资源描述
题型08 与圆有关的证明与计算题一、单选题1如图，是的弦，交于点，点是上一点，则的度数为（ ）A30B40C50D60【答案】D【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出OAC=OCA=AOC，得出OAC是等腰三角形，得出BOC=AOC=60即可【详解】解：如图，是的弦，交于点，故选：D【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明.2如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )ABCD【答案】D【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出【详解】切线性质得到故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3如图，是的内接三角形，过点的圆的切线交于点，则的度数为（ ）A32B31C29D61【答案】A【分析】根据题意连接OC，为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的的度，再根据直角三角形可得的度数.【详解】根据题意连接OC.因为所以可得BC所对的大圆心角为 因为BD为直径，所以可得 由于为直角三角形所以可得 故选A.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，可以推出ADBD20，若设半径为r，则ODr10，OBr，结合勾股定理可推出半径r的值【详解】解：，在中，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为故选：A【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度5如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）ABCD【答案】D【分析】连接OD，求出AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接交AC于由折叠的知识可得：，且，设圆锥的底面半径为，母线长为，故选：【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.6如图，边长为的等边的内切圆的半径为( )A1BC2D【答案】A【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分BCA，AO平分BAC，再根据等边三角形的性质得CAB=60，CHAB，则OAH=30，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可【详解】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，为等边三角形，CH平分，AO平分，为等边三角形，在中，即内切圆的半径为1故选A【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质7如图，在RtABC中，ABC=90，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )ABCD【答案】A【分析】连接OD，过点O作OHAC，垂足为 H，则有AD=2AH，AHO=90，在RtABC中，利用A的正切值求出A=30，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得BOC =60，然后根据S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OHAC，垂足为 H，则有AD=2AH，AHO=90，在RtABC中，ABC=90，AB=，BC=2，tanA=，A=30，OH=OA=，AH=AOcosA=，BOC=2A=60，AD=2AH=，S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD=，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC13，CA12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A4B6.25C7.5D9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断ABC为直角三角形，且BAC=90，继而证明四边形AEOF为正方形，设O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】AB=5，BC=13，CA=12，AB2+AC2=BC2，ABC为直角三角形，且BAC=90，O为ABC内切圆，AFO=AEO=90，且AE=AF，四边形AEOF为正方形，设O的半径为r，OE=OF=r，S四边形AEOF=r，连接AO，BO，CO，SABC=SAOB+SAOC+SBOC，r=2，S四边形AEOF=r=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9如图，是的直径，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，则下列结论不一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】由圆周角定理和角平分线得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；由平行线的性质得出，选项B成立；由垂径定理得出，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案【详解】是的直径，平分，选项A成立；，选项B成立；，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理10如图，在中，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：在中，BC为半圆O的直径，图中阴影部分的面积故选：A【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。二、填空题11如图，的两条相交弦、，则的面积是_【答案】【分析】由，而，所以，得到为等边三角形，又，从而求得半径，即可得到的面积【详解】解：，而，为等边三角形，圆的半径为2，的面积是，故答案为【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大12如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与O的交点,则图中阴影部分的面积是_.(结果保留)【答案】1【分析】延长DC，CB交O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论【详解】解：延长DC，CB交O于M，N，则图中阴影部分的面积（S圆OS正方形ABCD）（44）1，故答案为：1【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键13如图，为的直径，弦，垂足为，则弦的长度为_【答案】【分析】连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，则，然后解方程组求出，从而得到的长【详解】连接、，交于，如图，设的半径为，则，在中，解得，在中，在中，解由组成的方程组得到，故答案为【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了垂径定理14如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为_【答案】【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为： 则勒洛三角形的周长为：故答案为：【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.15如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，则圆中阴影部分的面积为_【答案】【分析】由圆周角定理可得，在RtAOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-SABO求解即可.【详解】连接，是直径，根据同弧对的圆周角相等得，即圆的半径为2，故答案为：【点睛】本题考查了：同弧对的圆周角相等；90的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.16如图，是圆的弦，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_【答案】【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果【详解】解：连接OA，设半径为x，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，解得，故答案为【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程17如图，扇形中，.为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为_【答案】5【分析】连接OP，设半径为r，在直角三角形OCP中利用勾股定理将CO用r表示，得到AC，又有ACDAOB，利用，解出r即可【详解】连接OP，设半径为r，则OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,在直角三角形OCP中，即得OC2=r2-9，得到OC=得到AC=，又易知ACDAOB，所以，即，得到，解出r=5；故填5【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连OP，表示出AC18如图，在圆心角为90的扇形中，为上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为_【答案】【分析】以为斜边在的右边作等腰，以为圆心为半径作，在优弧上取一点H，连接，求出，证，得，由，证四点共圆，故点的运动轨迹是，由弧长公式可得.【详解】如图，以为斜边在的左边作等腰，以为圆心为半径作，在优弧上取一点H，连接，点是内心，四点共圆，点的运动轨迹是，内心所经过的路径长，故答案为【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l= ，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质19如图，以点为圆心，为半径作弧交于点，点，交于点，若，则阴影部分的面积为_.【答案】【分析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC所对的阴影部分面积等于弧AC所对圆心角的面积减去的面积，而不规则图形BCD的面积等于的面积减去弧DC所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC 为等边三角形 阴影部分面积1= 阴影部分面积2= 阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=故答案为。【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.20如图，在扇形AOB中，半径OC交弦AB于点D，且若，则阴影部分的面积为_【答案】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决【详解】解：作于点F，在扇形AOB中，半径OC交弦AB于点D，且，阴影部分的面积是：，故答案为：【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答三、解答题21如图，内接于，直径交于点E，延长至点F，使，连接并延长交过点A的切线于点G，且满足，连接，若，（1）求证：；（2）求的半径；（3）求证：是的切线【答案】（1）见解析；（2）的半径为；（3）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案；（2）根据三角函数性质，得到，从而得出答案；（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：（1）是的切线，是的直径，；（2），设，（负值舍去），的半径为；（3），是的切线【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.22如图,内接于，.将斜边绕点顺时针旋转一定角度得到，过点作于点，连接交于点. （1）求证：是的切线;（2）连接交于点，连接 求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为O直径，故只需证ADAB即可由ABC+BAC=90和DAE=ABC可证得DAE+BAC=90，而E、A、C在同一直线上，用180减去90即为BAD=90，得证（2）由（1）利用勾股定理得出，公积金图形得出，可知，即可得到，再根据相似三角形的性质得到，又因为，即可解答【详解】（1）证明：且为的半径为的切线（2）证明：由知由模型可知，【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明ADAB23如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写做法）如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的角平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求残缺圆的半圆面积【答案】图1做图题作法：详见解析；图2解答过程：（1）详见解析；（2）5【分析】作弦，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点O即为圆心（1）连接交于，由切线的性质可得，然后证明即可；（2）首先证明四边形是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解决问题【详解】解：图1做图题作法：在残缺的圆上取两条不平行的弦和；以点为圆心大于一半长为半径在两侧作圆弧；以点为圆心，同样长的半径在两侧作圆弧与中的圆弧交于，两点；作直线即为线段的垂直平分线；以同样的方法做线段的垂直平分线与直线交于点即为该残缺圆的圆心.图2解答过程：（1）证明：连接交于为的切线平分（2）解：是的直径，四边形为矩形【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型24如图1，已知O外一点P向O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交O于点B，连接AO并延长交O于点C，过点C作，分别交PB于点E，交O于点D，连接AD（1）求证：APODCA；（2）如图2，当时求的度数；连接AB，在O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）；存在，.【分析】（1）由切线性质和直径AC可得，由可得，即可得：；（2）连接OD，由可得OAD是等边三角形，由此可得，；作交O于Q，可证ABQP为菱形，求可转化为求【详解】（1）PA切O于点A，AC是O的直径，（2）如图2，连接OD， ，是等边三角形，存在如图2，过点B作交O于Q，连接PQ，BC，CQ，由得：，四边形ABQP是平行四边形，四边形ABQP是菱形，【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等25四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结点是线段上的一点，连结，且，的延长线与的延长线相交与点（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求证：为等腰直角三角形；求的长度【答案】（1）见解析;（2）见解析;.【分析】（1）由圆周角的定理可得，可证，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形；（2）由平行线的性质可证，由，可证为等腰直角三角形；通过证明，可得，可得，通过证明，可得，可得，可求，由等腰直角三角形的性质可求的长度【详解】证明：（1），且，四边形是平行四边形，（2）是直径，且，且，且，为等腰直角三角形；四边形是的圆内接四边形，且，且，且为等腰直角三角形，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求的长度是本题的关键26如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长、相交于点，的平分线交于点.（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【分析】(1)根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断；(2)根据三角形内心的性质得，然后证明得到；(3)证明，利用相似比得到，则，然后计算即可【详解】(1)点是的内心，平分，；(2)点是的内心，即，；(3)，即，【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.27如图，在矩形中，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，.(1)求证：是的切线；(2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)点是线段的黄金分割点.【分析】(1)连接，由等腰三角形性质和折叠性质证，根据矩形性质证；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由得出结论.【详解】解：(1)证明：连接，.由折叠可知，.四边形是矩形，.即.是的切线；(2)点是线段的黄金分割点.四边形是矩形，.，.点是线段的黄金分割点.【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键.28宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为.（1）求坐垫到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到，参考数据：，）【答案】（1）99.5（2）3.9【分析】（1）作于点，由可得答案；（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案【详解】（1）如图1，过点E作于点，由题意知、，则单车车座到地面的高度为；（2）如图2所示，过点作于点，由题意知，则，.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答29（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图中的）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的（实际应用）:观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为是的直径，（1）求的度数；（2）已知km，求这两个观测点之间的距离即上的长（取）【答案】（1）；（2）（km）【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，则DHC=67，证出HBD=DHC=67，由平行线的性质得出BEO=HBD=67，由直角三角形的性质得出BOE=23，得出POB=90-23=67；（2）同（1）可证POA=31，求出AOB=POB-POA=36，由弧长公式即可得出结果【详解】（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：则，；（2）同（1）可证，（km）【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键30如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形（1）计算的度数；（2）连接，证明：；（3）求证：【答案】(1)36;(2)见解析;(3)见解析.【分析】（1）由题意可得COD=70，由圆周角的定理可得CAD=36；（2）由圆周角的定理可得CAD=DAE=AEB=36，可求AME=CAE=72，可得AE=ME；（3）通过证明AENBEA，可得，可得ME2=BENE，通过证明BM=NE，即可得结论【详解】（1）是上的5等分点，的度数（2）连接是上的5等分点，且（3）连接，且，且，且【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明AENBEA是本题的关键32
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