2018年上海市高考数学试卷.doc

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1（4.00分）行列式的值为 2（4.00分）双曲线y2=1的渐近线方程为 3（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）4（4.00分）设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 5（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=17i（i是虚数单位），则|z|= 6（4.00分）记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 7（5.00分）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，则= 8（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且|=2，则的最小值为 9（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示）10（5.00分）设等比数列an的通项公式为an=qn1（nN*），前n项和为Sn若=，则q= 11（5.00分）已知常数a0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）若2p+q=36pq，则a= 12（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A2B2C2D414（5.00分）已知aR，则“a1”是“1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15（5.00分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D1616（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）ABCD0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，如图求异面直线PM与OB所成的角的大小18（14.00分）设常数aR，函数f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1在区间，上的解19（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义20（16.00分）设常数t2在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：y2=8x（0xt，y0）l与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由21（18.00分）给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意nN*，都有|bnan|1，则称bn与an“接近”（1）设an是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，nN*，判断数列bn是否与an接近，并说明理由；（2）设数列an的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，bn是一个与an接近的数列，记集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，求M中元素的个数m；（3）已知an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，且在b2b1，b3b2，b201b200中至少有100个为正数，求d的取值范围2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1（4.00分）行列式的值为18【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可【解答】解：行列式=4521=18故答案为：18【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查2（4.00分）双曲线y2=1的渐近线方程为【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=双曲线的渐近线方程为y=故答案为：y=【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为Tr+1=xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21故答案为：21【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题4（4.00分）设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a【解答】解：常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）f（x）的反函数的图象经过点（3，1），函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），log2（1+a）=3，解得a=7故答案为：7【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=17i（i是虚数单位），则|z|=5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：由（1+i）z=17i，得，则|z|=故答案为：5【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题6（4.00分）记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=4，d=2，由此能求出S7【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=4，d=2，S7=7a1+=28+42=14故答案为：14【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（5.00分）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，则=1【分析】由幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，得到a是奇数，且a0，由此能求出a的值【解答】解：2，1，1，2，3，幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且a0，a=1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且|=2，则的最小值为3【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|ab|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；a=b+2，或b=a+2；且；当a=b+2时，；b2+2b2的最小值为；的最小值为3，同理求出b=a+2时，的最小值为3故答案为：3【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式9（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查10（5.00分）设等比数列an的通项公式为an=qn1（nN*），前n项和为Sn若=，则q=3【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可【解答】解：等比数列an的通项公式为a=qn1（nN*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，an+1=qn可得=，可得q=3故答案为：3【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查11（5.00分）已知常数a0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）若2p+q=36pq，则a=6【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a0，故：a=6故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用12（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且=11cosAOB=，即有AOB=60，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A2B2C2D4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查14（5.00分）已知aR，则“a1”是“1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】“a1”“”，“”“a1或a0”，由此能求出结果【解答】解：aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选：A【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15（5.00分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【解答】解：根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有26=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题16（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）ABCD0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，0时，此时得到的圆心角为，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B故选：B【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，如图求异面直线PM与OB所成的角的大小【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角【解答】解：（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，圆锥的体积V=（2）PO=4，OA，OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为，则cos=arccos异面直线PM与OB所成的角的为arccos【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（14.00分）设常数aR，函数f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1在区间，上的解【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出【解答】解：（1）f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）为偶函数，f（x）=f（x），asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，a=0；（2）f（）=+1，asin+2cos2（）=a+1=+1，a=，f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，f（x）=1，2sin（2x+）+1=1，sin（2x+）=，2x+=+2k，或2x+=+2k，kZ，x=+k，或x=+k，kZ，x，x=或x=或x=或x=【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题19（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义【分析】（1）由题意知求出f（x）40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义【解答】解；（1）由题意知，当30x100时，f（x）=2x+9040，即x265x+9000，解得x20或x45，x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0x30时，g（x）=30x%+40（1x%）=40；当30x100时，g（x）=（2x+90）x%+40（1x%）=x+58；g（x）=；当0x32.5时，g（x）单调递减；当32.5x100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力20（16.00分）设常数t2在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：y2=8x（0xt，y0）l与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPFkFQ=1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|=t+2，|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，|AQ|=，Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF=，则直线PF方程：y=（x2），联立，整理得：3x220x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），AQP的面积S=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF=，kFQ=，直线QF方程为y=（x2），yQ=（82）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），（）2=8（+6），解得：y2=，存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且P（，）【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题21（18.00分）给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意nN*，都有|bnan|1，则称bn与an“接近”（1）设an是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，nN*，判断数列bn是否与an接近，并说明理由；（2）设数列an的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，bn是一个与an接近的数列，记集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，求M中元素的个数m；（3）已知an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，且在b2b1，b3b2，b201b200中至少有100个为正数，求d的取值范围【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得an1bnan+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d0，d=0，2d0，d2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围【解答】解：（1）数列bn与an接近理由：an是首项为1，公比为的等比数列，可得an=，bn=an+1+1=+1，则|bnan|=|+1|=11，nN*，可得数列bn与an接近；（2）bn是一个与an接近的数列，可得an1bnan+1，数列an的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b10，2，b21，3，b33，5，b47，9，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，M中元素的个数m=3或4；（3）an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，可得an=a1+（n1）d，若d0，取bn=an，可得bn+1bn=an+1an=d0，则b2b1，b3b2，b201b200中有200个正数，符合题意；若d=0，取bn=a1，则|bnan|=|a1a1|=1，nN*，可得bn+1bn=0，则b2b1，b3b2，b201b200中有200个正数，符合题意；若2d0，可令b2n1=a2n11，b2n=a2n+1，则b2nb2n1=a2n+1（a2n11）=2+d0，则b2b1，b3b2，b201b200中恰有100个正数，符合题意；若d2，若存在数列bn满足：bn与an接近，即为an1bnan+1，an+11bn+1an+1+1，可得bn+1bnan+1+1（an1）=2+d0，b2b1，b3b2，b201b200中无正数，不符合题意综上可得，d的范围是（2，+）【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题第21页（共21页）