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作业讲评3,P67:5将下列语句符号化,(1)一切事物都是发展的。设：P(x)：x是事物，Q(x)：x是发展的。则：(x)(P(x)Q(x)(4)存在着会说话的机器人。设：P(x)：x是机器人，Q(x)：x会说话。则：(x)(P(x)Q(x)(8)只有一个北京。解释为：若x,y均为北京，则它们必指的是同一个城市设：P(x)：x是北京，Q(x,y)：x和y是同一个城市。则：(x)(P(x)(y)(P(y)Q(x,y)或：(x)(y)(P(x)P(y)Q(x,y),P68：8(2)判断公式的类型,(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(1)若(x)(P(x)Q(x)=F即x0，使P(x0)=F或Q(x0)=F有(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)=T(2)若(x)(P(x)Q(x)=T即x0，使P(x0)Q(x0)=T则：P(x0)=Q(x0)=T有：(x)P(x)=T，(x)Q(x)=T得：(x)P(x)(x)Q(x)=T有(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)=T,P68：8(2)判断公式的类型,(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)原式=(x)(P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x)=T,(x)P(x)(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x),第9章集合,9.1集合的概念和表示方法9.2集合间的关系和特殊集合9.3集合的运算9.4集合的图形表示法9.5集合运算的性质和证明9.6有限集合的基数,9.3.4笛卡尔积,有序对(序偶)由两个客体x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质当xy时，与相等的充分必要条件是=x=uy=v,例：=，求x,y.解3y4=2,x+5=yy=2,x=3,注意：区别和a,b。例如，当ab时，有a,b=b,a。,有序对定义及性质证明,有序对定义为：=x,x,y有序对性质：=x=uy=v证明:(1)设x=uy=v，则显然有x,x,y=u,u,v于是，=(2)设=，则有x,x,y=u,u,vx=y时，=x,x,y=x于是，x=u=u,v则：x=u=v=y,xy时，显然ux,y于是u=x且x,y=u,v则x=u显然yuy=v,有序n元组,定义一个有序n(n3)元组是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即=,xn当n=1时,形式上可以看成有序1元组.实例：有序3元组（a，b，c）=（a，b），c）两个n元组相等的条件x1,x2,xn=y1,y2,yn(x1=y1)(x2=y2)(xn=yn),笛卡儿积（直积）,定义设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，AB=|xAyB例A=1,2,B=a,b,cAB=,BA=,AA=,A=,P(A)=,P(A)A=,ABBA,N阶笛卡儿积,设A1，A2，An为集合(n2),它们的n阶笛卡儿积记作A1A2，An,其中A1A2An=(a1,a2,an)|aiAi,i=1,2,n例：设R是实数集，即R=x|-x+则RR=(x,y)|-x+,-|aAbBcC,c是三元组，与等价,c不是三元组，,笛卡尔积的性质,定理9.5.19对任意的集合A、B、C，有A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)(BC)A=(BA)(CA)证明1：a,bA(BC)aAbBCaA(bBbC)(aAbB)(aAbC)a,bABa,bACa,b(AB)(AC),笛卡尔积的性质,定理9.5.20对任意的集合A、B、C，若CABACBCCACB定理9.5.21对任意非空集合A、B、C、D，有ABCDACBD证明：设ABCD，下证ACBDaAbBa,bABa,bCDaCbDACBD设ACBD，下证ABCDa,bABaAbBaCbDa,bCDABCD,注意：当A=B=，公式成立当A、B当中仅有一个为时,公式不成立设：A=C=D=，B=1此时，ABCD，但BD,任取x，xXxY,命题演算法证XY,证:(1)ABP(A)P(B)任取x,xP(A)xAxBxP(B),(2)P(A)P(B)AB任取xxAxAxP(A)xP(B)xBxB,例1证明ABP(A)P(B),包含传递法证XY,找到集合T满足XT且TY，从而有XY例2ABAB证AB=ABA而AABABAB,利用包含的等价条件证XY,证:(1)目的(AB)C=CACAC=CBCBC=C(AB)C=A(BC)=AC=C(AB)C=CABC,(2)目的(AB)C=ABACAC=ABCBC=B(AB)C=(AC)(BC)=AB(AB)C=ABABC,例3ACBCABC,反证法证XY,欲证XY,假设命题不成立，必存在x使得xX且xY.然后推出矛盾.例4证明ACBCABC证假设ABC不成立，则x(xABxC)因此xA或xB，且xC若xA且xC则与AC矛盾；若xB且xC则与BC矛盾.,qppq,利用已知包含式并交运算证XY,例5证明ACBCACBCAB证:ACBC，ACBC上式两边求并，得(AC)(AC)(BC)(BC)(AC)(A-C)(BC)(B-C)A(C-C)B(C-C)AEBEAB,由已知包含式通过运算产生新的包含式XYXZYZ,XZYZ,AB,CD(AC)(BD),作业9,P156:6(1)(2)，7(3)P157:9(2)(3)，10P158:17(3)P158:18(1)(4)P158:19(1)(2),
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