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.相似三角形一、 知识概述1. 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3. 相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形4. 相似三角形的基本性质相似三角形的对应边成比例、对应角相等相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性 例如 ABC ABC的对应边的比， 即相似比为k，则 AB C ABC的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有 k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出5. 相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：条件中若有平行，可采用判定定理 1；条件中若有一对角相等 ( 包括隐含的公共角或对顶角 ) ，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必.须是成比例两边的夹角对应相等条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。6. 位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7. 三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、 相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1) 相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角 ( 或最小的角 ) 一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2) 相似三角形中，一对最长的边 ( 或最短的边 )一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：.学习三角形相似的判定， 要与三角形全等的判定相比较， 把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：(1) “平行线型”相似三角形，基本图形见上节图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2) “相交线型”相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角 “见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例” 是解这类题的基本思路；(3) “旋转型”相似三角形，如图若图中 1= 2， B=D(或 C=E)，则 ADE ABC，该图可看成把第一个图中的 ADE绕点A 旋转某一角度而形成的温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.相似三角形专题分类练习讲解题型一：线段的比、黄金分割8. 在比例尺 1：10000 的地图上，相距 2cm的两地的实际距离是（ ）A200cm B 200dm C 200m D200km9. 若 则下列各式中不正确的是（ ）A B C Dx y 210. 若 5yx，则 y=_；已知x ，则2y 3x =_；已知yx yx y z ，且 3y 2z 6，则3 5 6x _, y _。11. 若 5x 4y 0且 xy 0，则 x y =_。5.2 和 8 的比例中项是 _；线段 2 与 8 的比例中项为_。6. 已知 a ： b ：c2 ：3 ：4，且 2a3b2c10，求 a， b ，c 的值。题型二：相似的性质1. 如果两个相似三角形的面积比为3 4，则它们的周长比为_。2. 已知 ABC DEF，且 AB：DE=1：2，则 ABC的面积与 DEF的面积之比为3. 如图 ,DEBC，AD BD=2 3，则ADE的面积 四边形 DBCE的面积 =_。4. 如图，已知等边三角形 ABC的边长为2， DE是它的中位线，则下面四个结论： （1） DE=1，（ 2） CDECAB，（3） CDE的面积与 CAB的面积之比为1：4. 其中正确的有： _个5. 如图，在梯形 ABCD中，ADBC，ADE与 BCE面积之比为4 ：9，那么 ADE与 ABE面积之比为_6. 平行四边形 ABCD中， AB=28，E、F 是对角线 AC上的两点，且 AE=EF=FC，DE交 AB于点 M，MF交 CD于点N，则 CN=_。A ADD EEB CB C第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题7. 如图，已知平行四边形 ABCD中， E 是 AB边的中点， DE交 AC于点 F，AC，DE把平行四边形 ABCD分成的.四部分的面积分别为 S1，S2，S3，S4下面结论：只有一对相似三角形； EF：ED=1：2； S1：S2：S3：S4=1：2：4 ：5其中正确的结论是（ ）A B C D 12. 如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S2 ，那么 S1、S2 的大小关系是（ ）A S1 S2 B. S1 = S2 C. S1S2 D. S1、S2 的大小关系不确定13. 如图，在正方形 ABCD中，点 E在 AB边上，且AE EB2 1，AF DE于 G交 BC于 F，则AEG的面积与四边形 BEGF的面积之比为（ ）A.1 2 B.1 4 C.4 9 D.2 314. 如图，已知 DEBC，CD和 BE相交于点 O， S DOE S COB 4 9，则 AE EC为（ ）A.2 1 B.2 3 C.4 9 D.5 415. 已知三个边长为 2，3，5 的正方形按图 4 排列，则图中阴影部分的面积为 _第 7 题 第 8 题 第 9 题 第 10 题 第 11 题16. 如图在ABC中，矩形 DEFG，G、F 在 BC上， D、E 分别在 AB、AC上， AH BC交 DE于 M，DG DE1 2，BC 12 cm， AH8 cm，求矩形的各边长。AD EMB G H F C变式2 图17. 已知如图，正方形 ABCD中， AB2，E 是 BC的中点， DFAE，F 为垂足，求DFA的面积S 和四边形1CDFE的面积 S2 。题型三：相似的有关证明.18. 已知：如图，梯形 ABCD中， ABDC，E 是 AB的中点，直线 ED分别与对角线 AC和 BC的延长线交于 M、N点求证： MD：MEND：NEND CMA E B19. 如图， D在 AB上，且 DEBC，交 AC于 E，F在 AD上，且 AD2 AF AB ，求证： AEF ACD20. 如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接DE，F 为线段DE上一点，且 AFE=B（1）求证： ADF DEC；（2）若 AB=8，AD=6 ， AF=4 ，求 AE的长题型四：函数与相似5.3 如图， 正方形 ABCD中，AB1，G为 DC中点， E 为 BC上任一点， （E点与点 B、点 C不重合）设BE ，过 E 作 GA平行线交 AB于 F，设AFEC面积为 ，写出 与 的函数关系式，并指出自变量的取值范围。5.4 如图， ABCD是矩形， AH2，HD4，DE2，EC1，F是 BC上任一点 （F.与点 B、点 C不重合），过 F 作 EH的平行线交 AB于 G，设 BF为 ，四边形 HGFE面积为 ，写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围。21. 如图，有一块直角梯形铁皮 ABCD，AD3cm，BC6cm，CD4cm，现要截出矩形 EFCG，（ E点在 AB上，与点 A、点 B不重合） ，设 BE ，矩形 EFCG周长为 ，（1）写出 与 的函数关系式，并指出自变量取值范围；（ 2） 取何值，矩形 EFCG面积等于直角梯形 ABCD面积的 。22. 如图，已知抛物线 yx21 与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C（1）求 A、B、C三点的坐标 （2）过点 A作 APCB交抛物线于点 P，求四边形 ACBP的面积（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M作 MGx 轴于点 G，使以 A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似？若存在，请求出 M点的坐标；y否则，请说明理由PA O B xC23. 如图，已知 ABC的三个顶点坐标分别为 A(-4 ，0) 、B(1 ，0) 、C(-2 ，6) (1) 求经过 A、B、C三点的抛.物线解析式； (2) 设直线 BC交 y 轴于点 E，连接 AE，求证： AE=CE;(3) 设抛物线与 y 轴交于点 D，连接 AD交 BC于点 F， 试问以 A、B、F，为顶点的三角形与 ABC相似吗？请说明理由题型五、圆与相似24. （2013? 绥化）如图，点 A，B，C，D为 O上的四个点， AC平分 BAD，AC交 BD于点 E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）A.4 B.5 C.6 D.725. 如图， AB为 O的直径， D是弧 BC的中点， DEAC交 AC的延长线于 E， O的切线 BF交AD的延长线于点 F。(1) 求证： DE是 O的切线；(2) 若 DE3， O的半径为 5，求 BF的长。26. 如图， Rt ABC中， C=90， O为直角边BC上一点，以 O为圆心， OC为半径的圆恰好与斜边 AB相切于点 D，与 BC交于另一点 EB （ 1）求证： AOC AOD；（ 2）若 BE=1，BD=3,求 O的半径及图中阴影部分的面积 SD EOA C27. 如图 O是 ABC外接圆， AB是直径， D是 AB延长线上一点， AEDC的延长.线于点 E，且 AC平分 EAB。（1）求证 :DE 是O的切线； (2) 若 AB=6, AE=4, 求 BC和 BD的长28. （2012 辽宁）如图， AB是O的直径，点 C在O上， CAB的平分线交 O于点 D，过点 D作 AC的垂线交 AC的延长线于点 E，连接 BC交 AD于点 F。（1）猜想 ED与O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若 AB6，AD5，求 AF的长。29. （2013? 十堰）如图 1，ABC中， CA=CB，点 O在高 CH上，ODCA于点 D，OECB于点 E，以 O为圆心，OD为半径作 O（1）求证： O与 CB相切于点 E；（2）如图 2，若 O过点 H，且 AC=5，AB=6，连接 EH，求 BHE的面积题型六、因动点产生的相似问题.1D是 ABC的 AB边上一点，过A、D及三角形边上的一点 E 的三角形与 ABC相似，画出示意图。D是 RtABC的 BC边上一点，过C、D及三角形边上的一点 E 的三角形与 ABC相似，画出示意图。A ADCB B CD2已知 RtOAB在直角坐标系中的位置如图， P（3， 4）为 OB的中点，点 C为折线 OAB上的动点，线段PC把 RtOAB分成两部分，问点 C在什么位置时，分割得到的三角形与 OAB相似？画出所有符合要求的线段，写出点 C的坐标。y y8B5A D7 46 3B5 P 24 1PA 3ox-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 521-1-2B Co-1 1 2 3 4 5 6 Ax-3-1-4F第 2题第 3题第 4 题3在直角坐标系中有两点 A（4， 0），B（ 0，2），如果点 C在 x 轴上（ C与 A 不重合），当点 C的坐标为时，使得由点 B、 O、C组成的三角形与 AOB相似。4已知：如图， P 是边长为 4 的正方形 ABCD内一点，且 PB=3，BFBP，垂足为 B，请在射线 BF上找一点M，使以 B、 M、C为顶点的三角形与 ABP相似。30. 正方形 ABCD边长为 4，M、N分别是 BC、CD上的两个动点， 当 M点在 BC上运动时， 保持 AM和 MN垂直 .（1）证明： RtABMRtMCN；（ 2）设BM=x，梯形 ABCN的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积；（ 3）当 M点运动到什么位置时 RtABMRt AMN，求此时 x 的值.A DNB M C31. 如图，在 ABC中， BAC=90， AD是 BC边上的高， E 是 BC边上的一个动点（不与 B,C 重合），EFAB,EGAC，垂足分别为 F,G.（1）求证： EG CG；AD CD（2） FD与 DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；A（3）当 AB=AC时， FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由FGB C D E32. 矩形 OABC在平面直角坐标系中位置如图所示， A、C两点的坐标分别为 A（6，0），C（0， 3），直线 y3 x 与 BC边相交于 D点4（1）求点 D的坐标；（2）若抛物线 yax29 x 经过点 A，试确定此抛物线的表达式；4（3）设（ 2）中的抛物线的对称轴与直线 OD交于点 M，点 P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与 OCD相似，求符合条件的点 P的坐标yAO 6 x- 3C DBy 34x8如图，抛物线 y 12x 2 52 52x2 与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C（1）求证： AOC COB；.（2）过点 C作 CDx 轴交抛物线于点 D若点 P在线段 AB上以每秒 1 个单位的速度由 A向 B运动，同时点 Q在线段 CD上也以每秒 1 个单位的速度由 D向 C运动，则经过几秒后， PQACyA P Bx OC D Q 7 ) ，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB9如图，二次函数的图象经过点 D(0， 39的长为 6. 求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD最小，求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q，使QAB与 ABC相似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由题型三：位似33. 如图所示， 以点 O为位似中心， 将五边形 ABCDE放大后得到五边形 ABCDE. 已知 OA10 cm，OA20 cm，则五边形 ABCDE的周长与五边形 ABCDE的周长的比值是 _34. 如图，在 6 8 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O和ABC的顶点均为小正方形的顶点 . 以 O为位似中心，在网格图中作 ABC，使 ABC和ABC位似，且位似比为 1：2连接中的 AA，求四边形 AACC的周长 . （结果保留根号）35. 如图，点 O是等边三角形 PQR的中心， P、Q、R分别是 OP、OQ、OR的中点，则 PQR与PQR是位似三角形此时， PQR与 PQR的位似比为 _。PPOQ RQ R第 1 题 第 2 题 第 3 题相似三角形分类题型讲解（答案）题型一：5.5 C 2.C 3.7 ；51- ；6；10；55 4 4.4:5 5. 4 6.a=4b=6 c=83.题型二：36. 3 : 2 2. 1:4 3. 4:21 4. 3 个 5. 2:3 6. CN=7 7. A 8. A5.6 C 10. A 11.15 12. DG= 424 ；DE=48 13. S7 71=4 ； S52=115题型三：7.题型四：2 2x 28. (0 1)y x 2. 8(0 6)x x x y 2 （2）y x 3. （1） 12(0 5)y 2 （2）x x xx x4 45x 15 4. (1)A4（-1 ，0）B（1，0） C （0，1）(2) S=4 (3)M 1（-2 ，3）M2（4，15）M3（4 ，7 ） 5.(1) 3 42 xyx3 9题型五：BHE= 1.B 2.BF= 3.r=4 ；S=54-8 4. （2）BC= ；BD=6 5. （2）AF= 6. （2）S题型六：1. C1（3，0）C2（6，4）C3（6，7 ） 2. C1（-1 ，0）C2（-4 ，0）C3（1，0） 3.BM 1=3;BM2=416 4. （2）32 x4 16y ； x=2 时， S=10 ； （3）x=2 6. （1）D（4，-3 ）（2） y x xx 3 2 （3）P1（3，0）928 4P2（3，4）7. （2）t=2.5 或 t=1.5 8. （1）3 2y 或x 4 3933 2 8 3 7 3y 或 1 7y x xx x9 9 9 9（2）P（4，3 ）（3）Q 1（10，3 3 ）Q2（-2 ，3 3 ）Q3（4， 3 ）1（10，3 3 ）Q2（-2 ，3 3 ）Q3（4， 3 ）3.
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