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1 / 41 函数综合题 类型一 一次函数与反比例函数综合题 1. 如图，一次函数 y1 k1x b 与反 比例函数 y2 k2x (x 0)的图象相交于 A， B 两点，且与坐标轴的交点为 ( 6， 0)， (0， 6)，点 B 的纵坐标为 2. (1)试确定反比例函数的解析式； (2)求 AOB 的面积； (3)直接写出不等式 k1x bkx的解集； (3)若点 P 在 x 轴上，连接 AP，且 AP 把 ABC 的面积分成 1 3 两部分， 求此时点 P 的坐标 第 4 题图 11 / 41 解： (1) 直线 y1 x 4， y2 34x b 都与双曲线 y kx交于点 A(1， m)， 将 A(1， m)分别代入三个解析 式，得 m 1 4 m 34 b m k1 ， 解得 m 3 b 94 k 3 ， y2 34x 94， y 3x； (2)当 x0 时，不等式 34x bkx的解集 为 x1； (3)将 y 0 代入 y1 x 4，得 x 4， 12 / 41 点 B 的坐标为 (4， 0)， 将 y 0 代入 y2 34x 94，得 x 3， 点 C 的坐标为 ( 3， 0)， BC 7， 又 点 P 在 x 轴上， AP 把 ABC 的面积分成 1 3 两部分，且 ACP 和 ABP 等高， 当 PC 14BC 时， S ACP S ABP 13， 此时点 P 的坐标为 ( 3 74， 0)， 13 / 41 即 P( 54， 0)； 当 BP 14BC 时， ACP ABPSS 1 3， 此时点 P 的坐标为 (4 74， 0)， 即 P(94， 0)， 综上所述，满足条件的点 P 的坐 标为 ( 54， 0)或 (94， 0) 类型二 一次函数与二次函数综合题 5. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y 14x2 bx c 经过点 A( 2， 0)， B(8， 0) (1)求抛物线的解析式； 14 / 41 (2)点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连 接 BC、 AC，设点 P 是抛物线上在第 一象限内的点， PD BC，垂足为点 D. 是否存在点 P，使线段 PD 的长度 最大，若存在，请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； 当 PDC 与 COA 相似时，求点 P 的坐标 第 5 题图 15 / 41 解： (1)将 A( 2， 0)， B(8， 0)代入 y 14x2 bx c 得， 1 2b c 0 16 8b c 0，解得 b 32 c 4 ， 抛物线 的 解析式为 y 14x2 32x 4； (2)由 (1)知 C(0， 4)，又 B(8， 0)， 易知直线 BC 的解析式为 y 12x 4. 如解图 ，过点 P 作 PG x 轴于 点 G， PG 交 CB 于点 E， 16 / 41 第 5 题解图 OB=8， OC=4， BC= 5422 OCOB . 在 Rt PDE 中， PD PEsin PED PEsin OCB PEBCOB =2 55 PE， 当线段 PE 最长时， PD 的长 度最大 设 P(t， 14t2 32t 4)， 17 / 41 则 E(t， 12t 4)，即 PG 14t2 32t 4， EG 12t 4， PE PG EG 14t2 2t 14(t 4)2 4(0t8)， 当 t 4 时， PE 有最大值 4，此 时点 P 坐标为 (4， 6)， 即当 P 点坐标为 (4， 6)时， PD 的长度最大； 由 A( 2， 0)， B(8， 0)， C(0， 4)，易知 ACB 90， COA BOC， 18 / 41 当 Rt PDC 与 Rt COA 相似 时，就有 Rt PDC 与 Rt BOC 相似， 相似三角形对应角相等， PCD CBO 或 PCD BCO. (i) 如解图 ，若 PCD CBO(Rt PDC Rt COB)，此时 有 CP OB， 第 5 题解图 C(0， 4)， 19 / 41 yP 4， 14x2 32x 4 4， 解得 x 6 或 x 0(舍 去 )， 即 Rt PDC Rt COB时， P(6， 4)； (ii)若 PCD BCO (Rt PDC Rt BOC)， 如解图 ，过点 P作 x轴的垂线， 与 x 轴 交于点 G， 与直线 BC 交于 F， 第 5 题解图 20 / 41 PF OC， PFC BCO， PCD PFC， PF PC， 设 P(n， 14n2 32n 4)，依题意， 易知 n0， 由 (1)可知 PF 14n2 2n， 过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 N， 在 Rt PNC 中， PC2 PN2 NC2 n2 ( 14n2 32n 4) 42 116n4 34n3 134 n2， PF PC， PF2 PC2，解得 n 3， 21 / 41 即 Rt PDC Rt BOC时， P(3， 25 4 )； 综 上 所 述 ， 当 Rt PDC 与 Rt COA 相似时， 点 P 的坐标为 (6， 4)或 (3， 254 ) 6. 如图，在平面直角坐标系中，直 线 y 34x m 与 x 轴、 y 轴分别交于 点 A、点 B(0， 1)，抛物线 y 12x2 bx c 经过点 B，交直线 AB 于点 C(4， n) (1)分别求 m、 n 的值； 22 / 41 (2)求抛物线的解析式； (3)点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐 标为 t(0 t 4)， DE y 轴交直线 AB 于点 E，点 F 在直线 AB 上，且四边 形 DFEG 为矩形 (如图 )，若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数 关系式和 p 的最大值 第 6 题图 解： (1) 直线 y 34x m 与 y 轴交于 点 B(0， 1)， m 1， 直线解析式为 y 34x 1， 23 / 41 直线经过点 C(4， n)， n 344 1 2； (2) 抛物线经过点 C 和点 B， 1 24 2 4b c 2 c 1 ， 解得 b 5 4 c 1 ， 抛物线的解析式为 y 12x2 54 x 1； (3) 点 D 的横坐标为 t(0 t 4)， DE y 轴交直线 AB 于点 E， D(t， 12t2 54t 1)， E(t， 34t 1)， 24 / 41 DE 34t 1 (12t2 54t 1) 12t2 2t， DE y 轴， DEF ABO，且 EFD AOB 90， DFE AOB， DFOA EFOB DEAB， 在 y 34x 1 中，令 y 0 可得 x 43， A(43， 0)， 25 / 41 OA 43， 在 Rt AOB 中， OB 1， AB 53， DF4 3 EF1 DE5 3 ， DF 45DE， EF 35DE， p 2(DF EF) 2(45 35)DE 145 DE 145 ( 12t2 2t) 75t2 285 t 75(t 2)2 285 (0 t 4)， 75 0， 当 t 2 时， p 有最 大值 285 . 26 / 41 7. 如图， ABC 的三个顶点坐标分 别为 A( 1， 0)、 B(3， 0)、 C(0， 3)， 抛物线 y ax2 bx c(a0)经过 A、 B、 C 三点 (1)求直线 AC 的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)若抛物线的顶点为 D，在直线 AC 上是否存在一点 P，使得 BDP 的周 长最小？若存在，求出 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由 第 7 题图 27 / 41 解： (1)设直线 AC 的解析式为 y kx b(k0)， 把 A( 1， 0)， C(0， 3)代入 解 析 式 得 k b 0 3 b ，解得 k 3 b 3， 直线 AC 的解析式为 y 3 x 3； (2)把 A( 1， 0)、 B(3， 0)、 C(0， 3) 三点代入抛物线 y ax2 bx c 得， a b c 0 9a 3b c 0 c 3 ，解得 28 / 41 a 33 b 2 33 c 3 ， 所求抛物线的解析式为 y 3 3 x 2 2 3 3 x 3； (3)存在满足条件的点 P. 抛物线的解析式为 y 33 (x 1)2 4 33 ， 顶点 D 的坐标为 (1， 4 33 )， 要使 BDP 的周长最小，只需 DP PB 最小， 29 / 41 如解图，延长 BC 到点 B，使 BC BC，连接 BD 交直线 AC 于点 P， 第 7 题解图 A( 1， 0)， B(3， 0)， C(0， 3)， AB 4， AC 2， BC 2 3， AC2 4， BC2 12， AB2 16， AB2 AC2 BC2， BC AC， BP BP， DP BP DP BP BD 最 30 / 41 小，则此时 BDP 的周长最小， 点 P 就是所求的点，过点 B 作 BH AB 于点 H， OC BH， BC BC， OH BO 3， BH 2OC 2 3， B( 3， 2 3)， 设直线 BD 的解析式为 y mx n， D(1， 4 33 )， B( 3， 2 3) 在直线 BD 上， 3m n 2 3 m n 4 33 ， 31 / 41 解得 m 36 n 3 32 ， y 36 x 3 32 ， 联立 y 36 x 3 32 y 3x 3 ， 解得 x 37 y 10 37 ， P(37， 107 3)， 在直线 AC 上存在点 P，使得 BDP 的周长最小，此时 P(37， 107 3) 32 / 41 类型三 一次函数、反比例函数与二次函 数综合题 8. 如图，直线 y 2x 6 与反比例函 数 y kx(k 0)的图象交于点 A(m， 8)， 与 x 轴交于点 B，平行于 x 轴的直线 y n(0 n 6)交反比例函数的图象 于点 M，交 AB 于点 N，连接 BM. (1)求 m 的值和反比例函数的解析 式； (2)观察图象，直接写出当 x 0 时不 等式 2x 6 kx 0 的解集； (3)直线 y n 沿 y 轴方向平移，当 n 为何值时， BMN 的面积最大？最 33 / 41 大值是多少？ 第 8 题图 解： (1) 直线 y 2x 6 经过点 A(m， 8)， 2m 6 8，解得 m 1， A(1， 8)， 反比例函数经过点 A(1， 8)， k 8， 反比例函数的解析式为 y 8x； 34 / 41 (2)不等式 2x 6 kx 0 的解集为 x 1； (3)由题意，点 M， N 的坐标为 M(8n， n)， N(n 62 ， n)， 0 n 6， n 62 0， 8n n 6 2 0， S BMN 12|MN|yM| 12( 8n n 6 2 )n 1 4(n 3) 2 25 4 ， n 3 时， BMN 的面积最大， 最大值为 254 . 35 / 41 9. 如图，一次函数 y kx b(k0)与 y 轴交于点 B(0， 9)，与 x 轴的负半 轴交于点 A，且 tan BAO 1.反比例 函数 y mx与一次函数 y kx b 的图 象交于 C、 D 两点，且 BD2 BC2 90. (1)求一次函数的解析式； (2)求反比例函数的解析式； (3)某二次函数的图象经过线段 CD 的中点，且以 B 点为顶点，求此二次 函数的解析式 36 / 41 第 9 题图 解： (1) tan BAO 1， OA OB， 点 B(0， 9)， 点 A( 9， 0)， b 9 9k b 0，解得 k 1 b 9， 一次函数的解析式为 y x 9； (2)联立 y x 9 y mx 得 x 2 9x m 0， 设点 C、 D 的横坐标分别为 x1、 x2， 37 / 41 BD2 BC2 90， ( 2x2)2 ( 2x1)2 90 即 2(x21 x22) 90， x21 x22 (x1 x2)2 2x1x2 ( 9)2 2( m) 45， 即 81 2m 45，解得 m 18， 反比例函数解析式为 y 18 x ； (3)设所求的二次函数的解析式为 y ax2 9(a0)， 由 (1)和 (2)得 y x 9 y 18x ， 38 / 41 解得 x1 3 y1 6 或 x2 6 y2 3 ， 则线段 CD 的中点为 (x1 x22 ， y1 y2 2 )即 ( 9 2， 9 2)， 代入 y ax2 9 得 92 ( 92)2a 9， 解得 a 29， 故所求的二次函数的解析式为 y 29x2 9. 二次函数综合题 10. 如图，抛物线 y ax2 2x c(a0) 39 / 41 经过点 A(0， 3)， B( 1， 0)请回答 下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 MBC 的面积是 4？若存 在，请求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 第 10 题图 40 / 41 解： (1) 抛物线 y ax2 2x c 经过 点 A(0， 3)， B( 1， 0)， c 3 a 2（ 1） c 0， 解得 a 1 c 3 ， 抛物线的解析式为 y x2 2x 3； (2) y x2 2x 3 (x 1)2 4， B( 1， 0)， 点 D 的坐标是 (1， 4)，点 E 的 坐标是 (1， 0)， DE 4， BE 2， BD DE2 BE2 42 22 41 / 41 2 5， 即 BD 的长是 2 5； (3)假设在抛物线的对称轴上存在点 M，使得 MBC 的面积是 4， 设点 M 的坐标为 (1， m)， B( 1， 0)， E(1， 0)， 点 C 的坐标为 (3， 0)， BC 4， MBC 的面积是 4， S MBC BC| m|2 4|m|2 4， 解得 m 2 ， 即点 M 的坐标为 (1， 2)或 (1， 2)