计 量 得 709.1037.0 )5.052.0(10/ 0 nsxt ，由 05.0 ， 查 t分 布 表 得 833.1)9(05.0 t ， 显 然 )9(833.1709.1 05.0tt ， 所 以 接 受 0H ， 即 该 溶 液 水 分 含 量 均 值 是 否 超 过 5%4 甲 、 乙 两 个 品 种 作 物 ， 分 别 用 10 块 地 试 种 ， 产 量 结 果 97.30x ， 79.21y ，7.2621 s ， 1.1222 s 设 甲 、 乙 品 种 产 量 分 别 服 从 正 态 分 布 ),( 21 N 和),( 22 N ， 试 问 在 01.0 下 ， 这 两 种 品 种 的 产 量 是 否 有 显 著 性 差 异 ？解 ： 这 是 在 方 差 相 等 但 未 知 的 情 况 下 检 验 两 正 态 总 体 的 均 值 是 否 相 等 的 问 题 检 验 假 设 为 0H ： 21 ， 1H ： 21 由 题 可 知 ， 22 221 未 知 ， 因 此 取 检 验 统 计 量 3 nm nmmnSnSm YXT )2()1()1( 2221 ，当 0H 为 真 时 ， T )2( nmt ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 )2( 2/ nmtt 由 题 设 ， 10nm ， 97.30x ， 79.21y ， 7.2621 s ， 1.1222 s 将 其 代 入 检 验 统 计 量 得 nm nmmnSnSm yxt )2()1()1( 2221 66.420 1810101.1297.269 79.2197.30 ，由 01.0 ， 查 t分 布 表 得 878.2)18()2( 005.02/ tnmt 显 然 )18(878.266.4 005.0 ttt ， 因 此 ， 拒 绝 0H ， 即 这 两 种 品 种 的 产 量 有 显 著 性 差 异 5 某 纯 净 水 生 产 厂 用 自 动 灌 装 机 装 纯 净 水 ， 该 自 动 灌 装 机 正 常 罐 装 量 X )4.0,18( 2N ， 现 测 量 某 厂 9 个 罐 装 样 品 的 灌 装 量 (单 位 ： L)如 下 ：0.18 ， 6.17 ， 3.17 ， 2.18 ， 1.18 ， 5.18 ， 9.17 ， 1.18 ， 3.18在 显 著 性 水 平 05.0 下 ， 试 问 ：(1) 该 天 罐 装 是 否 合 格 ？(2) 罐 装 量 精 度 是 否 在 标 准 范 围 内 ？解 ： (1) 检 验 罐 装 是 否 合 格 ， 即 检 验 均 值 是 否 为 18， 故 提 出 假 设0H ： 18 ， 1H ： 18 ， 由 于 方 差 22 4.0 已 知 ， 取 检 验 统 计 量 为 nXU /0 0 ，当 0H 为 真 时 ， U )1,0(N ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 2/uu 由 题 可 知 ， 9n ， 18x ， 将 其 代 入 检 验 统 计 量 得09/4.0 1818/0 0 nxu ，由 05.0 ， 查 标 准 正 态 分 布 表 得 96.1025.0 u ， 显 然 ， 025.096.10 uu ，故 接 受 0H ， 即 该 天 罐 装 合 格 4 (2) 检 验 罐 装 量 精 度 是 否 在 标 准 范 围 内 ， 即 检 验 假 设0H ： 22 4.0 ， 1H ： 22 4.0 ，此 假 设 等 价 于 0H ： 22 4.0 ， 1H ： 22 4.0 由 于 18 已 知 ， 选 取 检 验 统 计 量 为 ni iX1 2202 )18(1 ，当 0H 为 真 时 ， 2 )(2 n ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 )( 22 n 由 已 知 计 算 得 625.6)18(1 1 2202 ni ix ， 查 2 分 布 表 得 307.18)10(205.0 ，由 此 知 )10(307.18625.6 205.02 ， 故 接 受 0H ， 即 罐 装 量 精 度 在 标 准 范 围 内 6 某 厂 生 产 某 型 号 电 池 ， 其 寿 命 长 期 以 来 服 从 方 差 22 1600h 的 正 态 分 布 ， 现从 中 抽 取 25 只 进 行 测 量 ， 得 22 2500hs ， 问 在 显 著 性 水 平 05.0 下 ， 这 批电 池 的 波 动 性 较 以 往 有 无 显 著 变 化 ？解 ： 这 是 在 均 值 未 知 的 条 件 下 ， 对 正 态 总 体 方 差 的 检 验 问 题 检 验 假 设 为0H ： 202 ， 1H ： 202 ，其 中 1600 20 ， 取 检 验 统 计 量 为 2 22 )1( Sn 当 0H 为 真 时 ， 2 )(2 n ， 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为)1( 2 2/12 n 或 )1( 2 2/2 n 将 观 测 值 25002 s 代 入 检 验 统 计 量 得 5.371600250024)1( 2 22 sn 对 于 05.0 ， 查 2 分 布 表 得 401.12)24()1( 2975.02 2/1 n ， 364.39)24()1( 2025.02 2/ n ，由 于 )24(364.395.37401.12)24( 2025.022975.0 ，故 接 受 0H ， 即 这 批 电 池 的 波 动 性 较 以 往 无 显 著 变 化 5 7 某 工 厂 生 产 一 批 保 险 丝 ， 从 中 任 取 10 根 试 验 熔 化 时 间 ， 得 60x ， 8.1202 s ，设 熔 化 时 间 服 从 正 态 分 布 ),( 2N ， 在 01.0 下 ， 试 问 熔 化 时 间 的 方 差 是 否大 于 100？解 ： 本 题 是 在 均 值 未 知 的 条 件 下 ， 检 验 2 是 否 大 于 100， 是 关 于 2 的 单 侧 检 验问 题 检 验 假 设 为 0H ： 1002 ， 1H ： 1002 ，此 假 设 等 价 于 0H ： 1002 ， 1H ： 1002 ，这 是 左 侧 检 验 问 题 ， 取 检 验 统 计 量 为 20 22 )1( Sn ，当 0H 为 真 时 ， 2 )(2 n ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 )1( 212 n 将 10n ， 10020 ， 8.1202 s ， 代 入 上 述 统 计 量 得87.10100 8.1209)1( 20 22 sn 对 于 01.0 ， 查 2 分 布 表 得 0879.2)9(299.0 ，显 然 )9(0879.287.10 299.02 ， 接 受 0H ， 即 熔 化 时 间 的 方 差 大 于 100本 题 如 果 将 检 验 假 设 设 为0H ： 1002 ， 1H ： 1002 ，即 进 行 右 侧 检 验 ， 统 计 量 得 选 取 如 上 ， 则 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 )1( 22 n 对 于 01.0 ， 查 2 分 布 表 得 666.21)9(201.0 ，显 然 )9(666.2187.10 201.02 ， 接 受 0H ， 即 熔 化 时 间 的 方 差 不 大 于 100注 ： 若 选 取 的 显 著 性 水 平 为 3.0 ， 用 MATLAB 计 算 得 6564.10)9(23.0 ， 从 而有 )9(6564.1087.10 23.02 ， 则 应 拒 绝 原 假 设 ， 即 熔 化 时 间 的 方 差 大 于 100 6 上 述 结 果 说 明 了 在 观 测 值 接 近 临 界 值 时 ， 原 假 设 不 同 的 取 法 会 导 致 检 验 结 果的 不 一 样 ， 如 果 用 p 值 检 验 法 则 可 避 免 上 述 矛 盾 8 设 有 两 个 来 自 不 同 正 态 总 体 的 样 本 ， 4m ， 5n ， 60.0x ， 25.2y ，07.1521 s ， 81.1022 s 在 显 著 性 水 平 05.0 下 ， 试 检 验 两 个 样 本 是 否 来 自相 同 方 差 的 总 体 ？解 ： 记 两 正 态 总 体 为 ),( 211 N 和 ),( 222 N ， 其 中 1 和 2 未 知 检 验 假 设 为0H ： 2221 ， 1H ： 2221 取 检 验 统 计 量 为 2221SSF ，当 0H 为 真 时 ， F )1,1( nmF ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为)1,1( 2/1 nmFF 或 )1,1( 2/ nmFF 由 题 可 知 ， 05.0 ， 4m ， 5n ， 将 观 测 值 代 入 检 验 统 计 量 得39.181.10 07.152221 ssF ，查 F 分 布 表 得 98.9)4,3()1,1( 025.02/1 FnmF ， 066.010.151)3,4(1)4,3()1,1( 025.0975.02/ FFnmF 由 此 知 )4,3(98.939.1066.0)4,3( 025.0975.0 FF ， 观 测 值 没 有 落 入 拒 绝 域 内 ，接 受 0H ， 即 两 个 样 本 来 自 相 同 方 差 的 总 体 9 某 厂 的 生 产 管 理 员 认 为 该 厂 第 一 道 工 序 加 工 完 的 产 品 送 到 第 二 道 工 序 进 行 加工 之 前 的 平 均 等 待 时 间 超 过 90min 现 对 100 件 产 品 的 随 机 抽 样 结 果 的 平 均 等待 时 间 为 96min， 样 本 标 准 差 为 30min 问 抽 样 的 结 果 是 否 支 持 该 管 理 员 的 看法 ？ ( 05.0 )解 ： 这 是 非 正 态 总 体 均 值 的 检 验 问 题 ， 用 X 表 示 第 一 道 工 序 加 工 完 的 产 品 送 到第 二 道 工 序 进 行 加 工 之 前 的 等 待 时 间 ， 设 其 均 值 为 ， 依 题 意 ， 检 验 假 设 为 0H ： 90 ， 1H ： 90 7 由 于 100n 为 大 样 本 ， 故 用 U 检 验 法 总 体 标 准 差 未 知 ， 用 样 本 标 准 差 S 代 替 取 检 验 统 计 量 为 100/ 90SXU ，当 0H 为 真 时 ， 近 似 地 有 U )1,0(N ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 uu 由 题 可 知 ， 96x ， 30s ， 100n 对 于 05.0 ， 查 标 准 正 态 分 布 表 得 645.105.0 uu 将 观 测 值 代 入 检 验 统 计 量 得 2100/30 9096100/ 90 sxu ， 显 然 ， 05.0645.12 uu ， 故 拒 绝 0H ， 即 平 均 等 待 时 间 超 过 90 分 钟 ， 也 即支 持 该 管 理 员 的 看 法 10 一 位 中 学 校 长 在 报 纸 上 看 到 这 样 的 报 道 ： “ 这 一 城 市 的 初 中 学 生 平 均 每 周 看8h 电 视 ” 她 认 为 她 所 领 导 的 学 校 ， 学 生 看 电 视 时 间 明 显 小 于 该 数 字 为 此 ，她 向 学 校 的 100 名 初 中 学 生 作 了 调 查 ， 得 知 平 均 每 周 看 电 视 的 时 间 5.6x h，样 本 标 准 差 为 2s h， 问 是 否 可 以 认 为 校 长 的 看 法 是 对 的 ？ ( 05.0 )解 ： 初 中 生 每 周 看 电 视 的 时 间 不 服 从 正 态 分 布 ， 这 是 非 正 态 总 体 均 值 的 假 设 检 验问 题 检 验 假 设 为 0H ： 8 ， 1H ： 8 由 于 100n 为 大 样 本 ， 故 用 U 检 验 法 ， 取 检 验 统 计 量 为 nSXU / ，当 0H 为 真 时 ， 近 似 地 有 U )1,0(N ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 uu 由 题 可 知 ， 5.6x ， 2s ， 100n 对 于 05.0 ， 查 标 准 正 态 分 布 表 得 645.105.0 uu 将 观 测 值 代 入 检 验 算 统 计 量 得 5.7100/2 85.6 u ，显 然 ， 05.0645.15.7 uu ， 故 拒 绝 0H ， 即 初 中 生 平 均 每 周 看 电 视 的 时间 少 于 8 小 时 ， 这 位 校 长 的 看 法 是 对 的 8 11 已 知 某 种 电 子 元 件 的 使 用 寿 命 X (单 位 ： h)服 从 指 数 分 布 )(E 抽 查 100 个元 件 ， 得 样 本 均 值 950x h 能 否 认 为 参 数 001.0 ？ ( 05.0 )解 ： X )(E ， 1)( XE ， 21)( XD ， 由 中 心 极 限 定 理 知 ， 当 n充 分 大 时 ，近 似 地 有 nXnXU )1(/1 /1 )1,0(N 由 题 可 知 001.00 ， 检 验 假 设 可 设 为0H ： 0 ， 1H ： 0 取 检 验 统 计 量 为 nXnXU )1(/1 /1 000 ，当 0H 为 真 时 ， 近 似 地 有 U )1,0(N ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 2/uu 由 题 知 ， 100n ， 950x ， 05.0 ， 查 标 准 正 态 分 布 表 知 96.1025.02/ uu 将 观 测 值 代 入 检 验 统 计 量 得 5.0u ， 显 然 ， 025.096.15.0 uu ， 故 接 受0H ， 即 可 以 认 为 参 数 001.0 12 某 地 区 主 管 工 业 的 负 责 人 收 到 一 份 报 告 ， 该 报 告 中 说 他 主 管 的 工 厂 中 执 行 环境 保 护 条 例 的 厂 家 不 足 60%， 这 位 负 责 人 认 为 应 不 低 于 60%， 于 是 他 在 该地 区 众 多 的 工 厂 中 随 机 抽 查 了 60 个 厂 家 ， 结 果 发 现 有 33 家 执 行 了 环 境 保 护 条 例 ， 那 么 由 他 本 人 的 调 查 结 果 能 否 证 明 那 份 报 告 中 的 说 法 有 问 题 ？( 05.0 )解 ： 设 执 行 环 境 保 护 条 例 的 厂 家 所 占 的 比 率 为 p ， 则 检 验 假 设 为0H ： 6.0p ， 1H ： 6.0p ，上 述 假 设 等 价 于 0H ： 6.0p ， 1H ： 6.0p 引 入 随 机 变 量 .,0 ,1 条 例抽 到 的 厂 家 为 执 行 环 保 例抽 到 的 厂 家 执 行 环 保 条X 则 X ),1( pB ， pXE )( ， )1()( ppXD ， 由 中 心 极 限 定 理 ， 当 0H 为 真 9 时 ， 统 计 量 60/)6.01(6.0 6.0/)1( 00 0 Xnpp pXU 近 似 地 服 从 )1,0(N 对 于 显 著 性 水 平 05.0 ， 查 标 准 正 态 分 布 表 得 645.105.0 uu ，由 此 可 知 05.0645.160/)6.01(6.0 6.0 XP 以 U 作 为 检 验 统 计 量 ， 该 检 验 法 的 拒 绝 域 为 645.1 05.0 uu 将 55.06033 x 代 入 上 述 检 验 统 计 量 ， 得 791.060/)6.01(6.0 6.055.0/)1( 00 0 npp pxu ， 显 然 ， 05.0645.1791.0 uu ， 故 接 受 0H ， 即 执 行 环 保 条 例 的 厂 家 不 低于 60%， 也 即 由 他 本 人 的 调 查 结 果 证 明 那 份 报 告 中 的 说 法 有 问 题 13 从 选 取 A 中 抽 取 300 名 选 民 的 选 票 ， 从 选 取 B 中 抽 取 200 名 选 民 的 选 票 ，在 这 两 组 选 票 中 ， 分 别 有 168 票 和 96 票 支 持 所 选 候 选 人 ， 试 在 显 著 性 水 平05.0 下 ， 检 验 两 个 选 区 之 间 对 候 选 人 的 支 持 是 否 存 在 差 异 解 ： 这 是 检 验 两 个 比 率 是 否 相 等 的 问 题 ， 检 验 假 设 为0H ： 21 pp ， 1H ： 21 pp 取 检 验 统 计 量 为 mnpp ppU 11)1( 21 ， 其 中 )(1 2121 mn YYYXXXmnp 是 21 ppp 的 点 估 计 当 0H 为 真 时 ， 近 似 地 有 U )1,0(N 由 题 可 知 300n ， 168n ， 200m ， 96m ， 又56.03001681 p ， 48.0200962 p ， 528.0500264 mnp mn 由 此 得 统 计 量 的 观 测 值 为 755.11201472.0528.0 48.056.0 u ， 10 由 05.0)96.1( UP ， 得 拒 绝 域 为 96.1 u ，因 为 96.1755.1 u ， 故 接 受 0H ， 即 两 个 选 区 之 间 对 候 选 人 的 支 持 无 显 著 性差 异