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五点共圆问题与Clifford链定理,一、引子,在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩濠江中学的这些老师们，他们的数学功底由此可见一斑。,这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，其中每相邻的两个圆交于两个点，在所得五边形五顶点外的点共有五个，证明这五点共圆。2003年春天，北京师范大学的张英伯教授去德国访问。代数学家ClausRingel问，你知道江问题吗？张英伯正在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单，ClausRingel得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！”,Claus刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。,感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到Clifford定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。,有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索Clifford所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：OnMiquelstheorem.遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。,因为没有见到原文，下面讲的证明，基于F.Morley1900年发表在美国数学会Transaction上的一篇文章Onthemetricgeometryoftheplanen-line.Morley也是英国人，几何学家。在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了几何基础一书。,十九世纪下半叶和二十世纪初，我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家，我国近代数学教育的先驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础，倾其毕生精力在北京师范大学，师大附中教书，引进国外教材，培训中学教师。正因为我国的近代数学研究起步较晚，对当时的一些研究领域比较陌生。,当几何基础引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形相关的点，直线和圆的问题被发现并研究。1838年，Miquel证明了有关四圆共点的定理。一百三十六年前的1871年，在四圆共点的定理的基础上，英国数学家WilliamKingdonClifford建立了Clifford链定理，并在英国早期的一本杂志MessengerofMathematics第五册上发表了证明。Clifford本人因他提出的Clifford代数而闻名于数学界。,。,Clifford链定理是数学史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。19世纪末和20世纪初，许多欧美数学家都研究并论述过这个问题，一方面研究它的多种证明方法，一方面研究这些点圆和其他一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在欧美的许多深受欢迎的数学杂志上，不断地发表与Clifford链定理相关的研究成果。,二、Clifford链定理的表述,n=3,n=2,任选平面内两两相交，且不共点的三条直线，则其中每两条为一组可以确定一个点，共有三个点，那么这三个点确定一个圆。,任选平面内两条相交直线，则这两条直线确定一个点。,n=4,n=4,任选平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的四条直线，则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆，则这四个圆共点。此点被称为Wallace点。,n=5,任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的五条直线，则其中每四条作为一组可确定如上所述的一个Wallace点，共有五个这样的点，那么这五个点共圆，此圆被称为Miquel圆（即五点共圆问题）。,n=6,任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点，则其中每五条为一组可以确定一个Miquel圆，共有六个这样的圆，则这六个圆共点。,n=7,任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的七条直线，则其中每六条作为一组可确定如上所述的一个点，共有七个这样的点，那么这七个点共圆。,一般地，,任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的2n条直线，则其中每2n-1条直线可确定一个Clifford圆，共确定2n个圆，那么这2n个圆交于一点，称为2n条直线的Clifford点；任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的2n+1条直线，则其中每2n条直线可确定一个Clifford点，共确定2n+1个点，那么这2n+1个点共圆，称为2n+1条直线的Clifford圆。,三、直线方程,用平面几何的方法归纳地证明Clifford定理几乎是不可能的，我们已经看到n=7的情况图形有多么复杂，实际上五点共圆问题已经够复杂了。那么用平面解析几何呢？用复平面呢？这样就可以充分借助现代数学工具。让我们来试一试。现在考虑复平面C,建立原点，实轴和虚轴。,用分别表示两个确定的复数，其中的模为1，也就是说，在单位圆上。其次，用分别表示两个复变量，其中的模为1，也就是说在单位圆上运动。,考察公式当在单位圆周上运动时，跑过原点0和点连线的垂直平分线。,事实上，而因为和的模都是1，故另一方面，当趋近于时，的模趋近于无穷大；并且是的连续函数。所以我们得到了一条直线。,从上述分析可以看出，直线与的幅角的取值无关。我们不妨取利用单位圆周上的点作参数，利用分子分母都是参数线性函数的分式表示一个圆或一条直线，是复变函数保角映射的一个特例。,四、特征常数,如果我们有两条直线：，则.两式相减，得到两条直线的交点：.记作.再设.称为n=2时的特征常数。,如果我们有三条直线：令上面的式子中，求和号表示对数组(123)进行轮换，分别取(123),(231),(312).叫做n=3时的特征常数。,建立一个圆方程，圆心在，半径为：当时，当时，当时，所以我们的圆经过三条直线中每两条的交点，这就是三点共圆。,定义4.1.关于n条直线的特征常数定义为：引理4.2.,证明：引理证毕。,特征常数有如下的共轭性质。取任意正整数n，令将的复共轭记作，令，则引理4.3.,引理4.4.设是n个变元的初等对称多项式，记的共轭元为。如果n个变元均取模为1的复数，则证明：设，则引理证毕。,五、n=4和n=5时的证明,设我们有四条直线根据第四节的讨论，三条直线确定的圆方程为：或其中是一个变元的初等对称多项式。根据引理4.2,去掉四条直线中的第条后的圆方程是：,根据引理4.3,方程是自共轭的，即它的共轭方程与自身相等，我们有：即在单位圆上。又因为的任意性，方程等价于：其中是n=4时的特征常数。则即是四条直线的Clifford点。,当n=5时，我们有五条直线：去掉其中的任意一条，所得到的四条直线确定一个Cliford点。根据引理4.2，我们可以从n=5时的特征常数得到n=4时的特征常数，比如去掉第条直线，得方程：,因为是一个变元的初等对称多项式，分别导出了两个变元的初等对称多项式和上述方程变为：根据引理4.3，第二个方程是自共轭的，保证了t在单位圆上。,从方程组中消去，并用t代替，或考察以和（以t代之）为未知数的线性方程组，Cramer法则给出x和t应该满足的关系：或这就是五条直线的Clifford圆。,六、Clifford链定理,定理7.1.2p条直线的Clifford点由下述行列式给出：而2p+1条直线的Clifford圆由下述方程确定：,证明：设p=1在2x1时得到两条直线的交点：设P=2，是一个变元的初等对称多项式。在2x2-1时得到三条直线的Clifford圆满足的方程：在2x2的情况得到四条直线的Clifford点满足的方程设p=3,是两个变元的初等对称多项式。在2x3-1时得到五条直线的Clifford圆方程：,现在设2p-1条直线的Clifford圆满足的方程是：其中是p-1个变元的初等对称多项式。则该假设当p=2，p=3时都是正确的。我们来计算2p条直线的情况。,根据引理4.2,关于2p-1条直线的特征常数可以用关于2p条直线的特征常数去掉某条直线，例如第条表示出来：,由于的任意性，考察下述p个方程：其中第1+i与第p-i+1个方程是共轭的。为方便起见，我们仅验证第2与第p个方程的共轭性。,记是关于模为1的复数的初等对称多项式。则根据引理4.3,第二个方程的共轭方程为将两端同乘以，根据引理4.4得：,将第二个方程的两端同乘以，并颠倒次序，我们有方程：易见这两个方程共轭，故，在单位圆上。将2p是的方程消去，即得所求公式，定理的第一部分证毕。,我们来考察2p+1的情况。根据引理4.2,2p条直线的特征常数可以通过2p+1条直线的特征常数表示出来。故2p条直线的Clifford点满足的方程诱导出下述p个方程：,关于p-1个变元的初等对称多项式与诱导出p个变元的初等对称多项式方程变为：,运用引理4.3，与2p的情况类似可验，方程组中的第i+1个方程与第p+i+1个方程是共轭的，t在单位圆上。在关于2p+1的方程中消去，即得所求公式。定理的第二部分证毕。Clifford定理的正确性从数学归纳法得到。,当然，特征常数a需要满足一定的条件，使得直线两两相交，且没有三条直线交于一点。下面列出的第二篇参考文献就专门讨论了这个问题。我教过多年的线性代数，从来没有想到用矩阵，行列式和对称多项式能够如此巧妙地解决这样复杂的平面几何问题。当我读到这篇文献，不由地惊叹数学家的智慧，数学的深刻与优美。,参考文献F.Morley,Onthemetricgeometryoftheplanen-line,Trans.Am.Math.Soc.7,1900.W.B.Carver,ThefailureoftheCliffordchain，AmericanJ.Math.Vol.42,No.3,1920,137-167.就讲到这里，谢谢大家,
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