资源描述
高 一 数 学 复 习 易 错 题 训 练 1 . 在 中 ,则 的 值 为 。错 误 分 析 :错 误 认 为 ,从 而 出 错 . 2 . 为 平 面 上 的 定 点 ， A、 B、 C是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 若 ( -) (+-2)=0， 则 ABC是 三 角 形 。 以 BC为 底 边 的 等 腰 三 角 形 错 因 ： 学 生 对 题 中 给 出 向 量 关 系 式 不 能 转 化 ： 2不 能 拆 成 (+)。3. O是 平 面 上 一 定 点 ,A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ,动 点 P满 足 ,则 P的 轨 迹 一 定 通 过 ABC的 心 。 内 心错 误 原 因 ： 对 理 解 不 够 。 不 清 楚 与 BAC的 角 平 分 线 有 关 。 4 . 若 向 量 =， =， 且 的 夹 角 为 钝 角 ， 则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .错 误 分 析 ： 只 由 的 夹 角 为 钝 角 得 到 而 忽 视 了 不 是 夹 角 为 钝 角 的 充 要 条 件 ,因 为 的 夹 角 为 时 也 有 从 而 扩 大 的 范 围 ,导 致 错 误 .5 . 已 知 为 坐 标 原 点 ， 集 合 ,且 。 4 6 错 误 原 因 ： 看 不 懂 题 意 ， 未 曾 想 到 数 形 结 合 的 思 想 。6 . 在 中 ,已 知 ,且 的 一 个 内 角 为 直 角 ,则 实 数 的 值 为 . 或 或 错 误 分 析 :是 自 以 为 是 ,凭 直 觉 认 为 某 个 角 度 是 直 角 ,而 忽 视 对 诸 情 况 的 讨论 . 7 . 已 知 O、 A、 B三 点 的 坐 标 分 别 为 O(0,0)， A(3， 0)， B(0， 3)， 且 P在线 段 AB上 ， =t (0 t 1)则 的 最 大 值 为 。 9 错 因 ： 学 生 不 能 借 助 数 形 结 合 直 观 得 到 当 OPcos最 大 时 ， 即 为 最 大 。8. 已 知 向 量 M= =(1,2)+(3,4) R， N=(-2,2)+ (4,5) R ， 则 MN= 。错 因 ： 学 生 看 不 懂 题 意 ， 对 题 意 理 解 错 误 。 1 0 . 过 ABC的 重 心 作 一 直 线 分 别 交 AB,AC 于 D,E,若 ,(),则 的 值 为。 4 分 析 ： 特 殊 值 法 。11. 已 知 ， ， 若 ， 则 ABC是 直 角 三 角 形 的 概 率 是 。 分 析 ： 由 及 知 ， 若 垂 直 ， 则 ； 若 与 垂 直 ， 则 ， 所 以 ABC是 直 角 三 角 形的 概 率 是 . 12. 不 等 式 的 解 集 13. 函 数 y =lg (-x 2 +5 x +2 4 )的 值 小 于 ， 则 x 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 . 设 k R , x 1 , x 2 是 方 程 x 2 2 k x +1 k 2 =0 的 两 个 实 数 根 , 则 x +x 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 15. 已 知 A=x |x 2 +(P+2 )x +4 =0 , M=x |x 0 , 若 AM=, 则 实 数 P的 取 值 范 围 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【 解 】 分 与 两 情 况 ， 最 终 可 求 出 1 6 . 若 不 等 式 (a2 3 a+2 ) x 2 +(a 1 )x +2 0 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解 ： 或解 得 ： 1 7 . 已 知 两 个 点 (-3， -1)和 (4， -6)分 布 在 直 线 -3x+2y+a=0的 两侧 ， 则 a的 取 值 范 围 为 （ ， ） 18. 给 出 平 面 区 域 如 图 所 示 , 若 使 目 标 函 数 Z=ax +y (a0 ), 取 得 最 大 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 则 a值 为 _ _ _ _ _ _ y xO B(1 ,1 )C(1 , 2 25 )A(5 ,2 ) 19. 若 ， 则 的 最 小 值 是 _ _ _ _ _ _ （ 答 ： ） ； 20. 若 是 正 常 数 ， ， ， 则 ， 当 且 仅 当 时 上 式 取 等 号 . 利 用 以 上 结 论 ， 可以 得 到 函 数 （ ） 的 最 小 值 为 ， 取 最 小 值 时 的 值 为 25 ，21. 已 知 关 于 的 不 等 式 组 有 唯 一 实 数 解 ， 则 实 数 的 取 值 集 合 22. 已 知 第 象 限 角 . 且说 明 ： 本 题 考 查 了 正 、 余 弦 函 数 与 正 切 函 数 转 化 关 系 以 及 由 三 角 函 数 值 判 断 角 所 在 的 象 限 .23. 已 知 . 说 明 ： 本 题 考 查 了 倍 角 公 式 的 应 用 ， 在 公 式 应 用 是 注 意 符 号 的 取舍 ， 特 别 关 注 的 是 角 的 范 围 . 2 4 . 已 知 .说 明 ： 本 题 通 过 降 冪 联 想 到 三 角 函 数 的 基 本 公 式 和 倍 角 公 式 进 行 化 简 求 值 .2 5 . 要 得 到 函 数 只 需 将 函 数 的 图 像 . 解 ： ， 图 像 向 右 平 移 个 单 位 就 得 到 的 图 像 .说 明 ： 本 题 考 查 三 角 函 数 的 平 移 变 换 ， 掌 握 “左 加 右 减 ”法 则 ， 以 及 正 余 弦 之 间 的 转 化 是 解 决 问 题 的 关 键 .2 6 . 已 知 有 最 小 值 ， 无 最 大 值 ， 则 。 说 明 ： 本 题 考 查 正 弦 的 对 称 轴 及 周 期 ， 以 及 正 弦 图 像 的 知 识 。2 7 . 将 全 体 正 整 数 排 成 一 个 三 角 形 数 阵 ： 12 3 4 5 67 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 按 照 以 上 排 列 的 规 律 ， 第 行 （ ） 从 左 向 右 的 第 3 个 数 为 解 ： 前 n 1 行 共 有 正 整 数 1 2 （ n 1 ） 个 ， 即 个 ， 因 此 第 n 行 第 3 个 数 是 全 体 正 整 数 中 第 3 个 ， 即 为 点 评 ： 本 小 题 考 查 归 纳 推 理 和 等 差 数 列 求 和 公 式 ， 难 点 在 于 求 出 数 列 的 通 项 ， 解 决 此 题 需 要 一 定 的 观 察 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 。 2 8 . 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn =n 2 +1 ， 则 an =_ _ _ _ _ _ 答 案 ： an = 点 评 ： 误 填 2 n 1 ， 忽 略 “an =Sn Sn 1 ”成 立 的 条 件 ： “n 2 ”。2 9 . 已 知 a n 为 递 增 数 列 ， 且 对 于 任 意 正 整 数 n ， an +1 an 恒 成 立 ， an =n 2 + n 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _答 案 ： 3 点 评 ： 利 用 二 次 函 数 单 调 性 讨 论 较 繁 ， 且 易 错 ， 利 用 an +1 an 恒 成 立 较 方 便 。 3 0 . 已 知 数 列 1 ， a1 ， a2 ， 4 成 等 差 数 列 ,1 ， b 1 ,b 2 ,b 3 ,4 成 等 比 数 列 ， 则 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _答 案 ： 忽 略 b 2 为 等 比 数 列 的 第 三 项 ， b 2 符 号 与 1 、 4 同 号 3 1 . 数 列 的 前 n 项 和 答 案 ： 3 5 0 首 项 不 满 足 通 项 。 3 2 . 在 等 差 数 列 ， 则 在 Sn中 最 大 的 负 数 为 答 案 ： S19 等 差 数 列 求 和 公 式 应 用 以 及 数 列 性 质 分 析 错 误 。 33. 在 之 间 插 入 n个 正 数 ， 使 这 n+2个 正 数 成 等 比 数 列 ，则 插 入 的 n个 正 数 之 积 为 _ 答 案 ： 无 法 探 求 问 题 实 质 ， 致 使 找 不 到 解 题 的 切 入 点 34. 已 知 (n N* )， ， 则 _ _ _ _ _ _ _ 解 ： ， 即 是 以 周 期 为 4 的 数 列 ， 所 以 3 5 . 已 知 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn =n 2 1 6 n 6 ， 求 数 列 |an |的 前 n 项 和 Sn 答 案 ： Sn = n 2 +1 6 n +6 n 8 时 n 2 1 6 n +1 3 4 n 8 时 运 用 或 推 导 公 式 时 ， 只 考 虑 一 般 情况 ， 忽 视 特 殊 情 况 ， 导 致 错 解 。 3 6 . 在 数 列 中 ， ， 且 对 任 意 大 于 1的 正 整 数 ， 点 在 直 线 上 ， 则 =_ 解 ： 点 在 直 线 ， 即 ， 又 ， 所 以 是 以 为 首 项 ， 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 故 ， 即 37. 已 知 ， 则 数 列 的 前 n 项 和 为 ： 解 ： 数 列 的 通 项 为 ： 所 以 ：3 8 . 设 ， 利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前 项 和 的 公 式 的 方 法 ， 可 求 得 的 值 为 ： 解 ： 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前 项 和 的 公 式 的 方 法 即 为 “倒 序 相 加 法 ”令 则 也 有 由 可 得 ： ， 于 是 由 两 式 相 加 得 ， 所 以3 9 . 对 正 整 数 n ， 设 曲 线 在 x 2 处 的 切 线 与 y轴 交 点 的 纵 坐 标 为 ， 则 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 是 解 ： ， ， 切 点 为 ， 切 线 方 程 点 斜 式 为 ： ， 令 得 ， 令 ， 则 ， 令 ，由 错 位 相 减 法 可 得 ： 4 0 . 数 列 满 足 ， 若 ， 则 的 值 为 答 案 ： C 方 法 ： 找 规 律 ， 解 数 列 常 见 方 法 4 1 . 设 a 是 等 差 数 列 ， b 为 等 比 数 列 ， 其 公 比 q 1, 且 b0(i=1、 2、 3 n) 若 a=b,a=b则 与 的 大 小 关 系 为 错 因 ： 学 生 不 能 灵 活 运 用 等 差 中 项 和 等 比 中 项 的 定 义 及 基 本 不 等式 。 4 2 . 某 人 为 了 观 看 2008年 奥 运 会 ， 从 2001年 起 每 年 5月 10日 到 银 行 存 入 a元 定 期 储 蓄 ， 若 年 利 率 为 p且 保 持 不 变 ， 并 且 每 年 到 期 的 存 款 及 利 息 均 自 动 转 为 新 一 年 定 期 ， 到 2008年 将 所 有 的 存 款 和 利 息 全 部 取 回 ， 则可 取 回 的 钱 的 总 数 （ 元 ） 为 正 确 答 案 ： 错 因 ： 学 生 对 存 款 利 息 的 计 算 方 法 没 掌 握 。 4 3 . 定 义 一 个 “等 积 数 列 ”： 在 一 个 数 列 中 ， 如 果 每 一 项 与 它 后 一 项 的 积 都 是 同 一 常 数 ， 那 么 这 个 数 列 叫 “等 积 数 列 ”， 这 个 常 数 叫 做 这 个 数 列 的 公 积 已 知 数 列 是 等 积 数 列 ， 且 ， 公 积 为 5 ， 则 这 个 数 列 的 前 项 和 的 计 算 公 式 为 ： 解 ： 这 个 数 列 为 2， ， 2， ， 2， ， ， 若 是 偶 数 ， 则 ， 若 是 奇 数 ，则 故 44. 函 数 的 单 调 减 区 间 为 。解 答 ： ， 令 ， 函 数 的 定 义 域 为 函 数 的 单 调 减 区 间 为 说 明 ： 此 题 考 查 基 本 函 数 的 导 数 及 导 数 的 运 算 法 则4 5 . 一 个 膨 胀 中 的 球 形 气 球 ， 其 体 积 的 膨 胀 率 恒 为 ， 则 但 其 半 径 增 至 时 ， 半 径 的 增 长 率 是 .解 答 ： 说 明 ： 考 查 对 导 数 概 念 的 理 解 能 力46. 若 函 数 在 内 单 调 递 减 ， 则 实 数 a 的 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解 答 ： 法 1 ： （ 分 离 参 数 法 ） 函 数 在 内 单 调 递 减 ， 在 内 恒 成 立 即 在 内 恒 成 立 在 上 的 最 大 值 为 ， 法 2 ： （ 数 形 结 合 法 ） （ 为 二 次 函 数 ） 如 图 ， 要 使 在 内 恒 成 立 ， 只 需 对 称 轴 ，即 说 明 ： 此 题 考 查 利 用 导 函 数 的 正 负 判 断 原 函 数 的 单 调 性4 7 . 设 是 函 数 的 导 函 数 ， 的 图 象 如 下 图 所 示 ， 则 的 图 象 最 有 可 能 的 是 ： _（ 序 号 ） （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 解 答 ： （ 3 ）说 明 ： 此 题 考 查 了 原 函 数 与 导 函 数 图 像 之 间 的 关 系 4 8 . 已 知 函 数 在 时 取 得 极 大 值 ， 则 解 答 ： 9 说 明 ： 考 查 对 极 大 值 含 义 的 理 解 49. 已 知 集 合 说 明 ： 理 解 代 表 元 的 意 义 ,这 是 个 易 错 点 ,需 要 强 化 .如 y |y =x 2 、 x |y =x 2 、 (x ,y )|y =x 2 就 表 示 完 全 不 同 的 三 个 集 合 ， 它 们 分 别 表 示 0 ,+,R两 个 数 集 及 抛 物 线 y =x 2 上 的 点 集 。 避 免 如 下 错 误 ： y |y =x 2 y |y =2 x =(2 ,2 )、 (4 ,4 )。 5 0 . 已 知 集 合 ， 若 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 (2 ， 3 ) 解 ： 集 合 =x| a 1 xa +1 ， =x| x4 或 x1 又 ， ， 解 得 2 a 0 .0 2 。 命 题 意 图 ： 本 题 考 查 从 样 本 数 据 中 提 取 基 本 的 数 字 特 征 （ 如 平 均数 、 标 准 差 ） ， 并 作 出 合 理 的 解 释 . 6 3 . 图 1 是 某 县 参 加 2 0 0 7 年 高 考 的 学 生 身 高 条 形 统 计 图 ， 从 左 到 右 的各 条 形 表 示 的 学 生 人 数 依 次 记 为 A 1 、 A2 、 、 A1 0 （ 如 A2 表 示 身 高（ 单 位 ： cm） 内 的 学 生 人 数 ） 。 图 2 是 统 计 图 1 中 身 高 在 一 定 范 围 内 学 生 人 数 的 一 个 算 法 流 程 图 。 现 要 统 计 身 高 在 1 6 0 1 8 0 cm（ 含1 6 0 cm， 不 含 1 8 0 cm)） 的 学 生 人 数 ， 那 么 在 流 程 图 中 的 判 断 框 内 应 填 写 的 条 件 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【 解 】 方 法 一 ： ；方 法 二 ： 现 要 统 计 的 是 身 高 在 1 6 0 -1 8 0 cm之 间 的 学 生 的 人 数 ， 即 是 要 计 算 A4 、 A5 、 A6 、 A7 的 和 ， 故 流 程 图 中 空 白 框 应 是 i8 ， 当 i0时 ， 2mcos20， 即 f()f() 当 m0时 ， 2mcos20， 即 f()0 且 （ ） = = = 即 x (mx -1 ) 0 1 当 m 0 时 x 0 或 2 m0 时 x ( -mx +1 ) 0 , 且 5 x +7 y =2 0 , 求 x y 的 最 大 值 ; (4 )已 知 x , y R+ 且 x +2 y =1 , 求 的 最 小 值 .答 案 ： （ 1） 的 最 小 值 为 6（ x=2） （ ） 的 最 大 值 为 (x=1)（ ） 的 最 大 值 为 (x=2,y=) （ 4） 的 最 小 值 为 ()变 ： 已 知 x 0 , y 0 , 且 5 x +7 y =x y , 求 x +y 的 最 小 值 ; 7 2 . 某 工 厂 要 建 造 一 个 长 方 体 无 盖 贮 水 池 ， 其 容 积 为 4 8 0 0 m3 ， 深 为 3 m， 如 果 池 底 每 1 m2 的 造 价 为 1 5 0 元 ， 池 壁 每 1 m2 的 造 价 为 1 2 0 元 ， 问 怎 样 设计 水 池 能 使 总 造 价 最 低 ， 最 低 总 造 价 是 多 少 元 ？ 分 析 ： 此 题 首 先 需 要 由 实 际 问 题 向 数 学 问 题 转 化 ， 即 建 立 函 数 关 系式 ， 然 后 求 函 数 的 最 值 ， 其 中 用 到 了 均 值 不 等 式 定 理 . 解 ： 设 水 池 底 面 一 边 的 长 度 为 xm， 水 池 的 总 造 价 为 l元 ， 根 据 题意 ， 得 l 2 4 0 0 0 0 7 2 0 （ x 1 6 0 0 x ） 2 4 0 0 0 0 7 2 0 2 1 6 0 0 x x 2 4 0 0 0 0 7 2 0 2 4 0 2 9 7 6 0 0 当 x 1 6 0 0 x ， 即 x 4 0 时 ， l有 最 小 值 2 9 7 6 0 0因 此 ， 当 水 池 的 底 面 是 边 长 为 4 0 m的 正 方 形 时 ， 水 池 的 总 造 价 最 低 ， 最 低 总 造 价 是 2 9 7 6 0 0 元 .7 3 . 解 关 于 x 的 不 等 式 7 4 . 已 知 函 数 （ 1） 设 为 常 数 ， 若 在 区 间 上 是 增 函 数 ， 求 的 取 值 范 围 （ 2） 设 集 合 ， 若 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 。答 案 ： （ 1 ） 在 上 是 增 函 数 。， 即 （ 2 ） 由 得 ： ， 即当 时 ， 恒 成 立 。 又 时 ， 7 5 . 已 知 二 次 函 数 的 图 像 经 过 坐 标 原 点 ， 其 导 函 数 为 ， 数 列 的 前 项 和为 ， 点 (n N* ) 均 在 函 数 的 图 像 上 （ ） 求 数 列 的 通 项 公 式 ； （ ） 设 ， 是 数 列 的 前 项 和 ， 求 使 得 对 所 有 n N* 都 成 立 的 最 小 正 整数 ； 解 ： （ ） 依 题 设 ， 由 又 由 得 , ， 所 以 ，当 时 ， 当 时 ， 也 符 合 ， （ ） 由 （ ） 得 ， ， 要 使 恒 成 立 ， 只 要 ， 又 ， 只 要 ， 即 ， 的 最 小 整 数 为 107 6 . 已 知 等 差 数 列 的 前 n 项 和 为 ， 且 ， . 数 列 是 等 比 数 列 ， （ 其 中 ） . （ I） 求 数 列 和 的 通 项 公 式 ； （ II） 记 .解 ： （ I） 公 差 为 d ， 则 .设 等 比 数 列 的 公 比 为 ， . （ II） 作 差 ： . 点 评 ： 本 题 考 查 了 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 基 本 知 识 ， 第 二 问 ， 求 前 n 项 和 的 解 法 ， 要 抓 住 它 的 结 特 征 ， 一 个 等 差 数 列 与 一 个 等 比 数 列之 积 ， 乘 以 后 变 成 另 外 的 一 个 式 子 ， 体 现 了 数 学 的 转 化 思 想 。 7 7 . 将 全 体 正 整 数 排 成 一 个 三 角 形 数 阵 ：1 2 34 5 6 7 8 9 1 01 1 1 2 1 3 1 4 1 5 按 照 以 上 排 列 的 规 律 ， 第 行 （ ） 从 左 向 右 的 第 3 个 数 为 解 ： 前 n 1 行 共 有 正 整 数 1 2 （ n 1 ） 个 ， 即 个 ， 因 此 第 n 行 第3 个 数 是 全 体 正 整 数 中 第 3 个 ， 即 为 点 评 ： 本 小 题 考 查 归 纳 推 理 和 等 差 数 列 求 和 公 式 ， 难 点 在 于 求 出 数列 的 通 项 ， 解 决 此 题 需 要 一 定 的 观 察 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 。 7 8 . 已 知 等 比 数 列 的 首 项 为 ， 公 比 满 足 。 又 已 知 ， ， 成 等 差 数 列 。 （ 1 ） 求 数 列 的 通 项 （ 2 ） 令 ， 求 证 ： 对 于 任 意 ， 都 有（ 1 ） 解 ： （ 2 ） 证 明 ： ， 点 评 ： 把 复 杂 的 问 题 转 化 成 清 晰 的 问 题 是 数 学 中 的 重 要 思 想 ， 本 题 中 的 第 （ ） 问 ， 采 用 裂 项 相 消 法 法 ， 求 出 数 列 之 和 ， 由 n 的 范 围 证 出 不 等式 。 数 列 与 程 序 框 图 的 联 系7 9 . 根 据 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 将 输 出 的 x 、 y 值 依 次 分 别 记 为 ； （ ） 求 数 列 的 通 项 公 式 ；（ ） 写 出 y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 ， 由 此 猜 想 出 数 列 y n ； 的 一 个 通 项 公 式 y n ， 并 证 明 你 的 结 论 ;（ ） 求 解 ： （ ） 由 框 图 ， 知 数 列 （ ） y 1 =2 ， y 2 =8 ， y 3 =2 6 ， y 4 =8 0 .由 此 ， 猜 想 证 明 ： 由 框 图 ， 知 数 列 y n 中 ， y n +1 =3 y n +2 数 列 y n +1 是 以 3 为 首 项 ， 3 为 公 比 的 等 比 数 列 。 +1 =3 3 n 1 =3 n =3 n 1 （ ） （ ） zn =1 （ 3 1 ） +3 （ 3 2 1 ） +（ 2 n 1 ） （ 3 n 1 ） =1 3 +3 3 2 +（ 2 n 1 ） 3 n 1 +3 +（ 2 n 1 ） 记 Sn =1 3 +3 3 2 +（ 2 n 1 ） 3 n ， 则 3 Sn =1 3 2 +3 3 3 +（ 2 n 1 ） 3 n +1 ， 得 2 Sn =3 +2 3 2 +2 3 3 +2 3 n （ 2 n 1 ） 3 n +1 =2 （ 3 +3 2 +3 n ） 3 （ 2 n 1 ） 3 n +1=2 = 又 1 +3 +（ 2 n 1 ） =n 2 .点 评 ： 程 序 框 图 与 数 列 的 联 系 是 新 课 标 背 景 下 的 新 鲜 事 物 ， 因 为 程 序 框 图 中 循 环 ， 与 数 列 的 各 项 一 一 对 应 ， 所 以 ， 这 方 面 的 内 容 是 命题 的 新 方 向 ， 应 引 起 重 视 。 8 0 . 若 .说 明 ： 本 题 考 查 用 三 角 函 数 值 反 求 角 ， 同 时 运 用 余 弦 函 数 在 0 度 到 1 8 0 度 上 严 格 单 调 来 解 题 .8 1 . 在 中 ， 角 A,B,C分 别 对 应 边 为 a,b ,c,b =aco sC,判 断 的 形 状 。 由 正 弦 定 理 得 ： 说 明 ： 本 题 考 查 正 弦 定 理 。8 2 . 分 别 是 中 角 A,B,C的 对 边 ， 其 外 接 圆 的 半 径 为 1 ， 且 关 于 x 的 方 程 ： 两 个 根 ， 求 ： 角 A的 值 及 边 a,b ,c的 值 。说 明 ： 本 题 考 查 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 及 一 元 二 次 方 程 。 8 3 . 在 中 ， 已 知 角 A、 B、 C所 对 的 三 边 分 别 是 a,b ,c,且 （ 1 ） 求 证 ： ； （ 2 ） 求 函 数 的 值 域 。 解 ： (1 )co sB= (2 )说 明 ： 本 题 考 查 余 弦 定 理 ， 和 角 公 式 以 及 三 角 函 数 值 域 求 法 。 8 4 . 已 知 a是 实 数 ， 函 数 ， 如 果 函 数 在 区 间 -1 ， 1 上 有 零 点 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 。 解 ： 当 a=0 时 ， 函 数 为 f (x )=2 x -3 ， 其 零 点 x =不 在 区 间 -1， 1上 。 当 a0 时 ， 函 数 f (x ) 在 区 间 -1， 1分 为 两 种 情 况 ： 1 函 数 在 区 间 1， 1上 只 有 一 个 零 点 ， 此 时 2 或 ， 解 得 1 a5 或 a= 函 数 在 区 间 1， 1上 有 两 个 零 点 ， 此 时 或 解 得 a5 或 a 综 上 所 述 ， 如 果 函 数 在 区 间 1， 1上 有 零 点 ， 那 么 实 数 a的 取 值 范 围 为 - , 1 , + ) 8 5 . 定 义 在 R上 的 单 调 函 数 f(x)满 足 f(3)=log3且 对 任 意 x， y R都 有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求 证 f(x)为 奇 函 数 ； (2)若 f(k 3)+f(3-9-2) 0对 任 意 x R恒 成 立 ， 求 实 数 k的 取 值 范 围 分 析 ： 欲 证 f(x)为 奇 函 数 即 要 证 对 任 意 x都 有 f(-x)=-f(x)成 立 在 式 子 f(x+y)=f(x)+f(y)中 ， 令 y=-x可 得 f(0)=f(x)+f(-x)于 是 又 提 出 新 的 问 题 ， 求 f(0)的 值 令 x=y=0可 得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0， f(x)是 奇 函 数 得 到 证 明 (1 )证 明 ： f(x +y )=f(x )+f(y )(x ， y R)， 令 x =y =0 ， 代 入 式 ， 得 f(0 +0 )=f(0 )+f(0 )， 即 f(0 )=0 令 y =-x ， 代 入 式 ， 得 f(x -x )=f(x )+f(-x )， 又 f(0 )=0 ， 则 有 0 =f(x )+f(-x ) 即 f(-x )=-f(x )对 任 意 x R成 立 ， 所 以 f(x)是 奇 函 数 (2 )解 ： f(3)=log3 0， 即 f(3) f(0)， 又 f(x)在 R上 是 单 调 函 数 ， 所 以 f(x )在 R上 是 增 函 数 ， 又 由 (1)f(x)是 奇 函 数 f(k 3 ) -f(3 -9 -2 )=f(-3 +9 +2 )， k 3 -3 +9 +2 ， 3 -(1 +k )3 +2 0 对 任 意 x R成 立 令 t=3 0， 问 题 等 价 于 t-(1+k)t+2 0对 任 意 t 0恒 成 立 R恒 成 立 说 明 ： 问 题 (2)的 上 述 解 法 是 根 据 函 数 的 性 质 f(x)是 奇 函 数 且 在 x R 上 是 增 函 数 ， 把 问 题 转 化 成 二 次 函 数 f(t)=t-(1+k)t+2对 于 任 意 t 0恒 成 立 对 二 次 函 数 f(t)进 行 研 究 求 解 本 题 还 有 更 简 捷 的 解 法 ： 分 离 系 数 由 k 3 -3+9+2得 上 述 解 法 是 将 k分 离 出 来 ， 然 后 用 平 均 值 定 理 求 解 ， 简 捷 、 新 颖
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